斜率和(或積)為定值條件下圓錐曲線的性質(zhì)

遼寧省黑山縣第一高級(jí)中學(xué)

一、考題再現(xiàn)

題目1(高二第26屆“希望杯”賽第20題) 已知拋物線C:y2=4x,A(4,4),動(dòng)點(diǎn)P(x1,y1)∈C,Q(x2,y2)∈C,若則直線PQ過定點(diǎn)D,點(diǎn)D的坐標(biāo)是( ).

題目2(2009年高考遼寧卷理科第20題文科第22題) 已知,橢圓C經(jīng)過一點(diǎn)A(1,1.5),兩個(gè)焦點(diǎn)為(-1,0),(1,0).

(1) 求橢圓C的方程.

(2)E,F是橢圓C上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),如果直線AE的斜率與AF的斜率互為相反數(shù),證明直線EF的斜率為定值,并求出這個(gè)定值.

以上兩道題都有斜率和為定值這個(gè)條件,這引起筆者濃厚興趣,經(jīng)過深入研究得出如下的一些性質(zhì).

二、拋物線y2 =2px 在斜率和(或積)為定值條件下的性質(zhì)

定理1已知拋物線C:y2=2px,定點(diǎn)A(a,b)∈C,動(dòng)點(diǎn)P(x1,y1)∈C,Q(x2,y2)∈C,若kAP+kAQ=γ.

(1) 當(dāng)γ=0時(shí),kP Q為定值,且等于拋物線在A點(diǎn)處切線斜率的相反數(shù);

(2) 當(dāng)時(shí)0,則直線PQ恒過定點(diǎn)D,且

證明由題設(shè)有所以kAP=

(i) 若kAP+kAQ=0,則2p(y1+y2+2b)=0,所以為定值,2yy′=2p,故

直線PQ則

定理2已知拋物線C:y2=2px,定點(diǎn)A(x0,y0)∈C,動(dòng)點(diǎn)P(x1,y1)∈C,Q(x2,y2)∈C,若kAP ·kAQ=0.則直線PQ恒過定點(diǎn)D,且D

證明聯(lián)立消x得y2-2pmy-2pn=0,所以y1+y2=2pm,y1y2=-2pn,從而

由得y1y2- y0(y1+y2)+所以

解得n1=x0-my0(舍),n2=x0+my0所以直線PQ:恒過定點(diǎn)

三、雙曲線在斜率和(或積)為定值條件下的性質(zhì)

定理3已知雙曲線C:定點(diǎn)A(x0,y0)∈C(點(diǎn)A 不是雙曲線頂點(diǎn)),動(dòng)點(diǎn)P(x1,y1)∈C,Q(x2,y2)∈C,若kAP+kAQ=γ.

(1) 當(dāng)γ=0時(shí),為定值,且等于雙曲線在A點(diǎn)處切線斜率的相反數(shù);

(2) 當(dāng)0時(shí),則直線PQ恒過定點(diǎn)D,且

證明設(shè)PQ方程為x=my+n,即x - x0=m(y-y0)+my0+n-x0,所以1,將b2[(x-x0)+x0]2- a2[(y-y0)+y0]2- a2b2=0 展開并整理得a2(my0+x0-n)b2(my0+n+x0)=0,由韋達(dá)定理得到:

(i) 當(dāng)γ=0時(shí),為定值.

(ii) 當(dāng)0時(shí),γa2n=γa2(my0+x0)-所以直線恒過點(diǎn)

定理4已知雙曲線定點(diǎn)A(x0,y0)∈C,動(dòng)點(diǎn)P(x1,y1)∈C,Q(x2,y2)∈C,若kAP ·kAQ=γ.

證明由定理3的證明得a2(my0+x0-n)(my0+n+x0)=0,所以

四、橢圓在斜率和(或積)為定值條件下的性質(zhì)

定理5已知橢圓C:定點(diǎn)A(x0,y0)∈C(點(diǎn)A不是橢圓頂點(diǎn)),動(dòng)點(diǎn)P(x1,y1)∈C,Q(x2,y2)∈C,若kAP+kAQ=γ.

(1) 當(dāng)γ=0時(shí),為定值,且等于橢圓在A點(diǎn)處切線斜率的相反數(shù);

(2) 當(dāng)0時(shí),則直線PQ恒過定點(diǎn)D,且

定理6已知橢圓C:定點(diǎn)A(x0,y0)∈C(點(diǎn)A不是橢圓頂點(diǎn)),動(dòng)點(diǎn)P(x1,y1)∈C,Q(x2,y2)∈C,若kAP ·kAQ=γ.

定理5,定理6的證明見文[2].