一道省級教學(xué)能力比賽說題試題的再研究

廣東省中山市中山紀念中學(xué)

題目已知圓T過定點Q(p,0)(p ＞0),圓心T在拋物線C:y2=2px上運動,GH為圓T在y軸上截得的弦.

(1) 當T運動時,|GH|是否有變化?并證明你的結(jié)論;

(2) 當p=1時,過點O(0,0)且斜率存在的直線l與拋物線C:y2=2pxO,A兩點,動點E滿足(λ ＞1),當λ依次取時,得到動點E所在曲線為Ci(i=1,2,3,4,5),且直線l上的點B(異于點O) 在曲線C1上.

條件結(jié)論命題1點M 在曲線C2 上|OA|,|OM|,|OB|成等差數(shù)列命題2點M 在曲線C3 上|OA|,|OM|,|OB|成等比數(shù)列命題3點M 在曲線C4 上1|OA|, 1|OM|, 1|OB| 成等差數(shù)列命題4點M 在曲線C5 上|OA|2,|OM|2,|OB|2 成等差數(shù)列

此題為廣東省第二屆青年教師高中數(shù)學(xué)教學(xué)能力大賽第一階段說題比賽的試題,筆者認為這是一道設(shè)計較為新穎,為有限開放性的探究問題,細細品題,愈發(fā)有味,引發(fā)筆者再研究.

一、此題可待成追憶 只是當時已茫然

從實際答題情況來看,大部分選手能順利解答第一問,第二問則遇到不同程度的障礙,具體解答情況大致如下:

推理證明|OA|,|OM|,|OB|成等差數(shù)列的解答情況;

第二問解答直接用弦長公式分別求|OA|,|OM|,|OB|長度作為問題求解的突破口.通 過--→OE = λ-→OA,發(fā) 現(xiàn)|--→OM| = λ|-→OA|的關(guān)系,進一步將長度之比轉(zhuǎn)化為坐標之比作為問題的突破口.選手比例所占比例為72.7%所占比例為17.2%

推理要求提出與類似的命題.參賽選手的解答情況大致如下:

能夠?qū)懗龇弦蟮?個或以上命題所占比例約為70%,而能較完整推理出三個或以上命題所占比例約為18%,其余未能找到問題的突破口.

從答題的實際情況看,參賽選手解題表現(xiàn)不甚理想.為何解題者較普遍地陷入雷同的思維陷阱?為何最終解題的實際效果與預(yù)想結(jié)果具有如此反差呢?這值得深思.

從答題結(jié)果可知,此題有較好的區(qū)分功能,切入點不同,計算量差異較大.若通過聯(lián)立方程,利用弦長公式求解的長度,在有限的時間內(nèi)解出此題,并提出符合要求的類似若干命題,實屬不易,但是若能夠根據(jù)這一條件,發(fā)現(xiàn)進一步可得:當點M在曲線C3上時,當點M在曲線C4上時,當點M在曲線C5上時簡化了運算,易證|OA|,|OM|,|OB|成等差數(shù)列.進一步基于通過分析λ取值的數(shù)量關(guān)系和結(jié)構(gòu)特征,易得四個命題.

二、洞察命題見意圖 正源清濁悟反思

(一)從命題意圖的視角分析問題

(1) 試題的命題思路分析

從題設(shè)到問題的設(shè)置頗具心思,具有一定創(chuàng)新性,外顯以解析幾何載體為依托,向量模長的變化為呈現(xiàn)形式,融合滲透數(shù)列知識,通過研究|OA|,|OM|,|OB|的之間的數(shù)量關(guān)系,自然過渡到研究|OA|,|OM|,|OB|三者的數(shù)列關(guān)系的若干問題.在研究的過程中:不明理者易陷入外在形式到內(nèi)在本質(zhì)過渡的溝壑中.明理者可透過現(xiàn)象揪住問題解決的本質(zhì),即用來表達向量的模長的關(guān)系,通過研究這些數(shù)之間的數(shù)量關(guān)系結(jié)合等差與等比的定義,通過類比推理,順利得出相應(yīng)的四個數(shù)列結(jié)論.此題能較好地甄別選手認識數(shù)學(xué)內(nèi)容之間的內(nèi)在聯(lián)系,體驗、領(lǐng)悟數(shù)學(xué)的創(chuàng)造性和普遍聯(lián)系性的能力差異.

(2) 試題的考查目標分析及素養(yǎng)要求

本題是以解析幾何為載體的背景下,綜合不等式,向量,數(shù)列等知識的綜合性較強的數(shù)學(xué)問題,考查考生對問題及數(shù)學(xué)工具運用的本質(zhì)理解,以及借助已知的數(shù)據(jù)去分析問題和解決問題的能力,綜合考查考生的邏輯推理能力,數(shù)學(xué)運算能力,數(shù)形結(jié)合,劃歸與轉(zhuǎn)化能力,以及類比推理等思想方法.在試題的設(shè)問及解答過程涉及對考生的邏輯推理,數(shù)學(xué)運算,數(shù)學(xué)直觀,建模能力,數(shù)據(jù)分析等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的考查.

(二)從問題解決狀況的視角反思問題

從題目的特征來看,此題的題設(shè)和設(shè)問一反常規(guī),非套路題型,綜合性較強,對考生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)提出較高要求.這是引起解題者不適應(yīng)的宏觀因素,進一步究其原因,筆者認為主要有以下幾個深層因素所致:

(1) 日常套路化模式訓(xùn)練所得到的僵化經(jīng)驗與機械化操作的共同作用的結(jié)果,表現(xiàn)為選手多采用求解點E的方程,聯(lián)立直線與方程,通過求弦長,找關(guān)系,以致陷入大量的計算,不得而至.

(2) 對問題的分析與理解未能很好抓住問題的本質(zhì),偏離解析幾何的思維特點,不加分析地埋頭盲目計算;這是日常研究問題不到位而埋下了“苦種”,從而在實際問題解決中自然會吞下“苦果”.

(3) 對向量的代數(shù)意義和幾何意義理解有缺失,對向量的認知及轉(zhuǎn)化有限,未能很好地從幾何過渡到代數(shù),利用向量所具備的幾何和代數(shù)特征解決問題.洞察此題,直線與曲線相交形成的點M實為外在包裝,脫虛向?qū)?通過對的向量特征分析,有進一步轉(zhuǎn)化為坐標之比,去偽存真,問題也就化煩為簡,即轉(zhuǎn)化為之間關(guān)系的研究.

(4) 代數(shù)和幾何結(jié)構(gòu)的觀察與聯(lián)想能力有待加強,通過數(shù)量結(jié)構(gòu)觀察可知:1,成等差數(shù)列,可得命題成立;成等比數(shù)列,可得命題成立; 將變形,同理1,成等差數(shù)列,可得命題成立;進一步類比可知1,成等差數(shù)列,可得命題成立,至此問題迎刃而解.

三、明辨善辨究本質(zhì) 問題越變越明朗

為進一步強化對問題的認知,筆者嘗試從問題逆推和變更結(jié)論兩個視角進行問題變式,促使問題具有“變化”的生命力.

(一)條件與結(jié)論互換的變式.過點O(0,0)且斜率存在的直線l與拋物線C:y2=2pxO,A兩點,動點E滿足當λ=a(a ＞1) 時,得到動點E所在曲線為C1,且直線l上的點B(異于點O) 在曲線C1上.若λ=t() 時,直線l上的點M在曲線C2上.

(1) 當|OA|,|OM|,|OB|成等差數(shù)列,求t的取值;(解題過程略,

(2) 當|OA|2,|OM|2,|OB|2成等差數(shù)列,求t的取值;(解題過程略,

(二)變更探求結(jié)論的變式過點O(0,0)且斜率存在的直線l與拋物線C:y2=2pxO,A兩點,動 點E滿 足當λ依次取時,得到動點E所在曲線為Ci(i=1,2,3,4,5),記Mi表示過原點的直線l與曲線為Ci(i=2,3,4,5)的交點,

(1) 探究|OMi|之間的大小關(guān)系;

(2) 探究|OM2|,|OM3|,|OM4|三者之間滿足的數(shù)量關(guān)系;

四、綿綿用力溯源頭 游心以遠促生長

一個好的問題應(yīng)該具備向上生長或拓展的特征,也即問題應(yīng)具備“源”與“流”的問題生產(chǎn)鏈.立足于問題的源,此題將流向何方?“恰如一江春水向東流”,下面就該問題進行拓展.

(一)把握問題本質(zhì),拓展到橢圓或雙曲線一支,依然成立(以下以橢圓為例).

拓展1過原點O(0,0)且斜率存在的直線l與橢圓C:交于A,H兩點,動點E滿足當λ依次取時,得到動點E所在曲線為Ci(i=1,2,3,4,5),且直線l上的點B在曲線C1上.

(二)問題一般化,當直線l不過原點時,在一定條件下也能成立.

拓展2直線:l:y=kx+λm(0) 與拋物線C:y2=2λx(其中λ ＞0) 有兩個交點,當λ分別取1,a(a ＞1) 時,直線l截 曲線C:y2=2λx所得的弦長分別為A1A2,B1B2,當λ(λ ＞1) 依次取時,直線l截曲線C所得的弦長分別是Mi1Mi2(i=1,2,3,4).

解設(shè)A1(x1,y1),A2(x2,y2),B1(xB1,yB1),B2(xB2,yB2),M11(xM11,yM12),M12(xM12,yM12),直線l的傾斜角為θ.由A1A2,B1B2,M11M12分別在傾斜角同為θ的相應(yīng)直線上知:故由得到(其 中2mk ＜1).特 別 地,當λ=1時,所以|xM11-xM12|=λ|x1-x2|;所以|M11M12|=λ|A1A2|成立,從而當λ(λ ＞1) 依次取時,有|B1B2|=a|A1A2|,|M11M12|=所以|A1A2|+|B1B2|=(1+a)|A1A2|=2|M11M12|成立,即|A1A2|,|M11M12|,|B1B2|成等差數(shù)列.

同理可知:研究|A1A2|,|Mi1Mi2|,|B1B2|(i=2,3,4)的關(guān)系即轉(zhuǎn)化為分別研究與1,a的數(shù)量關(guān)系,可得以下四個命題成立.

結(jié)論命題1|A1A2|,|M11M12|,|B1B2|成等差數(shù)列命題2|A1A2|,|M11M12|,|B1B2|成等比數(shù)列命題3 1|A1A2|, 1|M11M12|, 1|B1B2| 成等差數(shù)列命題4|A1A2|2,|M11M12|2,|B1B2|2 成等差數(shù)列

思考類似于拓展2,將曲線變更為橢圓C:(a ＞b ＞0,λ ＞1)(或雙曲線C:1(a ＞0,b ＞0,λ ＞1)的一支),······,命題也成立.有興趣的讀者可以嘗試證明一下.

五.如沐春風品良題 沁人心脾得啟示

細品好題如沐春風,沉心研究,沁人心脾,有所感悟,再研究后收獲幾點啟示.

(1) 重視命題的設(shè)計和選材.筆者認為本次比賽所選取的題型和所設(shè)計的有限開放性的探究問題蘊含新課標理念要求,對高中數(shù)學(xué)教學(xué)的選題和命題以及問題設(shè)計有較好的指導(dǎo)意義,給日常命題和問題設(shè)計提供了一個新的思路和案例.

(2) 重視數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展.數(shù)學(xué)素養(yǎng)決定了能否在紛繁復(fù)雜的問題中抽象出問題的本質(zhì).教師自身要加強數(shù)學(xué)邏輯推理,直觀想象,數(shù)學(xué)運算,數(shù)學(xué)抽象,數(shù)據(jù)分析等核心素養(yǎng)的發(fā)展,唯此.才可能在教學(xué)中游刃有余,學(xué)生收獲良多.

(3) 重視數(shù)形結(jié)合思想的運用.正所謂”數(shù)缺形難直觀,形缺數(shù)能入微”,借助圖形理清數(shù)量關(guān)系,辨析代數(shù)和幾何的”變量與不變量”,分析”變量與不變量”的數(shù)量或幾何關(guān)系及其意義,這是問題解決的起點,在幾何特征挖掘充分的前提下,才可能避免盲目運算而陷入困境,嚴謹?shù)拇鷶?shù)邏輯推理才可能順利完成.

(4) 重視問題的轉(zhuǎn)化與劃歸思想.在研究數(shù)學(xué)問題時,將問題進行轉(zhuǎn)化,陌生問題熟悉化,比如坐標法實現(xiàn)代數(shù)解決幾何問題,再如此題的命題推理可通過問題轉(zhuǎn)化,最終可用基本不等式的數(shù)量關(guān)系進行研究.于此同時,需要積累并熟知典型的代數(shù)結(jié)構(gòu)及其意義,如兩點間的距離公式,斜率公式,數(shù)量積,三角不等式等,并能在不同形式依然能辨析出這些代數(shù)結(jié)構(gòu).

(5) 重視數(shù)學(xué)閱讀能力的提高.日常重視審題,有意識多元表征關(guān)鍵詞,重視數(shù)學(xué)語感的培養(yǎng),增強數(shù)學(xué)理解的精確度和敏感度,能夠在數(shù)學(xué)問題本身中發(fā)現(xiàn)顯性和隱性的關(guān)系以及解題的關(guān)鍵節(jié)點,比如本題中若能發(fā)現(xiàn)的條件可以轉(zhuǎn)化為表達,進一步轉(zhuǎn)化為坐標之間的數(shù)量關(guān)系表征,從而難以降低解題的突破口.同時注重解題后的反思,特別是深刻理解解題過程中的卡頓點的產(chǎn)生因素及問題解決視角,復(fù)盤問題解決思維路徑,反思解題過程中存在的不足,這將有效提高思維的敏捷性和嚴謹性.