在數(shù)學(xué)命題探究中提升數(shù)學(xué)思維

徐飛

[摘? 要] 數(shù)學(xué)命題是數(shù)學(xué)知識體系的重要構(gòu)成，在初中數(shù)學(xué)教材中涉及很多的數(shù)學(xué)命題. 對于數(shù)學(xué)命題的教學(xué)，要走出傳統(tǒng)“拋售”式教學(xué)的誤區(qū)，要引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷“數(shù)學(xué)猜想——操作驗(yàn)證——數(shù)學(xué)證明”的過程，以此促進(jìn)學(xué)生在探究數(shù)學(xué)命題的過程中達(dá)到提升數(shù)學(xué)思維能力的目標(biāo). 基于此背景，文章對“四邊形內(nèi)角和”一課的教學(xué)進(jìn)行了探究，希望能夠?yàn)閺V大教師提供一定的借鑒.

[關(guān)鍵詞] 數(shù)學(xué)命題;探究學(xué)習(xí);數(shù)學(xué)思維;四邊形內(nèi)角和

在初中數(shù)學(xué)教材中，涉及很多的數(shù)學(xué)命題，這一些數(shù)學(xué)命題是學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)證明、數(shù)學(xué)解題的重要依據(jù)之一. 很多教師在教學(xué)中會直接把數(shù)學(xué)命題拋給學(xué)生進(jìn)行記憶，導(dǎo)致學(xué)生就不能夠理解數(shù)學(xué)命題的本質(zhì)，從而造成了數(shù)學(xué)命題學(xué)習(xí)的被動化與膚淺化. 數(shù)學(xué)命題是一種數(shù)學(xué)判斷，在數(shù)學(xué)命題教學(xué)中，教師要善于引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷對數(shù)學(xué)命題的探究過程，這樣，就能夠有效地促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的提升. 以下結(jié)合“四邊形內(nèi)角和”一課的教學(xué)進(jìn)行論述.

■ 激活原有認(rèn)知，引導(dǎo)類比遷移

數(shù)學(xué)知識之間是存在緊密聯(lián)系的，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要激活學(xué)生原有的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)，以此引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行類比遷移，這樣，就能夠有效地為培養(yǎng)他們的數(shù)學(xué)思維奠定基礎(chǔ).

初中生在學(xué)習(xí)四邊形之前，已經(jīng)學(xué)過三角形的相關(guān)知識，本課教學(xué)的第一個(gè)環(huán)節(jié)是讓學(xué)生對四邊形的定義及特征進(jìn)行學(xué)習(xí). 因此在教學(xué)中，筆者先利用多媒體給學(xué)生出示交通警示牌（三角形）、廣告牌（四邊形）、螺絲帽（六邊形）.

師：從這一些物體的表面能夠抽象出什么幾何圖形？

生：從這一些物體的表面能夠分別抽象出三角形、四邊形還有六邊形.

師：在數(shù)學(xué)上是如何定義三角形的？

生1：三角形就是三條線段連接而成的圖形.

生2（補(bǔ)充）：三條線段首尾順次連接，這種圖形稱之為三角形.

生3（再補(bǔ)充）：由不相同直線上的三條線段首尾順次連接所形成的圖形稱之為三角形.

師：你能夠根據(jù)三角形的定義，通過類比的方式對四邊形進(jìn)行定義嗎？

生3：不在同一條直線上的四條線段首尾順次連接所形成的圖形叫四邊形.

師（大屏幕出示一個(gè)四邊形ABCD）：那么四邊形有幾條邊、幾個(gè)角、幾個(gè)頂點(diǎn)呢？

生4：四邊形有四條邊、四個(gè)角以及四個(gè)頂點(diǎn).

在這一教學(xué)片段中，教師先引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)實(shí)物抽象出三角形、四邊形、六邊形這三個(gè)幾何圖形，然后引導(dǎo)學(xué)生對三角形的定義進(jìn)行回顧，并在此基礎(chǔ)上讓學(xué)生通過類比對四邊形進(jìn)行定義. 這樣的設(shè)計(jì)符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，可以讓學(xué)生在原有的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)上把握四邊形的定義及基本特征，同時(shí)，為學(xué)生自主探究四邊形的內(nèi)角和奠定基礎(chǔ).

■ 基于動手操作，初步感知命題

初中生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識的過程中，是遵循“形象感知——抽象提升”這一規(guī)律的，動手操作是他們對數(shù)學(xué)知識進(jìn)行形象感知的重要途徑. 因此，在數(shù)學(xué)命題的教學(xué)中，教師要善于引導(dǎo)學(xué)生開展動手操作活動，讓學(xué)生在動手操作的過程中對數(shù)學(xué)命題進(jìn)行初步感知.

師：請大家在本子上畫出一個(gè)四邊形. （學(xué)生畫圖）

師：你覺得在你畫好的四邊形中，四個(gè)內(nèi)角一共是多少度？

生5：我覺得是360°.

生6：我覺得一個(gè)四邊形可以分成兩個(gè)三角形，所以四個(gè)內(nèi)角的和應(yīng)該是360°.

師：你是否可以驗(yàn)證這一結(jié)論呢？（學(xué)生思考并進(jìn)行操作驗(yàn)證）

生7：我是把自己畫的四邊形的四個(gè)內(nèi)角剪下，然后進(jìn)行拼接，在拼接的過程中保證四個(gè)角的頂點(diǎn)和邊重合，最后拼成了一個(gè)周角，說明四邊形的內(nèi)角和是360°.

生8：我是把畫的四邊形的四個(gè)內(nèi)角的度數(shù)用量角器量出來，然后加起來也是360°.

師：同學(xué)們，你們真厲害，通過剛才的學(xué)習(xí)發(fā)現(xiàn)了一個(gè)數(shù)學(xué)命題：四邊形的內(nèi)角和等于360°. （板書）

在這一環(huán)節(jié)中，教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行動手操作能使其對四邊形有更加直觀的認(rèn)知，隨后猜想四邊形內(nèi)角和是360°. 然后，再引導(dǎo)學(xué)生對這一猜想通過拼一拼、量一量的操作進(jìn)行驗(yàn)證，從而發(fā)現(xiàn)了“四邊形的內(nèi)角和等于360°”這一命題.

■ 基于原有命題，引導(dǎo)證明命題

在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，培養(yǎng)學(xué)生的高階數(shù)學(xué)思維是十分重要的. 數(shù)學(xué)證明是一種高階的思維活動方式，引導(dǎo)學(xué)生對命題進(jìn)行證明是關(guān)鍵環(huán)節(jié). 在學(xué)生對“四邊形的內(nèi)角和等于360°”這一命題進(jìn)行操作驗(yàn)證之后，引導(dǎo)學(xué)生基于“三角形的內(nèi)角和是180°”進(jìn)行證明. 教學(xué)中，筆者是這樣對學(xué)生進(jìn)行引導(dǎo)的：

師：剛才你們通過操作驗(yàn)證了“四邊形的內(nèi)角和等于360°”這一命題. 那么，你們能不能結(jié)合已知的命題對這一命題進(jìn)行證明呢？

生9：我覺得可以在“三角形的內(nèi)角和是180°”這一命題的基礎(chǔ)上進(jìn)行證明.

師：你的想法真好，這樣進(jìn)行證明的關(guān)鍵點(diǎn)是什么？（學(xué)生討論）

生10：把四邊形轉(zhuǎn)化為三角形是關(guān)鍵點(diǎn).

師：那么，怎樣才能把四邊形轉(zhuǎn)化成三角形呢？

生11：可以通過畫輔助線的方式把四邊形轉(zhuǎn)化成三角形.

在證明“四邊形的內(nèi)角和等于360°”這一命題時(shí)，轉(zhuǎn)化是重要的方法，以上教學(xué)環(huán)節(jié)中，教師通過引導(dǎo)讓學(xué)生明白添上輔助線會使題目顯得相對簡單. 在這個(gè)過程中，能讓學(xué)生深度體會證明思路的轉(zhuǎn)化，提升學(xué)生的推理水平.

師：接下來，大家就根據(jù)剛才的思路對這一命題進(jìn)行證明.

（學(xué)生自主證明命題. 在這一過程中，教師在學(xué)生之間巡視，為有困惑的學(xué)生提供幫助和點(diǎn)撥，當(dāng)學(xué)生完成證明之后，教師組織學(xué)生反饋）

生12：如圖1，連接AC，這樣就把四邊形ABCD分割成了三角形ABC和三角形ACD，一個(gè)三角形的內(nèi)角和為180°，兩個(gè)三角形的內(nèi)角和就是360°，所以四邊形ABCD的內(nèi)角和是360°.

生13：如圖2，將AC，BD相連，此時(shí)四個(gè)三角形的內(nèi)角之和為4×180°=720°，隨后將四邊形之中的周角減去，得到4×180°-360°=360°.

生14：如圖3，在四邊形內(nèi)確定一點(diǎn)O，連接AO，BO，CO和DO，圖中四個(gè)三角形的內(nèi)角和是4×180°=720°，將四邊形內(nèi)周角的度數(shù)減去，得到4×180°-360°=360°.

生15：如圖4，在四邊形外確定一點(diǎn)O，連接AO，BO，CO和DO，圖中△OAB，△OAD，△ODC的三個(gè)內(nèi)角之和是3×180°=540°，將△OBD內(nèi)角和的度數(shù)減去，得到3×180°-180°=360°.

生16：如圖5所示，將BC延長，在延長線上確定一點(diǎn)E，連接AE，交CD于點(diǎn)F，得∠BCD=∠E+∠CFE=∠E+∠AFD，此時(shí)四邊形內(nèi)角和等于△ABE與△ADF的內(nèi)角和之和，為360°.

以上5種方法均先讓學(xué)生自主思考，然后讓他們在小組內(nèi)對證明的過程進(jìn)行交流討論. 這樣，學(xué)生就能夠在互動學(xué)習(xí)的過程中引發(fā)思維碰撞，從而開闊其證明思路，拓展他們的數(shù)學(xué)思維空間.

總之，數(shù)學(xué)命題是初中數(shù)學(xué)知識體系的重要構(gòu)成，在“核心素養(yǎng)”理念下，對于數(shù)學(xué)命題的教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷“數(shù)學(xué)猜想——操作驗(yàn)證——數(shù)學(xué)證明”的過程十分重要，這樣，才能在這個(gè)過程中促進(jìn)他們數(shù)學(xué)思維能力的有效提升.