四邊形中的變式探究題探析

江蘇省南京外國語學(xué)校 陶維維

新課程標準指出，數(shù)學(xué)課程不僅要使學(xué)生掌握必備的基礎(chǔ)知識與技能，而且要培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識與實際操作能力，發(fā)展學(xué)生的情感、意志，形成正確的人生觀、世界觀和價值觀.四邊形的變式探究問題，能使學(xué)生在自主探究、實際操作與合作交流中，收獲更多的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，它包括兩種類型的探究：一是探索在不變條件下，當動點位置不同時能否得到相同的結(jié)論；二是探究由特殊情形得到的結(jié)論能否推廣到一般情況，它既考查了學(xué)生對四邊形性質(zhì)與判定的理解與掌握，也考查了學(xué)生的創(chuàng)新精神與實踐能力.

一、平行四邊形變式探究題

平行四邊形的性質(zhì)包括：對邊平行且相等，對角相等，鄰角互補，對角線互相平分.它的判定方法有五種，用邊來判定的方法有三種，用角來判定、用對角線判定的各一種方法.平行四邊形是中心對稱圖形，所以，相同條件的不同圖形可能得到同一結(jié)論.

例1在?ABCD中，對角線AC、BD交于點O，將過點A的直線l繞點A旋轉(zhuǎn)，交射線CD于點E，BF⊥l于點F，DG⊥l于點G，連接OF、OG.

（1）如圖1，當點E與點C重合時，請直接寫出線段OF、OG的數(shù)量關(guān)系；

圖1

圖2

（2）如圖2，當點E在線段CD上時，OF與OG有什么數(shù)量關(guān)系？請證明你的結(jié)論.

（3）如圖3，當點E在線段CD的延長線上時，上述結(jié)論是否仍成立？請說明理由.

解析：（1）OF=OG，理由如下.

由四邊形ABCD是平行四邊形，得OB=OD.

由BF⊥l于點F，DG⊥l于點G，得∠BFO=∠DGO=90°.

（2）OF=OG，理由如下.

圖3

圖4

延長GO交BF于點H，如圖4所示.

由BF⊥l于點F，DG⊥l于點G，得BF∥DG，則∠ODG=∠OBH.

（3）當點E在線段CD的延長線上時，上述結(jié)論仍成立，理由如下.

延長GO、FB交于點H，如圖5 所示.

圖5

由四邊形ABCD是平行四邊形，得OB=OD，

由BF⊥l于點F，DG⊥l于點G，得BF∥DG，則∠DGO=∠BHO.

評注：本題在解答過程中主要應(yīng)用了全等三角形、直角三角形斜邊中線的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)等，在解答第（2）問和第（3）問時，解題思路是相同的，都是延長一邊構(gòu)造直角三角形.

二、菱形變式探究題

菱形不僅具有平行四邊形的一切性質(zhì)，而且有自己特殊的性質(zhì)，即四邊相等，對角線互相垂直平分，每條對角線平分一組對角.它的判定方法有三種，用邊來判定的兩種，用對角線來判定的一種.因為它既是軸對稱圖形也是中心對稱圖形，所以當一個角的頂點與菱形的頂點或中心重合時，在旋轉(zhuǎn)過程中始終有全等三角形.

例2已知四邊形ABCD是菱形，AB=4，∠ABC=60°，有一足夠大的含60°角的直角三角尺的60°角的頂點與菱形ABCD的頂點A重合，兩邊分別與CB、DC相交于點E、F，且∠EAF=60°.

（1）如圖6，當點E是線段CB的中點時，請直接判斷△AEF的形狀是______.

圖6

圖7

（2）如圖7，當點E是線段CB上任意一點時（點E不與點B、C重合），求證：BE=CF.

（3）如圖8，當點E在線段CB的延長線上，且∠EAB=15°時，求點F到BC的距離.

解析：（1）△AEF是等邊三角形，理由如下.

連接AC.

由四邊形ABCD是菱形，得AB=BC=AD，∠B=∠D.

由∠ABC=60°，得∠BAD=120°，△ABC是等邊三角形，則AC=AB.

由點E是線段CB的中點，得AE⊥BC，則∠BAE=30°.又∠EAF=60°，則∠DAF=120°-30°-60°=30°=∠BAE.

圖8

（2）連接AC.

同（1）得△ABC是等邊三角形，則∠BAC=∠ACB=60°，AB=AC.

又∠EAF=60°，則∠BAE=∠CAF.

由∠BCD=∠BAD=120°，得∠ACF=60°=∠B.

（3）同（1）得：△ABC和△ACD是等邊三角形，則AB=AC，∠BAC=∠ACB=∠ACD=60°，則∠ACF=120°.

由∠ABC=60°，得∠ABE=120°=∠ACF.

由∠BAC=60°，∠EAF=60°，得∠BAE=∠CAF.

由∠EAB=15°，∠ABC=∠AEB+∠EAB=60°，得∠AEB=45°，則∠CEF=∠AEF-∠AEB=15°.

作FH⊥BC于點H，在△CEF內(nèi)部作∠EFG=∠CEF=15°，如圖9所示.

由∠FCH=∠ACF-∠ACB=60°，得∠CFH=30°，則CF=2CH，F(xiàn)H=

由BC=AB=4，得CE=BC+BE=4+2x，則EH=4+x=x+3x，解得x=，則FH=，即點F到BC的距離為

評注：其實在∠EAF繞點A旋轉(zhuǎn)的過程中，始終有不變的結(jié)論，如：BE=CF，△AEF是等邊三角形，其他結(jié)論都是在這些結(jié)論的前提下進一步延伸的.

圖9

圖10

三、矩形的變式探究

矩形不僅具有平行四邊形的一切性質(zhì)，而且有特殊的性質(zhì)，即四個角都是直角，對角線相等.它的判定方法有三種，用角判定的兩種，用對角線判定的一種.因為矩形既是軸對稱圖形也是中心對稱圖形，所以在矩形內(nèi)探究的結(jié)論可以推廣到一般的平行四邊形中.

例3（1）【操作發(fā)現(xiàn)】如圖10，在矩形ABCD中，E是BC的中點，將△ABE沿AE折疊后得到△AFE，點F在矩形ABCD內(nèi)部，延長AF交CD于點G.猜想線段GF與GC的數(shù)量關(guān)系是_______.

（2）【類比探究】如圖11，將（1）中的矩形ABCD改為平行四邊形，其他條件不變，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？請說明理由.

圖11

圖12

（3）【應(yīng)用】如圖12，將（1）中的矩形ABCD改為正方形，邊長AB=4，其他條件不變，求線段GC的長.

解析：（1）GF=GC，理由如下.

連接EG.

由E是BC的中點，得BE=CE.

由將△ABE沿AE折疊后得到△AFE，得BE=EF，則EF=EC.又EG=EG，∠C=∠EFG=90°，則△ECG△EFG（HL），則FG=CG.

（2）（1）中的結(jié)論仍然成立.理由如下.

連接FC.由E是BC的中點，得BE=CE.

由將△ABE沿AE折疊后得到△AFE，得BE=EF，∠B=∠AFE，則EF=EC，則∠EFC=∠ECF.

由矩形ABCD，得∠B=∠D.

由∠ECD=180°-∠D，∠EFG=180°-∠AFE=180°-∠B=180°-∠D，得∠ECD=∠EFG，則∠GFC=∠GFE-∠EFC=∠ECG-∠ECF=∠GCF，則∠GFC=∠GCF，則FG=CG.

（3）設(shè)GF=GC=x，則AG=4+x，DG=4-x.

在Rt△ADG中，（4+x）2=（4-x）2+42，解得x=1，即CG=1.

評注：本題將矩形中得到的“FG=CG”推廣到一般平行四邊形中，然后在正方形中應(yīng)用，反映了變式探究的一般過程，即實驗發(fā)現(xiàn)—類比探究—推廣應(yīng)用.

變式探究題在變化的圖形中有不變的結(jié)論，或者隨圖形的變化結(jié)論做相應(yīng)的改變，在解題中，鍛練了學(xué)生的觀察能力、邏輯思維能力，對問題追根求源的探究欲望，提升了學(xué)生對數(shù)學(xué)現(xiàn)象本質(zhì)的認識，體會如何在變化過程中把握不變.