初中數(shù)學(xué)教材理解的視角分析

孫凱 耿恒考

【摘 要】數(shù)學(xué)教材是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)的載體，理解教材是教師上好課的前提。新入職教師表現(xiàn)出“不讀”和“淺讀”教材的現(xiàn)象，導(dǎo)致課堂教學(xué)“低效”?；诶斫饨滩牡囊暯窃u析“有理數(shù)加法”同課異構(gòu)活動(dòng)，提出從整體布局、內(nèi)容設(shè)置、聯(lián)系發(fā)展、隱性知識(shí)、方法策略等視角理解教材，提升教學(xué)水平，促進(jìn)新入職教師的專業(yè)發(fā)展。

【關(guān)鍵詞】專業(yè)發(fā)展;理解教材;有理數(shù)的加法;對比評析

【中圖分類號(hào)】G633.6? 【文獻(xiàn)標(biāo)志碼】A? 【文章編號(hào)】1005-6009（2020）19-0036-05

【作者簡介】1.孫凱，江蘇省蘇州市陽山實(shí)驗(yàn)初級(jí)中學(xué)校（江蘇蘇州，215151）教師，高級(jí)教師;2.耿恒考，江蘇省蘇州中學(xué)園區(qū)校（江蘇蘇州，215000）教師，正高級(jí)教師，江蘇省特級(jí)教師。

《中共中央國務(wù)院關(guān)于深化教育教學(xué)改革全面提高義務(wù)教育質(zhì)量的意見》指出：充分發(fā)揮教師主導(dǎo)作用，引導(dǎo)教師深入理解學(xué)科特點(diǎn)、知識(shí)結(jié)構(gòu)、思想方法，科學(xué)把握學(xué)生認(rèn)知規(guī)律，上好每一堂課。理解教材是教師上好課的先決條件。就數(shù)學(xué)學(xué)科而言，深入理解學(xué)科特點(diǎn)、知識(shí)結(jié)構(gòu)、思想方法就是理解教材、理解數(shù)學(xué)。數(shù)學(xué)教材是編寫者基于數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的深刻理解，遵循學(xué)生心理特點(diǎn)和認(rèn)知規(guī)律，為實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)課程目標(biāo)而編寫的教學(xué)資源，它凝聚著編寫者的心血和智慧，是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)的載體，教師能否正確理解教材并領(lǐng)會(huì)教材編寫者的意圖，是發(fā)揮教師主導(dǎo)作用，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)課程目標(biāo)和落實(shí)立德樹人根本任務(wù)的關(guān)鍵。

新手教師對教材的研讀往往還停留在學(xué)生的視角，面對教材上的“試一試”“做一做”“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)室”“議一議”等教學(xué)內(nèi)容時(shí)往往只看到表面現(xiàn)象，常常表現(xiàn)出“不讀”和“淺讀”的異化現(xiàn)象[1]，在設(shè)計(jì)意圖的把握以及教學(xué)價(jià)值的挖掘等方面存在明顯不足，教學(xué)中往往按部就班、照本宣科地實(shí)施教學(xué)，導(dǎo)致課堂教學(xué)“低效”甚至“無效”。近期，筆者參與了兩位新入職教師（下文簡稱“A教師”“B教師”）的同課異構(gòu)活動(dòng)，課題為蘇科版七年級(jí)上冊“有理數(shù)的加法”?，F(xiàn)簡述兩位教師的教學(xué)設(shè)計(jì)，基于教材的理解對情境創(chuàng)設(shè)、新知探索、新知應(yīng)用等環(huán)節(jié)進(jìn)行對比評析，談?wù)勓凶x教材、理解教材的幾個(gè)視角。

一、教學(xué)設(shè)計(jì)呈現(xiàn)

1.A教師的教學(xué)簡錄。

（1）情境創(chuàng)設(shè)。

問題1：引入負(fù)數(shù)后，如何進(jìn)行有理數(shù)的加法運(yùn)算？

情境1：甲、乙兩隊(duì)進(jìn)行足球比賽。如果甲隊(duì)在主場贏了3球，在客場輸了2球，那么兩場比賽后甲隊(duì)凈勝1球。

①你能把上面比賽的過程及結(jié)果用有理數(shù)的算式表示出來嗎？

②填寫表格（表1）。

（2）新知探索。

活動(dòng)1：對情境中的算式進(jìn)行分類，總結(jié)運(yùn)算的特征，初步形成有理數(shù)加法法則。

活動(dòng)2：筆尖在數(shù)軸上移動(dòng)，驗(yàn)證算式的運(yùn)算過程及結(jié)果。

把筆尖放在數(shù)軸的原點(diǎn)，沿?cái)?shù)軸先向左移動(dòng)5個(gè)單位長度，再向右移動(dòng)3個(gè)單位長度，這時(shí)筆尖停在“-2”的位置上。用數(shù)軸（圖1）和算式可以將以上過程及結(jié)果分別表示為：

算式：

在數(shù)軸上動(dòng)手操作其他類型的兩次移動(dòng)并寫出相應(yīng)的算式。觀察算式特征，歸納概括并形成有理數(shù)加法法則。（板書法則）

（3）新知應(yīng)用。

例題計(jì)算：①（-15）+（-3）;②（-180）+（+20）;③5+（-5）;④0+（-2）。

根據(jù)法則，板書例題的運(yùn)算步驟，總結(jié)為“定類、定號(hào)、定值”。

2.B教師的教學(xué)簡錄。

（1）情境創(chuàng)設(shè)。

問題1：比較絕對值的大?。孩?0與30;②-20與-30;③20與-30;④-20與30;⑤-30與0。

問題2：足球循環(huán)賽中，通常把贏球數(shù)記為“+”，輸球數(shù)記為“-”，打平記為“0”，它們的和叫做凈勝球數(shù)。注：贏球數(shù)（+）+輸球數(shù)（-）=凈勝球數(shù)。

①在該場比賽中，甲隊(duì)主場贏了3個(gè)球，客場輸了2個(gè)球，兩場比賽后，甲隊(duì)的凈勝球數(shù)為? ? ? ? ?;

②乙隊(duì)主場輸了3個(gè)球，客場贏了2個(gè)球，兩場比賽后，乙隊(duì)的凈勝球數(shù)為? ? ? 。

隨后分別給出乙隊(duì)主場贏客場輸、甲隊(duì)主場輸客場輸、乙隊(duì)主場輸客場平、甲隊(duì)主場平客場輸?shù)惹樾巍?/p>

問題3：根據(jù)生活情境，你認(rèn)為有理數(shù)的加法可以分為哪些不同的情形？

（2）新知探索。

活動(dòng)1：把筆尖放在數(shù)軸的原點(diǎn)，讓它做左右方向的運(yùn)動(dòng)，我們規(guī)定向右為正，向左為負(fù)。筆尖先向右移動(dòng)2個(gè)單位長度，再向右移動(dòng)3個(gè)單位長度，那么兩次運(yùn)動(dòng)的結(jié)果是向? 運(yùn)動(dòng)? 個(gè)單位長度？如何用算式表示？（圖2）

活動(dòng)2：如果筆尖從原點(diǎn)先向左移動(dòng)2個(gè)單位長度，再向左移動(dòng)3個(gè)單位長度，那么兩次運(yùn)動(dòng)的結(jié)果是向? 運(yùn)動(dòng)? 個(gè)單位長度？如何用算式表示？（圖3）

根據(jù)算式特征歸納出同號(hào)兩數(shù)相加的法則。運(yùn)用同樣的研究方法，分別得出異號(hào)兩數(shù)、有一個(gè)加數(shù)為0兩種類型的加法法則。

（3）新知應(yīng)用。

例題計(jì)算：①（-7）+（-15）;②0+（-10.5）;③（-160）+（+10）;④8+（-8）。

根據(jù)法則逐步完成計(jì)算，并指出每一步的計(jì)算依據(jù)（PPT示范計(jì)算過程），總結(jié)計(jì)算步驟：判斷類型、確定符號(hào)、絕對值加減。

二、基于教材理解的對比評析

1.情境創(chuàng)設(shè)環(huán)節(jié)。

學(xué)生在小學(xué)學(xué)段學(xué)過非負(fù)數(shù)范圍的加法運(yùn)算，在初中學(xué)段引入負(fù)數(shù)后，數(shù)的范圍擴(kuò)充到有理數(shù)范圍。而有理數(shù)的加法是有理數(shù)運(yùn)算的重要基礎(chǔ)，是整個(gè)初中代數(shù)的基礎(chǔ)。但對學(xué)生而言負(fù)數(shù)是比較抽象的，因此有必要借助現(xiàn)實(shí)情境來幫助學(xué)生感受有理數(shù)加法的現(xiàn)實(shí)意義，把數(shù)學(xué)問題情境化呈現(xiàn)的做法符合學(xué)生的心理特點(diǎn)與認(rèn)知規(guī)律，有助于學(xué)生在現(xiàn)實(shí)情境中依據(jù)生活經(jīng)驗(yàn)體悟有理數(shù)加法的合理性。

教材上設(shè)置“足球比賽的凈勝球”情境（下文簡稱“足球情境”）的目的是讓學(xué)生在把現(xiàn)實(shí)問題抽象成數(shù)學(xué)問題的過程中，經(jīng)歷現(xiàn)實(shí)問題數(shù)學(xué)化、模型化等高階思維活動(dòng)，體會(huì)數(shù)學(xué)模型思想，初步感悟有理數(shù)加法運(yùn)算的特點(diǎn)。需要指出的是這里得到的算式（+3）+（-2）=+1不是根據(jù)有理數(shù)加法法則得到的，而是依據(jù)生活經(jīng)驗(yàn)得到的。由此凸顯用數(shù)學(xué)的方法（數(shù)軸）研究數(shù)學(xué)問題的必要性（為什么要用數(shù)軸探索有理數(shù)加法）。

在現(xiàn)實(shí)情境的選擇上，兩位教師都選擇了教材提供的“足球情境”。A教師使用教材的呈現(xiàn)方式，按部就班地完成表格，得到7個(gè)算式。B教師改編了足球情境下的學(xué)習(xí)任務(wù)，以填空的形式引導(dǎo)學(xué)生體驗(yàn)現(xiàn)實(shí)情境下的有理數(shù)加法運(yùn)算，并引導(dǎo)學(xué)生對有理數(shù)加法可能的情形進(jìn)行分類。這樣的設(shè)計(jì)重視“分類”過程，但另一方面會(huì)忽視“建?！边^程（用算式表示過程及結(jié)果），導(dǎo)致分類對象混亂（現(xiàn)實(shí)對象還是數(shù)學(xué)對象），學(xué)生的學(xué)習(xí)可能出現(xiàn)盲從狀態(tài)。

2.探索新知環(huán)節(jié)。

探索新知環(huán)節(jié)的教學(xué)任務(wù)是用數(shù)學(xué)的方法（數(shù)軸上的點(diǎn)移動(dòng)）探索有理數(shù)加法的運(yùn)算過程及運(yùn)算結(jié)果，注重?cái)?shù)形結(jié)合，把“數(shù)”的問題以“形”的方式直觀呈現(xiàn)出來，體會(huì)有理數(shù)加法的幾何意義，讓學(xué)生充分經(jīng)歷“數(shù)”“形”之間的相互轉(zhuǎn)換，感受運(yùn)算過程及結(jié)果的合理性。

A教師在此環(huán)節(jié)首先對7個(gè)算式進(jìn)行分類，引導(dǎo)學(xué)生觀察算式的過程及結(jié)果的特征，分別歸納出同號(hào)、異號(hào)、加數(shù)有0等三類運(yùn)算的法則（口頭表達(dá)），隨后通過“數(shù)軸上的筆尖運(yùn)動(dòng)”驗(yàn)證運(yùn)算的合理性，進(jìn)一步形成有理數(shù)加法法則（文字描述）。B教師在明確有理數(shù)加法的分類后，借助“數(shù)軸上的筆尖運(yùn)動(dòng)”探索有理數(shù)的加法，分別設(shè)計(jì)了從原點(diǎn)出發(fā)的同向移動(dòng)、異向移動(dòng)等活動(dòng)，分別探索同號(hào)相加、異號(hào)相加、加數(shù)有0等三種類型的有理數(shù)加法法則。顯然，A教師對教材的理解有誤，對情境教學(xué)目的以及數(shù)軸教學(xué)價(jià)值的理解有偏差，具體表現(xiàn)為對7個(gè)算式的處理過于草率，急于歸納概括形成法則，用數(shù)軸驗(yàn)證法則的合理性，致使部分學(xué)生誤認(rèn)為用數(shù)軸的方法解決有理數(shù)加法也是很好的方式。B教師對教材的把握更好一些，在明確分類的基礎(chǔ)上，分別設(shè)計(jì)三種類型的“數(shù)軸上的筆尖運(yùn)動(dòng)”的探索活動(dòng)，解決三類有理數(shù)加法的運(yùn)算問題，分批形成法則，發(fā)揮了數(shù)軸在探索加法法則活動(dòng)中的價(jià)值。

3.新知應(yīng)用環(huán)節(jié)。

新知應(yīng)用環(huán)節(jié)主要任務(wù)是引導(dǎo)學(xué)生在具體問題解決的實(shí)踐中學(xué)會(huì)正確、規(guī)范地使用有理數(shù)加法法則，加深對法則的理解，經(jīng)歷確定類別、確定結(jié)果的符號(hào)和絕對值計(jì)算等三個(gè)過程，學(xué)會(huì)程序化運(yùn)算，掌握法則，形成運(yùn)算技能。

兩位教師在例題教學(xué)時(shí)，都根據(jù)加法法則提煉并歸納有理數(shù)加法運(yùn)算的一般步驟：定類、定號(hào)、定值，對有理數(shù)加法法則應(yīng)用于具體運(yùn)算步驟的提煉，有利于學(xué)生簡化記憶，完成程序化運(yùn)算，提高運(yùn)算的正確率。B教師在例題教學(xué)時(shí)，沒有把例題教學(xué)過程板書在黑板上，僅以PPT的形式呈現(xiàn)，計(jì)算步驟的示范性不夠，導(dǎo)致學(xué)生自主計(jì)算時(shí)出現(xiàn)混亂甚至錯(cuò)誤的現(xiàn)象。

三、理解教材的幾個(gè)視角

我們經(jīng)常把“教教材”和“用教材教”兩種理念放在一起比較，“用教材教”的理念得到普遍認(rèn)可，但是不少教師誤解“用教材教”的內(nèi)涵，不下功夫深入研讀教材，在沒有準(zhǔn)確理解教材編寫意圖的情況下就隨意地刪減、補(bǔ)充或更改教材內(nèi)容，有的甚至輕率地脫離教材進(jìn)行教學(xué)，結(jié)果是課堂教學(xué)變得沒有章法。[2]611作為一線的普通教師，能理解教材、用好教材，做到并做好“教教材”已屬不易，倘若對教材的理解不到位，未能領(lǐng)會(huì)編寫者的意圖，盲目地去“用教材教”，必然會(huì)有好高騖遠(yuǎn)、誤人子弟之嫌。結(jié)合以上對兩位新手教師課例的分析，筆者認(rèn)為可以從以下幾個(gè)視角理解教材。

1.從整體布局的視角。

數(shù)學(xué)教材承載著數(shù)學(xué)的知識(shí)體系，能否從整體上把握教材的內(nèi)容尤為重要。就一節(jié)課而言，整體的視角包含三個(gè)層次，分別是整個(gè)學(xué)段、整章、整節(jié)課，作為新入職教師，應(yīng)先著重從整章和整節(jié)課的視角研讀教材。從整章來看，要研究并理解整章的知識(shí)結(jié)構(gòu)，挖掘章頭材料的教學(xué)價(jià)值，明確整章的學(xué)習(xí)目標(biāo)，從宏觀上把握教材。從一節(jié)課來看，通過對教材內(nèi)容的研讀，明確教學(xué)起點(diǎn)和教學(xué)終點(diǎn)，最終確定從起點(diǎn)到終點(diǎn)的教學(xué)路徑，從微觀上理解教材。

有理數(shù)的整章內(nèi)容可以分為三個(gè)單元，分別為有理數(shù)的概念、有理數(shù)的運(yùn)算和有理數(shù)的混合運(yùn)算。有理數(shù)的加法屬于有理數(shù)運(yùn)算單元下的一節(jié)課，要解決的是負(fù)數(shù)引入后的加法運(yùn)算問題，這是本節(jié)課的教學(xué)終點(diǎn);小學(xué)學(xué)過的加法運(yùn)算及生活經(jīng)驗(yàn)是本節(jié)課的教學(xué)起點(diǎn);如何引導(dǎo)學(xué)生探索加法，明晰算理是教學(xué)路徑;選用哪種方式達(dá)成是教學(xué)方式。

2.從內(nèi)容設(shè)置的視角。

“教什么”比“怎么教”更重要。在研讀教材時(shí)既要搞清楚教材上有什么，還要搞清楚為什么。蘇科版初中數(shù)學(xué)教材一般設(shè)置了“試一試”“做一做”“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)室”“議一議”“練一練”等內(nèi)容。對于這些內(nèi)容我們首先應(yīng)搞清楚它是什么，再結(jié)合課程標(biāo)準(zhǔn)的理解，參考教師教學(xué)用書的解讀，領(lǐng)悟內(nèi)容設(shè)置意圖。其次在研讀教材時(shí)要帶著為什么設(shè)置這些內(nèi)容，呈現(xiàn)的方式為什么是這樣等問題去研讀教材。

比如教材上的第一段內(nèi)容為“小學(xué)里，我們學(xué)過加法和減法運(yùn)算，引進(jìn)負(fù)數(shù)后，怎樣進(jìn)行有理數(shù)的加法和減法運(yùn)算呢？”這段內(nèi)容指出本節(jié)課的學(xué)習(xí)任務(wù)以及學(xué)習(xí)的必要性。同時(shí)我們還要思考其背后隱藏的教學(xué)指向，比如小學(xué)學(xué)過的加法和減法運(yùn)算的對象是什么？學(xué)到什么程度？引入負(fù)數(shù)后，加法和減法運(yùn)算會(huì)遇到什么樣的問題等等。又如教材上“做一做”的內(nèi)容為填寫表格，這個(gè)內(nèi)容的設(shè)置意圖是學(xué)生基于現(xiàn)實(shí)情境的生活經(jīng)驗(yàn)，用數(shù)學(xué)算式表達(dá)生活中的具體問題，得到一些不同類型的加法算式“模型”，體會(huì)加法學(xué)習(xí)的必要性和運(yùn)算的合理性，為探索有理數(shù)加法法則做準(zhǔn)備。學(xué)生把現(xiàn)實(shí)問題抽象成數(shù)學(xué)問題并用數(shù)學(xué)方法解決問題的過程就是數(shù)學(xué)建模，這是“做一做”活動(dòng)的高層次追求。再如設(shè)置“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)室”的目的是讓學(xué)生從“形”上探索有理數(shù)的加法運(yùn)算法則。學(xué)生“做”中有思，借助數(shù)軸以直觀形象的方式把數(shù)的運(yùn)算問題以圖形的運(yùn)動(dòng)方式予以解釋，把抽象的“負(fù)數(shù)”轉(zhuǎn)化為直觀的“圖形”，實(shí)現(xiàn)探索有理數(shù)加法運(yùn)算合理性的目的。

3.從聯(lián)系發(fā)展的視角。

一節(jié)好課的起始階段應(yīng)注重知識(shí)的生成過程，在遵循學(xué)生心理特點(diǎn)和認(rèn)知規(guī)律的前提下設(shè)置問題情境，引發(fā)認(rèn)知沖突，幫助學(xué)生明晰研究對象的來龍去脈，使學(xué)生明白為什么研究、研究什么，再共同探索如何研究。帶著這些具有指向性的問題，宏觀上分析課時(shí)內(nèi)容在教材中的地位和作用，分析整章知識(shí)結(jié)構(gòu)，知識(shí)間的縱向聯(lián)系;微觀上分析課時(shí)內(nèi)容的內(nèi)在聯(lián)系，分析思想方法的橫向聯(lián)系，理清知識(shí)的來龍去脈，理解教材，把握數(shù)學(xué)本質(zhì)。研讀教材時(shí)還應(yīng)注重從發(fā)展的視角理解教材，加強(qiáng)對知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展以及研究方法的教學(xué)等方面的研究。

4.從隱性知識(shí)的視角。

教材是紙質(zhì)的、靜態(tài)的，而教學(xué)是動(dòng)態(tài)的、生成的，因此，教材只能呈現(xiàn)某個(gè)固化的過程。[3]教材往往呈現(xiàn)的是知識(shí)的學(xué)術(shù)形態(tài)，把學(xué)術(shù)形態(tài)轉(zhuǎn)化為教育形態(tài)是對教師的基本要求。高水平的教師，能透過現(xiàn)象看到本質(zhì)，在教教材中顯性知識(shí)的同時(shí)，能挖掘出其后的隱性知識(shí)，教到一些別人教不出來的內(nèi)容。[4]數(shù)學(xué)是思維的體操，數(shù)學(xué)的顯性知識(shí)中蘊(yùn)含豐富的數(shù)學(xué)思想方法，它是“隱身”的高層次的知識(shí)形態(tài)，需要在研讀教材時(shí)充分挖掘，實(shí)現(xiàn)知識(shí)的學(xué)術(shù)形態(tài)向教育形態(tài)轉(zhuǎn)化。

比如在“試一試”的教學(xué)環(huán)節(jié)，把現(xiàn)實(shí)問題抽象成數(shù)學(xué)問題，蘊(yùn)含了數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模等基本數(shù)學(xué)思想;在建構(gòu)加法模型過程中，培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)、符號(hào)意識(shí)、模型思想;在對算式的觀察分析過程中，培養(yǎng)分類討論思想。又如在“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)”的教學(xué)環(huán)節(jié)，讓學(xué)生經(jīng)歷由“數(shù)”到“形”再到由“形”到“數(shù)”的雙向“解釋”過程，使學(xué)生理解加法運(yùn)算的幾何意義，培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合思想。

5.從方法策略的視角。

理解教材是當(dāng)好數(shù)學(xué)教師的前提。[2]679調(diào)查發(fā)現(xiàn)，新入職教師有研讀教材的意識(shí)，但在研讀教材時(shí)缺乏方法指導(dǎo)，沒有也不知道具體可行的方法，導(dǎo)致研讀教材不夠深入，難以領(lǐng)悟編寫意圖，無法準(zhǔn)確把握教學(xué)內(nèi)容，發(fā)揮教材的教學(xué)價(jià)值。因此，掌握一些研讀數(shù)學(xué)教材的基本方法策略尤為重要。概念圖法、難度模型法、內(nèi)容分析法等方法為教師研讀數(shù)學(xué)教科書提供基本視角。[5]新入職教師要在教學(xué)實(shí)踐中了解、學(xué)習(xí)和掌握，逐步提高研讀教材的水平。比如在對教材研讀時(shí)通過概念圖整體理解和把握教材（如44頁圖4）。

總之，新手教師應(yīng)從整體布局、內(nèi)容設(shè)置、聯(lián)系發(fā)展、隱性知識(shí)、方法策略等視角理解教材，領(lǐng)悟編寫意圖，透過教材中的各種知識(shí)形態(tài)看到更豐富的教學(xué)內(nèi)容，提升自身理解教材的專業(yè)素養(yǎng)，充分挖掘和發(fā)揮教材的教學(xué)價(jià)值，做好“教教材”，最終實(shí)現(xiàn)“用教材教”的美好愿景。

【參考文獻(xiàn)】

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