一題多解，智慧再升華

邵武媚

[摘? 要] 解題能力能充分凸顯學(xué)生對(duì)知識(shí)與技能、思想與方法的掌握情況. 在常態(tài)教學(xué)過(guò)程中，我們應(yīng)通過(guò)提問(wèn)、啟發(fā)、引領(lǐng)的方式，促進(jìn)學(xué)生養(yǎng)成思維的習(xí)慣，完善思維，并逐漸提升解題能力，從而促進(jìn)思維能力的提升.

[關(guān)鍵詞] 一題多解;智慧;素養(yǎng);初中數(shù)學(xué)

教學(xué)中，教師應(yīng)深入挖掘試題價(jià)值，從多個(gè)維度去鎖定試題的內(nèi)在魅力和價(jià)值. 某些試題蘊(yùn)含著很多種解決方法，這些方法有的是一脈相承的，有的是從其他維度去分析而得出的，因此，教師需要從多個(gè)維度去剖析試題，只有這樣，才能促進(jìn)學(xué)生的成長(zhǎng).

■ 原題呈現(xiàn)，信息轉(zhuǎn)換

例題？搖 如圖1，在邊長(zhǎng)為2■的正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點(diǎn)，連接EC，F(xiàn)D，G，H分別是EC，F(xiàn)D的中點(diǎn)，連接GH，則GH的長(zhǎng)為______.

對(duì)于題目的呈現(xiàn)，教師需要引導(dǎo)學(xué)生從題目中采集關(guān)鍵信息. 這些信息隱含著部分其他信息，需要我們引導(dǎo)學(xué)生去分析. 比如，根據(jù)題目所給的正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2■，以及E，F(xiàn)分別為AB，BC的中點(diǎn)，就可以很快地得出BE=BF=AE=EC=■，于是EC=FD=■. 又G，H分別為EC，DF的中點(diǎn)，于是有EG=GC=DH=HF=■. 這些信息得出以后，我們還可以發(fā)現(xiàn)△EBC≌△FCD，從而獲知∠BEF=∠DFC. 因?yàn)椤螮CB+∠BEC=90°，所以∠DFC+∠ECB=90°. 進(jìn)而可以證明EC⊥DF.

這些都是我們?cè)诮鉀Q此題過(guò)程中首先分析到的，也是需要首先引導(dǎo)學(xué)生重點(diǎn)分析的. 這是我們?cè)谧x題、解題、析題過(guò)程中的第一步，也是基礎(chǔ)所在.

■ 策略分析，多元突破

策略是將已知（包括結(jié)合已知推出的新內(nèi)容）與未知之間建構(gòu)起關(guān)鍵的橋梁，這些橋梁有些需要證明，有些需要轉(zhuǎn)換，還有些需要我們作輔助線等來(lái)完成. 就本題而言，我們可以達(dá)成的解法達(dá)十多種，本題結(jié)合幾種特殊且具有代表性的解法同大家分享，以此開啟一題多解的研討.

1. 策略一：直接求

記DF和EC的交點(diǎn)為O. 在Rt△CDF中，根據(jù)面積法有FC·CD=FD·CO，于是可得CO=■. 根據(jù)勾股定理可求出OF=■，所以HO=HF-OF=■-■=■，GO=GC-OC=■-■=■. 在Rt△HGO中根據(jù)勾股定理即可求得GH=1.

分析?上述方法是充分利用面積相等的方法求出相關(guān)的量，再結(jié)合直角關(guān)系，采用勾股定理來(lái)求解GH的長(zhǎng). 除此以外，我們還可以通過(guò)其他方法來(lái)進(jìn)行直接求解，只是這里需要利用輔助線來(lái)完成，即連接HC，如圖2. 結(jié)合“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”我們發(fā)現(xiàn)，HC=HF=■. 在Rt△HOC中根據(jù)勾股定理可求得HO=■，接下來(lái)就和上面的方法一樣，解出GH=1.

2. 策略二：中位線策略

中位線策略在幾何圖形中還是經(jīng)常遇到的，尤其是遇到題目信息中有“中點(diǎn)”時(shí). 此時(shí)，我們需要充分鎖定這一關(guān)鍵信息，并采用構(gòu)建三角形、梯形等圖形，利用中位線的方法來(lái)完成，以此滿足遇中點(diǎn)，構(gòu)造中位線的通法. 以下是幾種常見的中位線的構(gòu)造方法，由于方法都比較相似，證明過(guò)程省略. 具體輔助線如下：連接CH并延長(zhǎng)，交AD于點(diǎn)M，連接EM（如圖3）;連接DG并延長(zhǎng)，交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，連接FM（如圖4）;連接BD，連接FG并延長(zhǎng)分別交BD，AD于點(diǎn)M和點(diǎn)N（如圖5）.

此題的解決方法還有好幾種，比如，連接CH并延長(zhǎng)，交AD于點(diǎn)N，連接NG并延長(zhǎng)到點(diǎn)M，使GM=NG，連接MC;或者連接EH并延長(zhǎng)到點(diǎn)M，使HM=EH，連接MC，等等. 這些作出中位線的方法對(duì)學(xué)生的能力提出了較高的要求，學(xué)生心中必須有這么一根中位線，它位于一個(gè)特殊的、自主建構(gòu)的三角形或者四邊形中，這種建構(gòu)將某些量的大小建構(gòu)起了一個(gè)橋梁，這個(gè)橋梁也是思維生長(zhǎng)的橋梁.

3. 策略三：“斜化正”策略

這種方法相對(duì)較難，但在常態(tài)的教學(xué)過(guò)程中，教師還是需要引領(lǐng)學(xué)生對(duì)這一環(huán)節(jié)進(jìn)行思考，因?yàn)檫@在數(shù)學(xué)解題和訓(xùn)練過(guò)程中也屬于一種轉(zhuǎn)換法思想，這種思想能引領(lǐng)學(xué)生將已知量向未知量轉(zhuǎn)換，且轉(zhuǎn)換的不僅僅是量與量的銜接，更多的是一種思想、一種方法，這種思想和方法決定著學(xué)生思維習(xí)慣的養(yǎng)成和提升，也決定著思維高度的達(dá)成. 比如，我們可以采用如下方法來(lái)作輔助線，以此構(gòu)建相應(yīng)的正方形，促進(jìn)未知量的求解：連接GF，過(guò)點(diǎn)H作HM⊥BC交BC于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)G作GN⊥HM，垂足為N（如圖6）;連接EH，連接FG并延長(zhǎng)交EH于點(diǎn)M（如圖7）;連接EH，過(guò)點(diǎn)G作GN⊥AB，交AB于點(diǎn)N，過(guò)點(diǎn)G作GM⊥EH，垂足為M（如圖8）.

除此之外，我們還可以采用如下方法：過(guò)點(diǎn)G作GM⊥AD，垂足為M，過(guò)點(diǎn)H作HN⊥AD，垂足為N，過(guò)點(diǎn)H作HP⊥GM，垂足為P;連接EH并延長(zhǎng)，交CD于點(diǎn)N，過(guò)點(diǎn)G作GM⊥CD，垂足為M，過(guò)點(diǎn)H作HP⊥GM，垂足為P. 這些方法都可以完成剛才所述的轉(zhuǎn)化和證明.

■ 反思總結(jié)，教學(xué)相長(zhǎng)

結(jié)合剛才的分析我們不難發(fā)現(xiàn)，剛才的這道題有十余種解法，除了以上方法之外，我們還可以找出更多的解法，比如“建系法”“12345模型法”等. 為此，結(jié)合這種現(xiàn)狀，我們需要做進(jìn)一步的分析與反思，以此進(jìn)一步服務(wù)于我們教學(xué)行為的深入，也進(jìn)一步服務(wù)于學(xué)生學(xué)習(xí)能力的提升.

1. 教師點(diǎn)撥方法，學(xué)生自主交流碰撞

在上述課堂教學(xué)活動(dòng)中，教師只需要在方法層面給予學(xué)生適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)撥，多余的時(shí)間和空間留給學(xué)生自主思考、交流碰撞、互幫互助，就能讓學(xué)生在交流的過(guò)程中升華思維的火花，促進(jìn)數(shù)學(xué)智慧的生長(zhǎng). 這樣可以讓學(xué)生的思維充分發(fā)散，也可以讓學(xué)生的交流達(dá)到一個(gè)較好的隱性分層效果，確保每個(gè)孩子都能在自己的思維生長(zhǎng)空間中得到最大限度的提升.

2. 教師引領(lǐng)總結(jié)，學(xué)生反思?xì)w納通法

方法的總結(jié)與歸納是非常重要的. 首先，教師自己要學(xué)會(huì)總結(jié)、反思、提升，另一方面，教師要引領(lǐng)學(xué)生學(xué)會(huì)總結(jié)與反思，在對(duì)比以上所有的方法以后，對(duì)“通法”進(jìn)行科學(xué)合理的分析與總結(jié)，讓學(xué)生在交流中總結(jié)解決一類問(wèn)題的一般方法與流程.

3. 教師自我反思，助推專業(yè)素養(yǎng)提升

在多種解法中，教師也要學(xué)會(huì)反思，讓其真正在教師的深入研究中，從而發(fā)現(xiàn)題目的“橫看成嶺側(cè)成峰，遠(yuǎn)近高低各不同”，結(jié)合具體的試題總結(jié)出解決問(wèn)題的通法，并結(jié)合特例，總結(jié)出最簡(jiǎn)捷、最有效的特法，將通法與特法相結(jié)合，實(shí)現(xiàn)一題多解的最大價(jià)值.