理論聯(lián)系實際 深度探析試題

石光澤

[摘? 要] 隨著教育改革的不斷推進，現(xiàn)如今的中考題也越來越“活”，有些試題還充滿生活氣息. 這就要求學生在掌握知識的基礎上，要將所學知識與生活實際相結(jié)合，通過理論聯(lián)系實際分析問題并解決問題. 文章以一道試題為例，從該題的亮點賞析、思想滲透和教學啟示三方面進行分享，以期給同行們帶來啟發(fā).

[關鍵詞] 教學啟示;試題;問題

波利亞曾經(jīng)說過：“數(shù)學的學習關鍵在于善于解題. ”數(shù)學教學的重要任務之一是通過提高學生的解題能力，有效地發(fā)展學生的數(shù)學思維. 為了考查學生的知識掌握情況，檢驗學生的分析、推理、思維以及解題等綜合能力，考試中常會出現(xiàn)一些靈活的試題，讓不少學生望而卻步. 其實，在遇到解題障礙時，只要學會換個角度進行思考，不拘泥于一種方法，深究問題的本源，一定能找到解題的辦法. 教師可從多角度出發(fā)研究試題，充分演繹出經(jīng)典例題的生命力，以讓學生迸發(fā)出智慧的火花，拓展思維，形成良好的數(shù)學思想. 本文以一道考題為例，談談由本題的教學啟示，與同行共勉.

■ 原題呈現(xiàn)

某科研中心規(guī)劃建一幢員工宿舍樓，因?qū)嶒炦^程中有輻射產(chǎn)生，需考慮兩項配套工程：①宿舍樓到實驗室中間修建一條直路;②對新建宿舍樓做防輻射處理. 已知實驗室到宿舍樓的直線距離x千米與防輻射費用y萬元之間的關系式為：y=a■+b（0≤x≤9），當實驗室與宿舍樓的直線距離為1千米時，所需的防輻射費用為720萬元;實驗室與宿舍樓的直線距離為9千米或大于9千米時，輻射的影響極小，忽略不計，可以不進行防輻射處理. 假設修路的費用每公里為m萬元，對應的工程費w=防輻射費+修路費.

（1）實驗室到宿舍樓的距離x=9千米時，防輻射的費用y=（？搖? ? ? ?）萬元，a=（? ? ? ? ），b=（? ? ? ?？搖）.

（2）如果修路的費用每公里為90萬元，求當宿舍樓到實驗室的距離是多少千米時，配套工程費w最少？

（3）若配套工程費低于675萬元，且宿舍樓到實驗室的距離小于9千米，求修路費用每公里m萬元的最大值是多少.

■ 試題賞析

1. 緊扣大綱，以教材為本

乍眼一看，本題很有難度，甚至有超綱的嫌疑，試題中的函數(shù)含有根式，讓不少學生望而卻步. 仔細讀題后，發(fā)現(xiàn)教材中也曾有類似題型出現(xiàn)，問題（1）是運用二元一次方程組來求函數(shù)關系式里未知的系數(shù);問題（2）是根據(jù)已知條件，構建新的關系式，再求解. 由此可見，命題者是以教材為原型，加以生活場景的變化，讓學生覺得試題既熟悉又陌生，雖不能用現(xiàn)成的函數(shù)模型來解題，但又覺得此題可解. 這就要求學生有扎實的知識基礎，凸顯了數(shù)學的實用價值，有效地考查了學生理論聯(lián)系實際的實踐能力. 本試題符合新課標所提倡的將數(shù)學學習與生活實際相聯(lián)系的教育理念.

本題緊扣教學大綱與教材原型，卻又突破常規(guī)地加以變化，既考查了學生基本功的扎實性，又有效地強化了數(shù)學知識與技能的實際應用. 本題涉及的知識點有二元一次方程組與二次函數(shù)的性質(zhì)等內(nèi)容;考核的內(nèi)容有建模、方程、轉(zhuǎn)化與分類討論等數(shù)學思想，有效地考查了學生的理解能力、思維能力、分析能力以及探究能力等. 這種設計，讓一些只注重題海戰(zhàn)術訓練，不注重數(shù)學思想與解題技巧積累的學生感到無計可施.

2. 突破思維定式，實現(xiàn)模型抽象

試題呈現(xiàn)的函數(shù)和教材中呈現(xiàn)的函數(shù)模型有著明顯的差別，這就要求學生通過探究、類比、抽象等方法，結(jié)合原有的認知結(jié)構，突破思維定式，實現(xiàn)模型抽象. 這也給教師提供了一個信息，在試題設計或教學活動中要引導學生經(jīng)歷“問題——探究——驗證”的過程，讓學生在活動中獲得相關的知識與技能，積累經(jīng)驗的同時用心體會模型思想的本質(zhì)，從而產(chǎn)生創(chuàng)新意識，有效地解決各類問題.

3. 由淺入深，滲透模型思想

命題者將問題由淺入深地進行設計，盡可能地降低起點，通過層層遞進的方式讓不同層次的學生得分，難度系數(shù)在0.4左右，具有選拔拉分的功能，適合作為考卷上的最后幾題，起到把關作用，又具有滲透建模思想等作用. 如第（2）問中呈現(xiàn)的y萬元與x千米的關系式y(tǒng)=a■+b（0≤x≤9），決定了w與x的函數(shù)關系式是非典型函數(shù)w=90x-360■+1080（0≤x≤9）. 學生通過觀察、分析得出x=（■）2，原來的函數(shù)關系式被轉(zhuǎn)化為w=90（■）2-360■+1080，如此就將一個陌生的函數(shù)轉(zhuǎn)化成熟悉函數(shù)的模型. 問題（3）對學生的要求就更高了，需從題干中“配套工程費低于675萬元”的條件抽象出關于m的不等式1080-■≤675.

本題設計的靈魂就在于考查學生的建模思想，第（2）問的函數(shù)關系式若轉(zhuǎn)化成功，此題簡易;轉(zhuǎn)化失敗，此題難解. 參考教學大綱對不等式的教學要求，考慮到大部分學生的水平，若將關于m的不等式設計為一元一次不等式會顯得更加合理.

■ 教學啟發(fā)

1. 邊讀邊標，邊標邊思

教師在引導學生解題時，可要求學生首先閱讀試題，在讀題、審題過程中圈出關鍵詞或條件，思考這些關鍵詞或條件的作用，據(jù)此能獲得怎樣的結(jié)論等，并在關鍵性詞語或條件旁作簡單的標注.

如題中的“當宿舍樓到實驗室的距離為1千米的時候，所需防輻射的費用為720萬元”，此條件怎樣轉(zhuǎn)化成符號語言？作何標注？學生會意識到：當x=1時，y=720;再如題中“當宿舍樓到實驗室的距離為9千米或大于9千米的時候，輻射的影響很小，可忽略不計”可標注什么？學生能很快明白當x≥9時，y=0.

在教師的循循善誘下，學生看到問題（2）自然會添加標注“m=90”;看到問題（3）會添加標注“w≤675，x<9”. 如此清晰的標注會讓未知量逐漸浮出水面，題中的一些數(shù)量關系也逐漸明朗，明顯縮短學生解題的時間. 這種邊讀邊標，邊標邊思的習慣一旦養(yǎng)成，對學生的可持續(xù)性發(fā)展具有顯著作用.

2. 問題引領，誘發(fā)思考

愛因斯坦曾說：“學習的關鍵在于勤思考. ”問題作為思考的起點，具有指導學生思考方向的重要作用. 因此，有問題才能誘發(fā)學生的思考，在問題的引領下，學生才有正確的思考方向.

如遇到問題（2）的時候，教師可先引導學生觀察w=90x-360■+1080這個函數(shù)，思考此函數(shù)的變量部分可不可以轉(zhuǎn)化成我們熟悉的某種形式，轉(zhuǎn)化方法是什么？帶著這樣的問題，經(jīng)思考發(fā)現(xiàn)x與■的關系是x=（■）2，故此問題可使用二次函數(shù)的模型來解決. 若設■=z，則函數(shù)關系式為w=90z2-360z+1080，w最小時z=2，x的值為4.

問題（3）難度系數(shù)更大，主要體現(xiàn)在“w≤675且x<9”時能獲得什么結(jié)論. 針對這個問題，教師可引導學生從正反兩個方面進行思考.

正面思考：根據(jù)w=mx-360■+1080和w≤675，得m≤-405■+360·■，到這一步學生就不知道后續(xù)如何求解了. 教師提示學生從化未知為已知的角度來解決問題，在教師的引導和學生思考中，就會發(fā)現(xiàn)這個問題與問題（2）竟然有異曲同工之處. 若設■=t，則-405■+360■轉(zhuǎn)化為-405t2+360t，所以當t=■時，有最大值為80，此時x=■，m≤80.

同時，還可以引導學生利用數(shù)形結(jié)合的思想來考慮這個問題：若一條拋物線的開口向上，函數(shù)值小于等于675，請思考與m有關的結(jié)論;或畫直線w=675，考慮這條直線和拋物線的交點，學生經(jīng)思考后發(fā)現(xiàn)此題的關鍵因素是w的最大值不超過675萬元.

反面求解：教師引導學生思考當w≥675且x<9時，m的取值范圍如何. 根據(jù)這個問題，大多數(shù)學生能獲得“因m大于0，所以w≥675”的結(jié)論. 想保證w的最小值大于等于675，即w關于■的函數(shù)圖像的頂點縱坐標大于等于675，獲得關于m的不等式，即m≥80，之后回歸到原問題可得w≤675時m≤80的結(jié)論.

3. 即時檢驗，及時反思

解題后即時檢驗是解題的重要環(huán)節(jié)之一，也是重要的學習習慣之一. 檢驗是保證解題正確性的基本手段，而反思是提煉解題方法的重要措施.

此題容易出錯的部分主要在解1080-■≤675得m≤80后，先要驗證不等式的解是否正確，再思考其意義. 當學生獲得m≤80后，可引導學生思考m≤80雖符合w≤675，但它是否符合題目中的其他要求？

通過對這個問題的思考，發(fā)現(xiàn)m的取值范圍還需滿足x<9這個條件，再進行檢驗：當m≤80時，■=■=■，即x=■<9，符合題中要求.

一道好的考題既是教材知識的濃縮，又是引領學生復習前進的指揮棒. 教師提煉考題中的亮點與精髓，引導學生理解解決問題的方法，能促使學生獲得解決問題的數(shù)學思維. 學生在這樣的教學活動中能不斷積累解題經(jīng)驗，感悟數(shù)學本質(zhì)，提高數(shù)學核心素養(yǎng).？搖