一道平面向量高考題的解法與變式探究

浙江金華第一中學(xué) (321015) 吳賢盛

平面向量是高考命題的基本考點(diǎn)，命題形式一般以選擇題與填空題為主，平面向量數(shù)量積是命題的重點(diǎn)內(nèi)容，主要涉及平面向量數(shù)量積的運(yùn)算、模的運(yùn)算、夾角的運(yùn)算和與平面向量數(shù)量積有關(guān)的參數(shù)問題.那么這類問題有哪些解法呢？讓我們一起來探究2019年的一道高考題.

一、高考真題及解法探究

這是一道求向量夾角的平面向量數(shù)量積問題，題面十分簡潔，卻滲透了數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，考查了考生的轉(zhuǎn)化能力.那么解答這道題有哪些思路呢？

思路1：直接利用平面向量的夾角公式.

思路2：通過建立直角坐標(biāo)系轉(zhuǎn)化為解析幾何問題

圖1

點(diǎn)評：把向量問題坐標(biāo)化，就是利用數(shù)形結(jié)合思想，將平面向量問題轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)運(yùn)算問題.本題采用坐標(biāo)法之后大大減少計算量，體現(xiàn)了平面向量的幾何意義的靈活應(yīng)用.

思路3：轉(zhuǎn)化為解三角形問題

點(diǎn)評：由向量的加減法的幾何意義，把原問題轉(zhuǎn)化為解三角形問題，也是一條非常有效的解題思路，由此可見“由數(shù)思形”，多方聯(lián)想.

二、變式問題方法再探

圖2

點(diǎn)評：向量是“數(shù)”與“形”的統(tǒng)一體，為了同時考查向量的“數(shù)”、“形”特征，試題往往以向量的數(shù)量積背景，考生需要深挖向量數(shù)量積的幾何意義，找到解題思路，或利用轉(zhuǎn)化思想，將向量的最值問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最值問題，以考查考生思維的靈活性.選擇不同轉(zhuǎn)化思路，會得到不一樣的解法.

以上三個變式再次告訴我們：當(dāng)數(shù)量積問題中給出的題設(shè)條件中含有基底向量時，一般采用定義法，這類問題一般難度不大.而當(dāng)數(shù)量積問題的條件中只給出關(guān)于幾個向量的條件等式時，一般需利用根據(jù)向量及其運(yùn)算的幾何意義，利用轉(zhuǎn)化思想轉(zhuǎn)化為其它數(shù)學(xué)問題來解決.