掌握方法，三角恒等變換“任你行”

■夏曉靜

對于三角恒等變換問題，掌握正確、合理的方法，巧妙地運用公式是解題的關鍵，只有這樣，三角恒等變換才能“任你行”。

一、角的變換

例1已知α，β均為銳角，且，求sin(α-β)的值。

解：因為。由題設易得

解因為f(x)的最小正周期為π，且ω＞0，所以，即ω=1。

評注：解題時，先用已知角或特殊角將所求角表示出來，然后利用已知條件及三角公式計算求解，但在求解過程中一定要注意角的取值范圍。

二、函數(shù)名稱的變換

例2若，則cos2α+2sin 2α=____。

解：因為，所以

評注：三角變換的關鍵在于消除差異，化異為同，當題目中出現(xiàn)不同名的三角函數(shù)時，就需要化異名函數(shù)為同名函數(shù)，變換的依據(jù)是同角三角函數(shù)的基本關系和誘導公式。

三、冪的變換

例3求函數(shù)f(x)=sin2x+2sinx·cosx+3 cos2x的最大值及相應的x值。

解：因為f(x)=1+2sinxcosx+2 cos2x=1+sin2x+1+cos 2x=sin2x+cos 2x+2=，則

評注：解題時，要認真分析題目的結構特點，通過降冪、升冪、常值代換等方法，為使用公式創(chuàng)造有利條件。

四、輔助角公式的應用

例4 已知函數(shù)f(x)=4 cosω x·的最小正周期為π。求ω的值。

評注：研究三角函數(shù)的性質，可利用三角恒等變換及輔助角公式，將所給三角函數(shù)化為y=Asin(ω x+φ)+k(ω＞0，A≠0)的形式，再根據(jù)函數(shù)的單調性求解。

五、公式的活用

例5求值：(1+tan 1°)(1+tan 2°)·…·(1+tan 44°)=____。

解：(1+tan 1°)(1+tan 44°)=1+(tan 1°+tan 44°)+tan 1°·tan 44°=1+tan(1°+44°)·(1-tan1°·tan 44°)+tan1°·tan44°=2。同理可得，(1+tan2°)(1+tan43°)=2，…，(1+tan 22°)(1+tan23°)=2。故原式=2×22=44。

評注：常見的三角公式的變形有：sinα=tan(α±β)(1?tanα·tanβ)，2 tanα=tan2α·(1-tan2α)等。有時這些公式對解題起著重要作用，能達到化繁為簡的目的，因此要有活用公式的意識。