立體幾何問題的模型化處理策略——以長(正)方體為例

湖南省衡陽市第八中學(xué)

高考中立體幾何板塊的考查,其中空間中的線線、線面、面面關(guān)系及其相關(guān)量的計算與證明是主要方向,在高三復(fù)習(xí)教學(xué)中,如何使學(xué)生的空間想象能力更上一個臺階,是擺在廣大數(shù)學(xué)教師面前的一大課題.本文試圖以長方體和正方體及它們變形出來的模型為例,歸納整理模型化處理策略在立體幾何問題的應(yīng)用,培養(yǎng)學(xué)生空間感,尋找解題的突破口,提高解題能力.

問題呈現(xiàn)(2017年高考全國Ⅲ卷第16題)a,b為空間中兩條互相垂直的直線,等腰直角三角形ABC的直角邊AC所在直線與a,b都垂直,斜邊AB以直線AC為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn),有下列結(jié)論:

解析此類問題如果沒有具體模型,不太好考慮.發(fā)現(xiàn)有三直線兩兩垂直這一前提條件,可考慮將問題情境放入長方體或正方體中考慮,即構(gòu)造具體模型求解.

圖1

由題意知,a,b,AC三條直線兩兩相互垂直,畫出圖形如圖1.不妨設(shè)圖1中所示正方體邊長為1,故邊AB以直線AC為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn),則A點保持不變,B點的運(yùn)動軌跡是以C為圓心,1 為半徑的圓.以C為坐標(biāo)原點,以為x軸正方向,為y軸正方向,為z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系.則D(1,0,0),A(0,0,1),直線a的方向單位向量設(shè)B點的起始坐標(biāo)為(0,1,0),直線b的方向單位向量b=(1,0,0),|b|=1,設(shè)點B在運(yùn)動過程中的坐標(biāo)B′(cosθ,sinθ,0),其中θ為CB′與CD的夾角,θ ∈[0,2π).

策略一 巧用長(正)方體判斷位置關(guān)系問題

當(dāng)問題沒有給出具體的圖形,只是給出了相關(guān)點、線、面的關(guān)系(如平行、垂直等),要判斷某些元素的位置關(guān)系時,通常可考慮構(gòu)造長方體、正方體模型,把這些線、面變成長方體或正方體中的線段或某一個面,進(jìn)而加以解決.

例1(2013年新課標(biāo)Ⅱ卷) 已知m,n為異面直線,m⊥平面α,n⊥平面β.直線l滿足l⊥n,l⊥m,l ?/ α,l ?/ β,則( )

A.α//β且l//αB.α⊥β且l⊥β

C.α與β相交,且交線垂直于lD.α與β相交,且交線平行于l

解析相關(guān)的線、面關(guān)系條件較多,不妨放入具體模型長方體或正方體中考慮,采用排除、驗證等方法求解.如圖,長方體ABCD-A1B1C1D1,記平面ADD1為α,平面ABC為β,直線AB為m,直線B1C1為l,直線CC1為n,易排除A,B,C,選D.

圖2

策略二 巧用長(正)方體處理三視圖問題

利用長方體、正方體的面為“屏幕”,幾何體的正投影可直接在各個面上得到很好的體現(xiàn),特別是對關(guān)于棱錐型的幾何體三視圖問題,按常規(guī)方法不易想象時,不妨運(yùn)用長方體、正方體模型解決,往往會有“柳暗花明”的效果.

例2一個多面體中某一條棱的正視圖,側(cè)視圖和俯視

解析初看起來,多面體中某一條棱這一條件讓人感覺有點摸不著頭腦,若將這個多面體的這條棱嵌入長方體中,如圖3,使這條棱為長方體的體對角線BD1,則它在正視圖、側(cè)視圖、和俯視圖中分別對應(yīng)D1C,C1B,BD,則易求得即為所求值.

圖3

例3(2014年高考全國Ⅰ卷) 如圖4,網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,粗實線畫出的是某多面體的三視圖,則該多面體的各條棱中,最長的棱的長度為( )

圖4

解析由三視圖可知,原幾何體的長、寬、高均為4,所以我們可用一個正方體作為載體對三視圖進(jìn)行還原.先畫出一個正方體,如圖(5)(6)(7),畫出正視圖、側(cè)視圖、俯視圖的頂點的“原象”,即圖中加黑部分的線段,然后找三線交匯處得相應(yīng)頂點,如圖(8),再進(jìn)行驗證,一般可以得出三視圖的還原圖形,如圖(8).

圖5

圖6

圖7

圖8

如圖(8) 所示,原幾何體為三棱錐P - ABC,其中故最長的棱的長度為PA=6,故選B.

策略三 巧用長方體解決多面體與球相接、相切問題

例4(1) 已知各頂點都在同一球面上的正四棱柱的高為4,體積為16,則這個球的表面積是____.

(2) 若三棱錐的三個側(cè)面兩兩垂直,且側(cè)棱長均為3,則其外接球的表面積是____.

(3) 在正三棱錐S -ABC中,M,N分別是棱SC,BC的中點,且AM⊥MN,若側(cè)棱則正三棱錐S-ABC外接球的體積是____.

(4) 用6根長度為1的鐵棍焊接成一個正四面體框架,若忽略鐵棍的粗細(xì),則該框架能夠容納得下的最大球體的半徑為____.

解析(1)直接運(yùn)用長方體模型,由對稱性知,球心即為正四棱柱體對角線的中點,如圖9所示,由條件可得,底面邊長為2,記該球半徑為R,所以則S=4πR2=24π.

圖9

圖10

(2) 由條件可知,三棱錐的三條側(cè)棱也兩兩垂直,且相等.以三條側(cè)棱為鄰邊構(gòu)造正方體,如圖10所示,于是問題轉(zhuǎn)化為(1) 中類型,所以則S=4πR2=9π.

(3) 由正三棱錐性質(zhì)知SB⊥AC(對棱互相垂直),又MN⊥AM,所以SB⊥AM,又AM ∩AC=圖的長度分別為a,b,c,則這條棱長為.A,可得SB⊥平面SAC,則有SB⊥SA,SB⊥SC,由ΔSAC～= ΔSAB,可知SA⊥SC,以SA,SB,SC為鄰邊構(gòu)造正方體,如圖11所示,化歸成(1) 中類型解決,2R=所以

圖11

圖12

(4) 直接計算有一定的運(yùn)算量,從整體考慮,可構(gòu)建正方體模型進(jìn)行求解.把焊接成的正四面體框架A-BCD放置于其中,如圖12所示,則球心為正方體的中心,最大球體的半徑為正方體中心到對角線CD中點的距離,另一方面,由CD=1,得正方體的棱長為正方體中心到CD中點的距離為于是最大球體的半徑為

評析多面體與球相接、相切問題歷年都是高考中的熱點,如果能對一些常見的模型加以梳理和歸納,勢必能極大地提高解題效率.由例4可看出,多面體中若出現(xiàn)“墻角模型”或“對棱長相等”或“三節(jié)棍”模型等(如圖13-14),不妨構(gòu)造長方體或正方體模型求解,能起到事半功倍的效果.

圖13

圖14

策略四 巧用長方體解決與截面相關(guān)的問題

例5正四面體ABCD的棱長為1,棱AB//平面α,則正四面體上的所有點在平面α內(nèi)的正射影構(gòu)成的圖形面積的取值范圍是____.

解析本題中的正四面體ABCD的各棱長都相等,容易聯(lián)想到正方體,將正四面體ABCD放到正方體中,使正四面體的棱分別是正方體六個面的面對角線(如圖16所示),使得所求問題變得非常直觀明了.

將正四面體“補(bǔ)成”正方體,正四面體的棱長為1,則對棱互相垂直,且距離為

圖15

圖16

由于AB// 平面α,所以當(dāng)CD// 平面α或CD ?α.(即將平面AEBF或平面CHDG作為平面α) 時,四面體在α內(nèi)的射影為正方形,其面積為(最大);當(dāng)CD⊥α(即將平面ABHG作為平面α) 時,四面體在α內(nèi)的射影為等腰三角形,其面積為(最小).從而所求面積的取值范圍是

策略五 巧用長方體解決空間角計算的問題

例6如圖17,在三棱錐A -BCD中,側(cè)面ABD,ACD是全等的直角三角形,AD是公共的斜邊,且另一個側(cè)面是正三角形,E是AC上一動點,當(dāng)ED與面BCD成30°角時,則

圖17

解析對于非常規(guī)圖形,一般會首選空間向量法,但有些時候建系不太容易想,不妨結(jié)合題干中的條件,將情境放入長方體或正方體中考慮,會有意想不到的效果.

圖18

如圖18,正方體棱長為1,過E作EF⊥CG于F,連ED,則∠EDF即為ED與平面BCD所成的角,即∠EDF=30°,設(shè)CF=x,則在RTΔEFD中,可得此時