小學(xué)高段學(xué)生幾何識圖能力培養(yǎng)路徑探析

李愛蓮

[摘要]幾何識圖能力的培養(yǎng)不僅有助于指導(dǎo)小學(xué)高段學(xué)生學(xué)習(xí)幾何知識、鍛煉空間想象能力，而且有助于培育小學(xué)高段學(xué)生的圖形信息搜索能力和數(shù)形結(jié)合能力。教師應(yīng)通過轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合、小組合作等方式不斷提高學(xué)生的空間觀念與幾何識圖能力，進(jìn)而培養(yǎng)其數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

[關(guān)鍵詞]小學(xué)數(shù)學(xué);高段;幾何識圖能力;轉(zhuǎn)化;數(shù)形結(jié)合

[中圖分類號]

G623.5

[文獻(xiàn)標(biāo)識碼]A

[文章編號] 1007-9068（ 2020）11-0032-03

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》中“圖形與幾何”板塊主要包括四個方面，即圖形的認(rèn)識、圖形的測量、圖形的運動、圖形與位置，目標(biāo)是培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀和空間觀念。幾何識圖能力的培養(yǎng)與“圖形與幾何”的課程內(nèi)容有著密切聯(lián)系，創(chuàng)新小學(xué)高段學(xué)生幾何識圖能力的培養(yǎng)路徑，須進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生讀圖、析圖、畫圖、用圖的能力，從而提高學(xué)生利用數(shù)形結(jié)合解決問題的能力。

一、走進(jìn)生活，提高讀圖能力

數(shù)學(xué)源于生活，但又具有一定的抽象性?？臻g與圖形相關(guān)知識的教學(xué)要以學(xué)生的認(rèn)知水平與經(jīng)驗為起點，為其形成良好的空間、抽象觀念提供更多元、更豐富的感性素材。

教材中就有十分豐富的幾何圖形.教師教學(xué)時要注意數(shù)形結(jié)合，特別是在算術(shù)教學(xué)中指導(dǎo)學(xué)生觀察圖形、認(rèn)識圖形，通過模型或者圖片參與到幾何識圖的過程中，從而感受到幾何知識是對現(xiàn)實問題的抽象。例如，在講解三角形具有穩(wěn)定性時，先出示大橋圖片，指出相鄰兩根斜拉索與橋面形成三角形;再出示校門口的伸縮門圖片，學(xué)生觀察得出組成伸縮門的基本圖形是四邊形，門可以伸縮，說明四邊形是不穩(wěn)定的;最后再舉例生活中的桌子晃動問題，通過釘上木條，形成三角形，使桌子停止晃動。通過這些例子，使學(xué)生充分認(rèn)識到三角形具有穩(wěn)定性的特性。

教師也可以指導(dǎo)學(xué)生多方位、多角度地對照、觀察、識別各種實物、模型、直觀圖，從而了解并熟悉構(gòu)成幾何圖形的基本元素，讓學(xué)生能夠熟練地將直觀圖分解為基本的幾何元素，并且能動手畫出一些常見的幾何圖形。例如，在認(rèn)識長方形的過程中，先引導(dǎo)學(xué)生觀察生活中常見的長方形物體，如課本、課桌、門窗等，并用直尺、量角器等測量工具測量圖形，初步認(rèn)識長方形的基本特征（4個角都是直角，對邊相等）;再引導(dǎo)學(xué)生觀察不同的長方形以及與長方形相似的幾何圖形（平行四邊形、梯形），讓學(xué)生進(jìn)行對比、識別，從而掌握長方形的基本特征。

二、圖形轉(zhuǎn)化，提升析圖能力

小學(xué)高段學(xué)生逐漸從具體形象思維轉(zhuǎn)向抽象邏輯思維，但仍以具體形象思維為主去認(rèn)識事物。在提升學(xué)生幾何識圖能力之初，教師可以將直觀圖進(jìn)行分解，抽出一部分讓學(xué)生先認(rèn)識圖形各方面的特征，再從整體上對圖形進(jìn)行認(rèn)識。從部分到整體的教學(xué)也是融人圖形轉(zhuǎn)化的策略，如平行四邊形、三角形以及梯形的面積公式都是通過將原圖形切割、移補或組合，轉(zhuǎn)化為長方形、平行四邊形來推導(dǎo)的;圓柱的體積公式是通過轉(zhuǎn)化為長方體來推導(dǎo)的。

1.“靜”轉(zhuǎn)化為“動”，分析關(guān)系

圖形變換其實可以看作圖形運動。例如，教學(xué)“圓的周長”時，筆者通過圖形轉(zhuǎn)換，讓學(xué)生感受到圓的周長可能與直徑存在一定關(guān)系。筆者還讓學(xué)生根據(jù)之前學(xué)習(xí)的知識思考：“正方形的周長是邊長的4倍，長方形的周長是其長寬之和的2倍，那么圓的周長和直徑會不會存在一定的倍數(shù)關(guān)系？如果存在，會是幾倍呢？”筆者讓學(xué)生觀察圖l，并在正方形里畫出一個最大的圓，再在圓內(nèi)畫出一個最大的正六邊形，最后提出自己的猜想。

問題1：哪個圖形的周長最長，哪個圖形的周長最短？

問題2：正方形、正六邊形的周長分別是圓的直徑的多少倍？

問題3：圓的周長大約是其直徑的多少倍？

前兩個問題學(xué)生只需觀察與分析就可以得出正確答案：圓的周長比正方形的短，比正六邊形的長;正方形的周長是圓的直徑的4倍，正六邊形的周長是圓的直徑的3倍。由此可以分析出問題3的答案：圓的周長與直徑的倍數(shù)關(guān)系應(yīng)該在3-4之間，所以圓的周長，直徑=3.（？）。通過多種幾何圖形的特征對比實現(xiàn)圖形間的轉(zhuǎn)化，古代圓周長計算正是這樣探索出來的。啟發(fā)式的設(shè)問讓學(xué)生將腦海中靜態(tài)的幾何圖形轉(zhuǎn)為動態(tài)，從而理解圓周長與其直徑的關(guān)系，為學(xué)生進(jìn)一步掌握圓周長計算公式打下了基礎(chǔ)。

2.畫圖分割轉(zhuǎn)化，分析信息

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，僅憑顯性數(shù)學(xué)信息往往很難解決問題，有很多必要的數(shù)學(xué)信息是內(nèi)隱的，需要學(xué)生充分利用經(jīng)驗和所學(xué)知識去多角度解讀。放在“圖形與幾何”中，則需要學(xué)生通過分割和轉(zhuǎn)化，分析有關(guān)信息。例如：如圖2所示，你能算出陰影部分的面積嗎？

圖中繁多的數(shù)據(jù)讓學(xué)生頭昏眼花，有些學(xué)生還沒有分析題目就已經(jīng)放棄了。教師可以對已有圖式做出改進(jìn)，幫助學(xué)生將題目中的信息進(jìn)行恰當(dāng)?shù)难葑?，如啟發(fā)學(xué)生進(jìn)行想象，或是對圖形進(jìn)行相應(yīng)的移補，又或是畫上幾條輔助線將圖形進(jìn)行分割，就能把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題剖析透徹，降低問題的難度，從而輕松整理出解題思路。

方法1：想象

把兩個一模一樣的正方形如圖3所示疊在一起，空白部分是兩個相同的小正方形，陰影部分的面積就等于兩個大正方形的面積減去兩個小正方形的面積。因此，解題所需要的信息只是大正方形的邊長和小正方形的邊長。

方法2：移補

把其中一個正方形向上或向下平j(luò)方形（如圖4）。學(xué)生一眼就能夠看出長方形的長是9厘米，寬是6厘米，此時利用長方形面積公式就能計算出陰影部分的面積。

方法3：分割在圖中添加適當(dāng)?shù)妮o助線，把陰影部分分割成6個完全相同的小正方形，陰影部分的面積就是這6個小正方形面積之和。因此，解題時只需要知道小正方形的邊長。

從以上案例可以發(fā)現(xiàn)，將圖形進(jìn)行適當(dāng)?shù)倪\動，如想象、移補、分割等，把不規(guī)則圖形變成規(guī)則圖形，有利于降低問題的難度，從而整理出解題思路?！皥D形與幾何”的有關(guān)問題中經(jīng)常會出現(xiàn)一些多余的數(shù)學(xué)信息，對學(xué)生思維產(chǎn)生干擾。當(dāng)學(xué)生能正確判斷哪些數(shù)學(xué)信息是多余的，哪些是需要轉(zhuǎn)化的時候，就說明學(xué)生真正地領(lǐng)悟了數(shù)學(xué)信息之間的聯(lián)系。而明辨數(shù)學(xué)信息既是學(xué)生對數(shù)學(xué)知識掌握的過程，也是學(xué)生個體智慧的訓(xùn)練過程。

三、數(shù)形結(jié)合，提升辨圖能力

“數(shù)”與“形”兩者之間是相對應(yīng)關(guān)系，數(shù)形結(jié)合就是把抽象、復(fù)雜、難懂的數(shù)學(xué)符號、語言、關(guān)系與直觀形象的幾何圖形結(jié)合起來。換句話說，數(shù)形結(jié)合就是把復(fù)雜抽象思維與直觀形象思維相結(jié)合。這樣做可以把復(fù)雜的問題變簡單，把抽象的問題變得具體形象。數(shù)形結(jié)合數(shù)學(xué)思想方法在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中有著十分廣泛的應(yīng)用，在幾何圖形教學(xué)中更為突出，對比辨析地運用這種教學(xué)思想，可以獲得事半功倍的效果。

1.巧用圖形組題，讓學(xué)生明辨其規(guī)律

例如：圖6中，擺1個正方形用了4根小棒，擺2個正方形用了7根小棒，像這樣擺下去，擺5個正方形用（）根小棒，擺n個正方形用（）根小棒。

筆者讓學(xué)生接著畫一畫擺3個正方形、4個正方形，觀察各需要幾根小棒。學(xué)生發(fā)現(xiàn)，每增加1個正方形就多用3根小棒，由此很快得到第一個結(jié)論：每增加1個正方形就多用3根小棒，因此擺5個正方形需要16根小棒。筆者再引導(dǎo)學(xué)生觀察數(shù)據(jù)，學(xué)生發(fā)現(xiàn)從4→7→10→13→16，這組數(shù)據(jù)的變化規(guī)律可以用算式表示：3x1+1→3x2+1→3x3+1→3x4+1→3x5+1。筆者問：“每個算式里都有一個‘+1，這個‘1代表什么呢？”學(xué)生回答：“可以代表最左邊的1根小棒，也可以代表最右邊的1根小棒。”筆者接著提問：“擺8個正方形需要幾根小棒？用算式怎么表達(dá)？擺21個呢？擺99個呢？擺n個呢？”學(xué)生回答：“8x3+1 =25，2lx3+1=64，99x3+1=298. 3n+l。”筆者通過追問，把學(xué)生的思維從具體的算式發(fā)展概括成一般規(guī)律。

在此基礎(chǔ)上，筆者把正方形變成正六邊形（如圖7），問：“擺1個正六邊形要6根小棒，擺2個正六邊形要11根小棒，擺3個呢？擺8個呢？擺n個呢？”學(xué)生分析每增加1個正六邊形，就要多用5根小棒，所以擺3個要3x5+1=16（根），擺8個要8x5+1=41（根），擺n個正六邊形所需的小棒根數(shù)就可以用5n+l來表示。式子里“1”也表示圖形中最左邊或最右邊的1根小棒。

筆者繼續(xù)提問：“1006根小棒可以擺多少個正六邊形？”學(xué)生思路清晰地回答：“先減掉最左邊或最右邊的1根，再除以5，列式為（1006-1）÷5=201（個）?！?/p>

在學(xué)生掌握該類型題的解題思路后，筆者出示練習(xí)題：如圖8所示，某小學(xué)使用的是正六邊形實驗桌，每張實驗桌可以坐12人（每邊坐2人），將實驗桌拼起來，2張實驗桌能坐20人，按這樣的拼法，5張實驗桌拼成一排后可以坐（）人，x張實驗桌拼成一排可以坐（）人。

學(xué)生觀察發(fā)現(xiàn)每增加1張桌子就多了8人，其中上面和下面各多了4人，而左右兩邊的人數(shù)是不變的，所以5張實驗桌這樣拼在一起后一共可以坐5x8+4=44（人），x張實驗桌就可以坐（8x+4）人。筆者問：“8x+4中的‘4表示什么？”又指著算式3n+1問：“求小棒根數(shù)與求人數(shù)這兩個算式區(qū)別在哪里？”再一次讓學(xué)生明晰兩種算法的異同點：不同點在于求小棒根數(shù)要加左邊或右邊的根數(shù)，求人數(shù)要加左右兩邊的人數(shù);相同點在于每次增加的根數(shù)（人數(shù)）都與正方形個數(shù)（實驗桌張數(shù)）成倍數(shù)關(guān)系。

2.畫出圖式，讓學(xué)生明辨其概念

小學(xué)生的數(shù)學(xué)思維正處于成長階段，他們對很多數(shù)學(xué)概念都比較模糊，特別是對面積與周長。這部分知識本身就較為抽象，理解難度大。把這兩個概念放一起形成數(shù)學(xué)問題，問題難度就會提高好幾個層次。這時，圖式就體現(xiàn)出了它的價值，我們可以利用直觀的圖式來表達(dá)題目中抽象、概念性的東西。

例如：周長相等的一個正方形和一個長方形，它們的面積（）。

A.相等 B.不相等C.可能相等，也可能不相等

解決問題時不妨假設(shè)長方形和正方形的周長都是12cm，在方格圖（每個小正方形的面積是lcm2）中畫出幾個圖形（如圖9）。顯然，周長相等的正方形和長方形，面積并不相等。

通過畫圖，將枯燥的文字和形象的圖式有機(jī)結(jié)合，使抽象問題變得形象直觀、簡潔明了，同時也能幫助分析題意、明辨概念，將模糊的概念清晰化。

“圖式”在解釋問題現(xiàn)象時帶來的視覺沖擊使我們對知識的理解超出了通竅的范圍。教師教學(xué)時運用數(shù)形結(jié)合思想與辨析對比方法，將復(fù)雜難懂的數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化成簡單的問題，促使學(xué)生對知識的認(rèn)識、理解逐步深化。

四、交流合作，打破識圖定式

傳統(tǒng)小學(xué)數(shù)學(xué)幾何教學(xué)為教師示范、學(xué)生操作的感知形式，但沒有哪種途徑比學(xué)生自己去探索、去發(fā)現(xiàn)新知更為高效，通過各類存在可能性的實驗得出的結(jié)論最能夠提升學(xué)生的幾何識圖能力。因此，教師應(yīng)打破傳統(tǒng)的教學(xué)思維模式，為學(xué)生設(shè)計合理的探究活動，指導(dǎo)學(xué)生展開探究式學(xué)習(xí)，以小組學(xué)習(xí)的形式探索新知。

例如，在教學(xué)“圓柱的認(rèn)識”時，筆者提問：“剛才我們用這張長方形紙通過旋轉(zhuǎn)得到圓柱，還可以用什么方法得到圓柱呢？”筆者讓學(xué)生先思考再動手操作。學(xué)生動手操作后明確，還可以通過卷長方形紙得到圓柱。筆者趁機(jī)拋出一個具有挑戰(zhàn)性的問題：“卷成的圓柱的側(cè)面積跟長方形有什么關(guān)系？”有效地激發(fā)學(xué)生進(jìn)一步思考。在小組討論中，學(xué)生各抒己見，有的說圓柱側(cè)面展開就是長方形;有的補充說圓柱側(cè)面的面積與長方形的面積是相等的;有的說如果豎著卷，長方形的寬就是圓柱的底面周長，長方形的長就是圓柱的高;還有的說如果橫著卷，那么長方形的長就是圓柱的底面周長，長方形的寬就是圓柱的高。在小組討論和演示中，學(xué)生全面認(rèn)識了長方形和圓柱側(cè)面之間的關(guān)系，學(xué)會了把陌生的曲面轉(zhuǎn)化成熟悉的平面圖形。通過小組合作積極探究問題的本質(zhì)，教學(xué)過程變成一個動態(tài)的學(xué)習(xí)整體。

綜上所述，不難發(fā)現(xiàn)當(dāng)前很多高段學(xué)生并不重視鍛煉自身的幾何識圖能力，教師也不太關(guān)注和培育學(xué)生的幾何識圖能力，致使學(xué)生對“圖形與幾何”的課程內(nèi)容不夠熟悉，空間觀念和幾何直觀能力都不理想，嚴(yán)重影響其數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的提升。因此，教師一定要明確空間觀念與幾何識圖能力培養(yǎng)的重要價值，努力激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)空間與幾何圖形的興趣，有針對性地培養(yǎng)小學(xué)高段學(xué)生的幾何識圖能力，全面提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

[參考文獻(xiàn)]

[1]鄒霞.信息技術(shù)在小學(xué)數(shù)學(xué)“圖形與幾何”課堂教學(xué)中的應(yīng)用[J].數(shù)學(xué)大世界（上旬）.2016（07）：36-37.

[2]王淑華.小學(xué)數(shù)學(xué)中幾何圖形概念的教學(xué)策略[J].中華少年.2015（ 27）：135-136.

[3]劉曉嵐.芻議小學(xué)數(shù)學(xué)中幾何圖形的教學(xué)方式[J].新課程（小學(xué)）.2015（ 06）：146.

[4] 劉淼.小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的“數(shù)形結(jié)合”探究[J].中國校外教育.2015 （14）：143.

[5] 梁嫻雅，幾何直觀在教學(xué)中的有效運用[J].時代教育.2015（ 08）：275.

（責(zé)編吳美玲）