一類含參分段函數(shù)零點(diǎn)問題：高三二輪微專題復(fù)習(xí)課例

江蘇省常州高級(jí)中學(xué) (213003) 劉麗嬪

微專題復(fù)習(xí)課是高三二輪復(fù)習(xí)的常見課型，是對(duì)高考中的部分重要內(nèi)容進(jìn)行專題性地深入剖析.分段函數(shù)是高考的重點(diǎn)內(nèi)容，而含參分段函數(shù)零點(diǎn)問題題型靈活，筆者在近期曾開設(shè)省級(jí)公開課《一類含參分段函數(shù)零點(diǎn)問題》，課后經(jīng)過專家點(diǎn)評(píng)，并再次修改，現(xiàn)以該課為例，談幾點(diǎn)對(duì)高三微專題復(fù)習(xí)課的一些思考，請(qǐng)廣大同仁批評(píng)指正.

1.課堂實(shí)錄

1.1 熱身小練

二輪微專題課，一般不采用直接回顧基本知識(shí)點(diǎn)的方式梳理基本概念及方法，可通過幾個(gè)簡(jiǎn)單的熱身訓(xùn)練引起學(xué)生對(duì)該內(nèi)容的回憶.熱身小題的設(shè)計(jì)一般短小精悍，難度小，入口淺，一下子能把學(xué)生帶入到本課的學(xué)習(xí)中，通過學(xué)生對(duì)問題的解決以及教師的追問交流，回顧基本概念以及處理問題的基本方法，為后續(xù)的例題及變式的學(xué)習(xí)作鋪墊.

1.2 例題講解

例1 已知函數(shù)f(x)=

生1：分為以下兩種情況

(1)f(x)在x<1時(shí)有1個(gè)零點(diǎn)，f(x)在x≥1時(shí)有1個(gè)零點(diǎn).

當(dāng)x<1時(shí)，令f(x)=0，即2x=a，因?yàn)閤<1時(shí)，0<2x<2，則0

(2)f(x)在x<1時(shí)，有0個(gè)零點(diǎn)，f(x)在x≥1時(shí)，有2個(gè)零點(diǎn).

當(dāng)x<1時(shí)，令f(x)=0，即2x=a，因?yàn)?<2x<2，則a≥2或a≤0.

當(dāng)x≥1時(shí)，令f(x)=0，則x=a或x=2a，則1≤a<2a，∴a≥1.即a≥2.

師：你的解題思路很清晰，是怎樣想到用這個(gè)方法解決的？

生1：題目中說f(x)恰有2個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)x<1時(shí)，f(x)有0或1個(gè)零點(diǎn)，那么在另一段x≥1時(shí)，對(duì)應(yīng)地f(x)有2或1個(gè)零點(diǎn).

師：也就是說你把整個(gè)分段函數(shù)的零點(diǎn)問題，分解到了局部(板書：整體?局部).在解題過程中，你用到了哪些思想方法？

生1：數(shù)形結(jié)合，分類討論.

師2：數(shù)形結(jié)合給我們解決問題，尤其是填空題帶來很大的方便.在這道題目中，你還用到了分類討論，那么是按照什么進(jìn)行分類的，分類討論的標(biāo)準(zhǔn)是什么？(板書：數(shù)形結(jié)合、分類討論)

生1：我是根據(jù)分段函數(shù)不同范圍上零點(diǎn)個(gè)數(shù)情況分類的.

師：很好，由于分段函數(shù)的特點(diǎn)，這里我們可以按零點(diǎn)的局部分布情況進(jìn)行分類.(板書：分類標(biāo)準(zhǔn)：零點(diǎn)的局部分布情況)

變式1 已知函數(shù)f(x)=

圖1

生2：我在一個(gè)直角坐標(biāo)系中，分別畫出y1=2x-1,y2=4(x-1)(x-2)的圖象如圖1，這兩個(gè)圖象的零點(diǎn)是確定的，分別是0、1、2.然后對(duì)a進(jìn)行動(dòng)態(tài)分析，a≤0時(shí)，f(x)有2個(gè)零點(diǎn)；02時(shí)，f(x)有1個(gè)零點(diǎn).綜上，a≤0或1

師：大部分同學(xué)的方法和你是一樣的，那你是怎么想到這個(gè)方法的?

生2：我一般填空題看到能用圖象的先用圖象試試.

師：采用了數(shù)形結(jié)合的方法，直觀形象.這里你也用了分類討論，你是對(duì)什么進(jìn)行分類的，分類討論的標(biāo)準(zhǔn)是什么？

生2：我對(duì)a進(jìn)行分類，因?yàn)閍是分段函數(shù)自變量分段的端點(diǎn)，a不同，分段函數(shù)圖象就不一樣，導(dǎo)致零點(diǎn)情況也不一樣.分類的標(biāo)準(zhǔn)是a與0、1、2的大小關(guān)系.其實(shí)0、1、2是f(x)可能的零點(diǎn).

師：分析得很到位，分段函數(shù)自變量分段的端點(diǎn)與零點(diǎn)的大小關(guān)系決定了函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，所以，這是我們分類討論的標(biāo)準(zhǔn)(板書：端點(diǎn)與零點(diǎn)的大小關(guān)系).那我們一起看一看變式1和例1有什么區(qū)別？例1的方法變式1能用嗎？

師：很好，那這里分類討論的標(biāo)準(zhǔn)是什么？

生3：分類的標(biāo)準(zhǔn)是零點(diǎn)的局部分布情況.

變式2 已知函數(shù)f(x)=

生4：當(dāng)x

(1)f(x)在x

(2)f(x)在x

師：這里的分類標(biāo)準(zhǔn)是什么？

生4：分類的標(biāo)準(zhǔn)也是零點(diǎn)的局部分布情況.

圖2

師：看來同學(xué)們對(duì)這類問題的處理已經(jīng)漸入佳境，下面請(qǐng)大家挑戰(zhàn)一下變式3.

生6：函數(shù)g(x)=f(x)-3|x|也是分段函數(shù)，但是比前面的例1及變式題要復(fù)雜，主要原因是自變量的取值范圍可以分成三段，比較難入手.

生7：可以按零點(diǎn)的局部分布情況分類討論.這里有一個(gè)突破口，就是a>0，所以x≤0，f(x)=x2-2x，所以x≤0時(shí)，g(x)=x2-2x+3x=x2+x.

令g(x)=0，得x=0或x=-1.又由題，g(x)有三個(gè)零點(diǎn)，所以x>0時(shí)，g(x)有且僅有一個(gè)零點(diǎn).若0a時(shí)，f(x)=8-x，g(x)=8-x-3x=8-4x，令g(x)=0，得x=2，若5是異與-1、0的第三個(gè)零點(diǎn)，則a≥5；若2是異與-1、0的第三個(gè)零點(diǎn)，則0

師：看來找到了問題的突破口，分三段的分段函數(shù)零點(diǎn)問題也不是難事了.仔細(xì)想想，這個(gè)突破口似乎也是我們解決問題的必經(jīng)之路，分段函數(shù)自變量可以分成x≤0、0a三段，一般我們也總是先從x≤0這一段不帶參數(shù)的解析式開始求零點(diǎn)個(gè)數(shù).

生8：也可以分別畫出函數(shù)y1=3|x|、y2=x2-2x、y3=8-x圖象如圖3，通過動(dòng)態(tài)分析來解決.

圖3

師：很多同學(xué)看這個(gè)問題有點(diǎn)復(fù)雜，就不太敢用這個(gè)方法做下去了，你是怎么考慮的？

生8：其實(shí)主要是看參數(shù)a在分段函數(shù)的哪個(gè)位置，這道題a只出現(xiàn)在自變量的分段點(diǎn)，所以畫出三個(gè)函數(shù)圖象，求出可能的零點(diǎn)很輕松.像變式3，參數(shù)a還出現(xiàn)在函數(shù)解析式中，要是給出的函數(shù)解析式再?gòu)?fù)雜點(diǎn)，這個(gè)題用畫圖可能就很困難了.

師：講得太好了！看來同學(xué)們對(duì)于這類問題的處理已經(jīng)有了自己的一些心得體會(huì)了.

設(shè)計(jì)意圖：例題和變式是課堂的主體，在這一環(huán)節(jié)中，學(xué)生和學(xué)生、學(xué)生和老師之間通過交流、探索，逐步體會(huì)處理這類問題的方法策略，學(xué)生的思維與解題能力也將得到提高.

1.3 小結(jié)提煉

今天的課堂你有哪些收獲？

生9：今天題目的解法中，我印象比較深刻的是按照零點(diǎn)的局部分布情況分類討論的做法，先分析分段函數(shù)中某一段上零點(diǎn)的情況，我覺得通常是單調(diào)函數(shù)的那段零點(diǎn)情況比較簡(jiǎn)單，從而找到問題的突破口.

生10：做這類題目數(shù)形結(jié)合經(jīng)常會(huì)事半功倍.

生11：幾個(gè)題目看起來不太一樣，參數(shù)有的在分段函數(shù)的分段點(diǎn)，有的在函數(shù)解析式，甚至有的分段點(diǎn)和解析式都有參數(shù)，我覺得這些都不是關(guān)鍵，不要被嚇住，分段點(diǎn)和零點(diǎn)才是需要特別關(guān)注的.

師：大家都總結(jié)得很好，看來大家對(duì)這類問題中的數(shù)形結(jié)合，尤其是分類討論有了更深刻的理解。分類討論中分類標(biāo)準(zhǔn)是難點(diǎn)，這里我們按照自變量的端點(diǎn)與零點(diǎn)的大小關(guān)系和按零點(diǎn)的局部分布情況分類，這些都是由分段函數(shù)的特點(diǎn)決定的.

設(shè)計(jì)意圖：微專題的復(fù)習(xí)課可以讓學(xué)生多參與課堂小結(jié)，可以是對(duì)某個(gè)題解題的啟發(fā)，也可以是對(duì)某種方法的感悟。

2.微專題課的實(shí)踐思考

2.1 以方法為主線，選擇復(fù)習(xí)專題

微專題課題的選定，應(yīng)根據(jù)具體的內(nèi)容及學(xué)情來決定.如含參分段函數(shù)零點(diǎn)問題涉及的題型較多且較靈活，作為一節(jié)微專題課，把各種題型整理羅列、蜻蜓點(diǎn)水地講一遍，是沒有太大意義的.若能針對(duì)某一種題型的具體解題方法進(jìn)行深入分析，掌握理解其處理方法，不失為一節(jié)有價(jià)值的微專題課.本節(jié)課的課題曾經(jīng)從《含參分段函數(shù)問題》，調(diào)整到《含參分段函數(shù)零點(diǎn)問題》，最后調(diào)整到《一類含參分段函數(shù)零點(diǎn)問題》，雖然課堂上沒有出現(xiàn)各種方法精彩呈現(xiàn)的狀況，但是相信對(duì)學(xué)生解題思維的鍛煉和方法的掌握是有幫助的.類似的專題有很多，如利用基底向量處理向量數(shù)量積問題、數(shù)列中的整除問題、隱圓問題，解幾中的線段比問題等.

2.2 以變式為手段，逐步深入探究

微專題課中題目的選擇需要教師的整合、改編.教師根據(jù)希望讓學(xué)生掌握的某種解題方法，根據(jù)學(xué)情對(duì)一些題目進(jìn)行改編整合，例題加變式題組的形式可以較完整地構(gòu)建該問題的常用方法，完善方法體系.變式題組通常由淺入深，逐步推進(jìn)，帶領(lǐng)學(xué)生逐步了解問題的本質(zhì)及內(nèi)涵，掌握其解決問題的方法.不同難度的題組也使得各個(gè)層次的學(xué)生都能有所收獲，有助于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情.

2.3 以學(xué)生為主體，實(shí)施課堂教學(xué)

高三二輪微專題的復(fù)習(xí)，學(xué)生已經(jīng)掌握一定的解決問題的方法，課堂上完全可以給學(xué)生更大的舞臺(tái)，讓學(xué)生交流解決問題的方法、困惑，以及收獲，發(fā)揮學(xué)生的主體作用.可由學(xué)生上黑板板書或者實(shí)物投影等方式呈現(xiàn)，有時(shí)學(xué)生的解題并不完美，大多數(shù)問題學(xué)生之間的交流都能進(jìn)行一定程度的完善.比如可能會(huì)有一些典型的錯(cuò)誤，可能來自審題的不仔細(xì)，或者對(duì)概念的混淆，學(xué)生之間的糾錯(cuò)往往更能加深印象.更多的時(shí)候是示范性的解答，這對(duì)答題學(xué)生是一種非常積極的鼓勵(lì)，對(duì)其他同學(xué)更是起到榜樣的示范作用，也便于教師更加真實(shí)地了解學(xué)生的實(shí)際學(xué)習(xí)情況.一般讓學(xué)生長(zhǎng)期參與表達(dá)的課堂，學(xué)生的整體表達(dá)能力與膽識(shí)都明顯比較高，學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性也比較強(qiáng).

2.4 以教師為主導(dǎo)，注重提升優(yōu)化

課堂中以學(xué)生為主體的同時(shí)，也需要發(fā)揮教師的主導(dǎo)作用，主要體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：

①把握課堂節(jié)奏.課堂中學(xué)生展示的機(jī)會(huì)越多，課堂的不可控性就越多，需要教師的經(jīng)驗(yàn)及智慧調(diào)控整個(gè)課堂.課堂中學(xué)生的思維值得肯定時(shí)，需要教師的贊賞；學(xué)生的思路有待商榷時(shí)，需要教師及時(shí)地引導(dǎo)學(xué)生更深層次地思考；學(xué)生的思維受阻時(shí)，需要教師有臺(tái)階、小步子地引導(dǎo).

②追問思維過程.微專題課基本都是在解題，學(xué)生往往回答問題時(shí)就是一個(gè)計(jì)算結(jié)果或者是一個(gè)簡(jiǎn)答.這時(shí)，需要教師不斷地追問，暴露其思維過程，讓學(xué)生知其然，更知其所以然.教師不斷追問的過程，就是在引導(dǎo)學(xué)生思考解決問題的突破口、難點(diǎn)、重點(diǎn)，以及易錯(cuò)點(diǎn).所有看似隨意的追問，都是教師的有意為之.

③優(yōu)化方法策略.學(xué)生的解題方法往往五花八門，有時(shí)未必能找到比較簡(jiǎn)潔的解題策略，這時(shí)需要教師的智慧，巧妙地在學(xué)生的解題策略上加以改進(jìn)、優(yōu)化，讓學(xué)生在解法上得以優(yōu)化提升.