基本不等式的核心與本質(zhì)

黃書(shū)冷

摘? 要：在新課程標(biāo)準(zhǔn)和新的評(píng)價(jià)體系的指導(dǎo)思想下，高中數(shù)學(xué)的教育教學(xué)的重心發(fā)生了很大的變化，提出了數(shù)學(xué)六大核心素養(yǎng)，加大了對(duì)學(xué)生能力的培養(yǎng)，加大了知識(shí)之間的聯(lián)系和相互運(yùn)用，特別體現(xiàn)在讓學(xué)生自己取挖掘知識(shí)的內(nèi)涵與本質(zhì)上?；静坏仁阶鳛楦咧袛?shù)學(xué)的一個(gè)重要知識(shí)，它的難度比較大，需要基礎(chǔ)的知識(shí)比較多，還有它的實(shí)際運(yùn)用（最優(yōu)化問(wèn)題）也比較廣泛。在實(shí)際的教學(xué)中，絕大部分老師都會(huì)走公式推導(dǎo)、公式變形、公式運(yùn)用的這樣一條老路，但是這種模式在體現(xiàn)和培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)方面還是力度明顯是不夠的，我們應(yīng)該繼續(xù)挖掘知識(shí)的內(nèi)涵和本質(zhì)，尋找各知識(shí)之間的關(guān)系。對(duì)于基本不等式這個(gè)知識(shí)點(diǎn)，除了公式的本身的推理、記憶、變式、運(yùn)用，再?gòu)?qiáng)調(diào)“一正二定三相等”這七個(gè)核心關(guān)鍵字。這七個(gè)關(guān)鍵字，我們?cè)撊绾螌?duì)它進(jìn)行解釋、強(qiáng)調(diào)？如何引導(dǎo)學(xué)生對(duì)它更深層次的認(rèn)識(shí)？本文對(duì)此理解是：一正指兩個(gè)數(shù)是正數(shù)，也可以?xún)蓚€(gè)數(shù)都是負(fù)數(shù);二定指和為定值或積為定值，也理解是相乘和相加兩種形式;三相等指考慮等號(hào)成立的情況可不可以取得到，也可以就兩個(gè)數(shù)相等時(shí)取等號(hào)。

關(guān)鍵詞：不等式;兩種函數(shù);思路

中圖分類(lèi)號(hào)：G633.6? ? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A? ? 文章編號(hào)：1992-7711（2020）35-189-01

在實(shí)際的教育教學(xué)中，我們經(jīng)常強(qiáng)調(diào)方程、函數(shù)、不等式三者之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，比如解不等式先解方程，解方程看函數(shù)圖像（零點(diǎn)問(wèn)題），解不等式看函數(shù)的圖像等等。那么對(duì)于基本不等式這樣一個(gè)新的知識(shí)，從名字我們的感覺(jué)它就是一個(gè)不等式，但是我們?cè)谡n堂教學(xué)中就不能單一的強(qiáng)調(diào)它的不等式的性質(zhì)，應(yīng)該加入方程和函數(shù)的元素，讓學(xué)生掌握知識(shí)真正的內(nèi)在本質(zhì)，從而提升學(xué)生發(fā)現(xiàn)探索知識(shí)的能力。本文就通過(guò)對(duì)一個(gè)例題的四種解法過(guò)程的分析，來(lái)體現(xiàn)基本不等式內(nèi)在本質(zhì)。主要有：兩種形式（化和或化積）、兩個(gè)定值、兩種函數(shù)（二次或雙勾）、兩個(gè)數(shù)（a或b）。

【思路分析】利用基本不等式將有和有積的形式，化成全積的形式，再通過(guò)解一元二次不等式求出積的取值范圍，再代回求和的最值。重點(diǎn)考查了學(xué)生利用基本不等式變形的運(yùn)用能力，是本質(zhì)中兩種形式相互轉(zhuǎn)化的體現(xiàn)，將基本不等式變成一元二次不等式，體現(xiàn)知識(shí)之間的相互運(yùn)用;另外也對(duì)學(xué)生解一元二次不等式的能力考查;

【思路分析】利用基本不等式將有和有積的形式，化成全和的形式，也是是本質(zhì)中兩種形式的體現(xiàn)。對(duì)比方法一，采用了換元的方法，將是的形式做了一些簡(jiǎn)化，通過(guò)解一元二次不等式求出和的取值范圍，寫(xiě)和的最小值;

【思路分析】通過(guò)消元的思想，將含有兩個(gè)變量的式子變成只有一個(gè)變量的函數(shù)關(guān)系式（雙勾型函數(shù)），再構(gòu)造積為定值，利用基本不等式求出和的最小值。消元法是一種非常適合減少變量，降低難度的方法，讓學(xué)生更容易去接受;函數(shù)思想是高中最重要的思想，通過(guò)本道例題的解題思路，可以得到一種解決不等式的通式通法，即變成只有一個(gè)變量的函數(shù)，利用函數(shù)的知識(shí)來(lái)解決這一類(lèi)型題;本思路也用了構(gòu)造法，體現(xiàn)了兩種定值中的積為定值的本質(zhì);最后解決問(wèn)題又利用了基本不等式來(lái)求函數(shù)的最值問(wèn)題，完美體現(xiàn)了知識(shí)之間的相互應(yīng)用和相互轉(zhuǎn)化。

【思路分析】利用基本不等式中兩個(gè)正數(shù)的本質(zhì)，提出“等位等價(jià)”的思想，即一個(gè)含有兩個(gè)變量的式子中，將兩個(gè)變量交換位置，式子本身沒(méi)有變化，那么他們就具有等位等價(jià)性。本題通過(guò)換元法的思想，將不是等位等價(jià)的兩個(gè)變量，變成兩個(gè)具有等位等價(jià)性的變量，從這個(gè)角度加大學(xué)生的思考力度，提出問(wèn)題思考的方向，給出命題的方向。最后通過(guò)令兩個(gè)數(shù)相等，解一元二次方程，得出最值。本方法的最大優(yōu)勢(shì)在于可以快速的解決選擇和填空題，更能體現(xiàn)知識(shí)的本質(zhì)。

參考文獻(xiàn)：

[1]教育部考試中心? 普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試大綱

[2]高考數(shù)學(xué)科考核目標(biāo)研究.任子朝

[3] 基本不等式與“對(duì)勾”函數(shù).余小芬、劉成龍

[4] 五大變形方法搞定基本不等式求最值問(wèn)題.華燕萍

（作者單位：廣東省東源中學(xué)，廣東? ?河源? ?517500）