線性交替的雙數(shù)列通項問題揭秘*

福建省惠安第三中學(xué)

一、線性遞推數(shù)列模型的內(nèi)涵與外延

對于滿足:an+1=kan+b(n ∈N*,k0)的數(shù)列{an},因其前后項關(guān)系類似于函數(shù)y=kx+b(0),故常稱之為線性遞推數(shù)列.這樣的遞推關(guān)系模型涵蓋了多種常規(guī)數(shù)列:

(1) 當(dāng)b=0時,an+1=kan(n ∈N*,k0),{an}為等比數(shù)列;

(2) 當(dāng)k=1時,an+1=an+b(n ∈N*),{an}為等差數(shù)列;

(3) 當(dāng)10時,an+1=kan+b可配湊為的形式,說明{an+c}是首項為a1+c,公比為k的等比數(shù)列.

值得一提的是,很多復(fù)雜遞推關(guān)系模型往往是由“an+1=kan+b”變式替代而來的:當(dāng)數(shù)列{an}的通項an表示某一數(shù)列{bn}的前后項關(guān)系時,比如說an=pbn+1+qbn(p,q為非零常數(shù)),將此代入an+1=kan+b中就得到bn+2,bn+1,bn的關(guān)系.反之,給定bn+2,bn+1,bn的線性遞推關(guān)系,我們一般可通過恰當(dāng)?shù)呐錅愖冃?、?gòu)造轉(zhuǎn)化為常規(guī)數(shù)列來求解.應(yīng)該說,諸如這類“由某一數(shù)列前后幾項線性關(guān)系構(gòu)造新數(shù)列求通項”的問題中,其遞推關(guān)系模型往往來源于對“an+1=kan+b”的迭代或轉(zhuǎn)型.

當(dāng)數(shù)列{an}的通項an表示某兩數(shù)列{bn},{cn}的通項關(guān)系時,比如說an=pbn+qcn(p,q為非零常數(shù)),將此代入an+1=kan+b中就得到bn+1,bn,cn+1,cn的“混合”關(guān)系,這其實就是雙數(shù)列的遞推關(guān)系,其中數(shù)列{bn}和{cn}之間可能是獨立(彼此無關(guān))的,也可能是交錯(彼此相關(guān))的,據(jù)此我們可初步領(lǐng)略到那些雙數(shù)列線性遞推問題的生成根基.

二、線性交替遞推關(guān)系的代換與變式

很多線性雙數(shù)列通項問題的求解關(guān)鍵是圍繞“雙數(shù)列的線性組合”來構(gòu)造常規(guī)數(shù)列的.

例1(2019年高考全國ⅠⅠ卷理科第19題) 已知數(shù)列{an}和{bn}滿足a1=1,b1=0,4an+1=3an-bn+4,4bn+1=3bn-an-4.

(Ⅰ) 證明:{an+bn}是等比數(shù)列,{an-bn}是等差數(shù)列；

(ⅠⅠ) 求{an}和{bn}的通項公式.

解析將4an+1=3an-bn+4和4bn+1=3bn-an-4兩式分別進行相加、相減,化簡整理易得:2(an+1+bn+1) =an+bn,an+1- bn+1=(an-bn)+2.故{an+bn}是以a1+b1=1 為首項、公比為的等比數(shù)列an+bn=且{an-bn}是以a1-b1=1 為首項、公差為2的等差數(shù)列,an-bn=2n-1(n ∈N*).從而有

點評這道全國高考題并不難,但卻給我們暗示了:線性雙數(shù)列通項問題可通過“雙數(shù)列的線性組合”來構(gòu)造常規(guī)數(shù)列,數(shù)列{an+bn},{an-bn}中的遞推關(guān)系可分別看作是由常規(guī)的代換得來的,4an+1=3an-bn+4,4bn+1=3bn-an-4 其實就是常規(guī)數(shù)列{cn},{dn}相關(guān)關(guān)系的隱形變式.

例2(2019年福建單科質(zhì)檢理數(shù)B卷第16題) 已知數(shù)列{an}和{bn}滿足且a1=1,b1=0,則a2019=____.

解析類似上題,發(fā)現(xiàn)上述關(guān)系中數(shù)列{an}和{bn}的第n+1 項系數(shù)相同,第n項系數(shù)交替.將兩式進行相減恰得an+1- bn+1=an - bn(n ∈N*).又a1- b1=1,故有an - bn=1(n ∈N*).將兩式進行相加得an+1+bn+1=3(an+bn)(n ∈N*),則 有:an+bn=(a1+b1) ·3n-1=3n-1(n ∈N*).再由解得故有

注記本題也可將an - bn=1 再代入得an+1=進而得到:an-

例3(2019年百校聯(lián)考理科第12題) 已知數(shù)列{an}和{bn}滿足:令cn=an -bn,則的n最小值為

A.9 B.10 C.11 D.12

解析注意到本題遞推關(guān)系中“bn+1”可 由代換,從而得到的形式,兩式作差得an+1-bn+1=即故得等比數(shù)列{cn}的通項公式由0.9·解得n ≥10.

點評不難發(fā)現(xiàn),若將兩式相加可得an+1+bn+1=an+bn=1.3,進而求出數(shù)列{an}和{bn}的通項公式;在上述三個例題的線性遞推關(guān)系中,均明顯具備“后項系數(shù)交替”的特征,故對數(shù)列{an}、{bn}直接進行“和差組合”即可發(fā)現(xiàn)、構(gòu)造新的常規(guī)數(shù)列.

例4(2017年福建省單科質(zhì)檢理科第12題) 已知數(shù)列{an}和{bn}滿足:a1=b1=1,an+1=an+2bn,bn+1=an+bn,則下列結(jié)論正確的是( ).

解析根據(jù)選擇支數(shù)列結(jié)構(gòu)特征,可猜想的通項公式是判斷本題的關(guān)鍵點.故在

三、線性交替遞推關(guān)系的配湊與構(gòu)造

上述例題中,數(shù)列{an}和{bn}均有明確提供線性組合關(guān)系,只要根據(jù)這一組合關(guān)系便可構(gòu)造新數(shù)列,并且求得新數(shù)列的通項公式,進而{an}和{bn}解出的通項公式.于是我們不禁要問:這種線性組合又是如何得到呢？事實上,對于

一般都可采用待定系數(shù)法進行配湊,引入待定系數(shù)λ,由(1)+(2)×λ得an+1+λbn+1=(x1+λx2)an+(y1+λy2)bn+(z1+λz2).其中系數(shù)關(guān)系滿足:從中解得λ的值; 于是就有:an+1+λbn+1=(x1+λx2)(an+λbn)+(z1+λz2).令cn=an+λbn,系數(shù)x1+λx2=k,常數(shù)z1+λz2=b,則轉(zhuǎn)為cn+1=kcn+b這一常見的線性遞推模型來解決!

比如在例4中,對于

由(1)+(2)×λ得:an+1+λbn+1=(1+λ)an+(2+λ)bn,其中解得這就為我們揭示了這一線性組合中系數(shù)的產(chǎn)生本源及新數(shù)列構(gòu)造的來龍去脈!

例5(2008年四川省高中數(shù)學(xué)競賽) 已知數(shù)列{an}和{bn}滿足:a1=1,b1=7,且則

解析對于

由(1)+(2)×λ得:an+1+λbn+1=(-2-4λ)an+(1+3λ)bn其中解得λ=-1或

(Ⅰ) 當(dāng)λ=-1時,an+1- bn+1=2(an-bn),an -bn=(-6)·2n-1=-3·2n;(ⅠⅠ) 當(dāng)時,再由解得an=2n+(-1)n,bn=2n+2+(-1)n.故

例6(2000年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽) 已知數(shù)列{an}和{bn}滿足:a0=1,b0=0,且n=0,1,2,···.求證:an是完全平方數(shù).

解析對于

由(1)+(2)×λ得:an+1+λbn+1=(7+8λ)an+(6+7λ)bn+(-3-4λ),其中解得

即an是完全平方數(shù).

法二因目標(biāo)在于{an}的通項,故可將

轉(zhuǎn)為{an}的遞推關(guān)系.

由(1) 得代 入(2) 得:整理得an+2=14an+1-an-6.引入常數(shù)λ使得an+2+λan+1=(14+λ)an+1-an-6,其中

又a0=1,a1=4 可求得

至此我們可發(fā)現(xiàn):對于雙數(shù)列的遞推關(guān)系(1)和(2),我們?nèi)裟芘錅惓鱿禂?shù)λ,即可化成an+1+λbn+1=k(an+λbn)+b的形式,進而構(gòu)造出以an,bn,的線性組合為對象的新數(shù)列(常規(guī)數(shù)列).然而繼續(xù)探究還可發(fā)現(xiàn)這種遞推關(guān)系的轉(zhuǎn)換途徑并非唯一,我們類似于解二元一次方程組,通過代入消元轉(zhuǎn)為解一元方程.比如將(1) 中“bn”用“an,an+1”表示,代入(2) 中可得“an+2,an+1,an”前后三項的等量關(guān)系,然后在此基礎(chǔ)上朝著:“pan+2+qan+1=k(pan+1+qan)+b”這一目標(biāo)模型配湊轉(zhuǎn)化,則也可實現(xiàn)問題的化解!

再如在例5中,由(1) 得bn=an+1+2an,從而bn+1=an+2+2an+1,代入(2) 中可得an+2+2an+1=3(an+1+2an)-4an,即an+2=an+1+2an,假設(shè)存在實數(shù)k,λ使得:an+2+λan+1=k(an+1+λan),則對照系數(shù)可得從中解得或

結(jié)束語

這種雙數(shù)列線性遞推問題的實質(zhì)來源均是常規(guī)模型“cn+1=kcn+b(n ∈N*,k0) ”的線性迭代或變式衍生,掌握這一問題本質(zhì)必然使我們對遞推關(guān)系的化歸轉(zhuǎn)換和配湊構(gòu)造更具方向性、目的性和創(chuàng)造性,也讓我們充分領(lǐng)略到“cn+1=kcn+b”這一經(jīng)典遞推模型的廣泛應(yīng)用性以及化歸運算的目標(biāo)統(tǒng)一性!