問題2481的推廣和變式研究

陜西省岐山縣蔡家坡高級中學(xué)

1.問題2481的推廣

《數(shù)學(xué)通報》2019年5月號問題2481[1]如下:設(shè)a,b,c ＞0,求證:

作者在《數(shù)學(xué)通報》2019年第58卷第6期[2]中給出了解答.仿照不等式(1) 可有:

······

猜想

證明

猜想成立.于是,問題2481可按指數(shù)推廣如下:

定理1設(shè)a,b,c ＞0,n ≥2,n ∈N,則

2.問題2481的變式研究

問題2481的一個變式設(shè)a,b,c ＞0,求證:

證明

所以,不等式(6) 成立.

和問題2481的推廣一樣,不等式(6) 也可按指數(shù)推廣為:

定理2設(shè)a,b,c ＞0,n ≥2,n ∈N,則

證明

所以,不等式(7) 成立.

不等式(6) 推廣到4 元為:

定理3設(shè)a,b,c,d ＞0,∑表示對a,b,c,d循環(huán)求和,

則

證明

所以,不等式(8) 成立.

不等式(8) 可以推廣為:

定理4設(shè)ai ＞0(i=1,2,···,n),n ≥3,n ∈N,∑表示對ai(i=1,2,···,n) 循環(huán)求和,則

證明

所以,不等式(9) 成立.