三角形中的一條線、兩個模型、三個結(jié)論

江蘇省南通田家炳中學 潘丹丹

三角形是人教版八年級上冊第十一章內(nèi)容，如何研究與三角形相關(guān)的角是研究的重點與難點，通過對與三角形有關(guān)內(nèi)容的分析與認識，筆者對如何求與三角形相關(guān)的角及與三角形相關(guān)的角的一些題型做了適當?shù)恼J識與總結(jié)，如有不當之處，敬請批評指正.

一、三角形中的一條線——內(nèi)角和定理或外角結(jié)論

與三角形有關(guān)的角包括內(nèi)角和外角，如何去求相關(guān)角呢？筆者認為，牢牢抓住內(nèi)角和定理或者外角結(jié)論，在求與三角形相關(guān)的角時，首先確定所研究的角是什么角，抓住三角形的內(nèi)角和定理（三角形三個內(nèi)角和等于180°）這條線，或者抓住外角結(jié)論（三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和）這條線.

基于三角形求角中一條線的思路認識，可進一步得出以下兩個模型及對三個結(jié)論的認識.

二、兩個模型——飛鏢模型和8字模型

1.8字模型

如圖1，試探究∠A、∠B、∠C、∠D的關(guān)系.

結(jié)論：∠A+∠B=∠C+∠D.

通過對三角形中研究角時一條線的認識，可知應緊抓三角形的內(nèi)角和定理.證明如下：

證明：在△ABE中，∠A+∠B+∠AEB=180°，所以∠A+∠B=180°-∠AEB.

在△CDE中，∠C+∠D+∠CED=180°，所以∠C+∠D=180°-∠CED.

又因為∠AEB=∠CED，所以∠A+∠B=∠C+∠D.

圖1

圖2

建立在8字模型的基礎上，將8字模型與角平分線結(jié)合，有如下問題探究：

如圖2，BP、DP分別平分∠B、∠D，相交于點P，試探究∠P與∠A、∠C的關(guān)系.

證明：記線段AD、BP相交于點M，則根據(jù)8字模型結(jié)論得∠A+∠ABP=∠P+∠ADP ①.

記線段BC、DP相交于點N，則根據(jù)8字模型結(jié)論得∠P+∠CBP=∠C+∠CDP ②.

因為BP、CP分別平分∠ABC、∠ADC，所以∠ABP=∠CBP，∠ADP=∠CDP.

認識了8字模型與角平分線的結(jié)合，在此基礎上還可做如下變式：

證明：記線段AD、BP相交于點M，則根據(jù)8字模型結(jié)論得，所以∠ABC-∠ADC=3（∠P-∠A）.

記線段BC、DP相交于點N，則根據(jù)8字模型結(jié)論得∠P+∠CBP=∠C+∠CDP，則，所以

進一步可以推廣到一般情況：

2.飛鏢模型

如圖3，試探究∠A、∠B、∠C、∠D的關(guān)系.

結(jié)論：∠D=∠A+∠B+∠C.

通過對三角形中研究角時一條線的認識，有以下思考：

證法1：（利用三角形內(nèi)角和定理）連接BC.

在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，所以∠A+∠ABD+∠ACD=180°-∠DBC-∠DCB.

在△DBC 中，∠BDC+∠DBC+∠DCB=180°，則∠BDC=180°-∠DBC-∠DCB，所以∠BDC=∠A+∠ABD+∠ACD.

證法2：（構(gòu)造外角，利用外角結(jié)論）連接AD并延長至點E.

根據(jù)外角結(jié)論，得∠BDE=∠B+∠BAE，∠CDE=∠C+∠CAD，所以∠BDE+∠CDE=∠B+∠C+∠BAE+∠CAD，即∠BDC=∠BAC+∠B+∠C.

實際上在利用外角結(jié)論證明時，也可用以下方法：延長線段BD交AC于點M，或者延長線段CD交AB于點N.

圖3

圖4

建立在飛鏢模型的基礎上，將飛鏢模型與角平分線結(jié)合，有如下問題探究：

如圖4，BO、CO分別平分∠ABC、∠ACB，相交于點O，試探究∠A、∠O、∠D的關(guān)系.

結(jié)論：∠A+∠D=2∠O

證明：由飛鏢模型可得：∠O=∠A+∠ABO+∠ACO，∠D=∠O+∠OBD+∠OCD.

因為BO、CO分別平分∠ABC、∠ACB，所以∠ABO=∠OBD，∠ACO=∠OCD.則∠O-∠A=∠D-∠O，故∠A+∠D=2∠O.

認識了飛鏢模型與角平分線的結(jié)合，在此基礎上還可做如下變式：

證明：由飛鏢模型可得：∠O=∠A+∠ABO+∠ACO，∠D=∠O+∠OBD+∠OCD.

進一步可以推廣到一般情況：

將8字模型、飛鏢模型與對角線結(jié)合得到了一般性的結(jié)論，而三角形中角平分線的一般結(jié)論又如何呢？

三、三個結(jié)論（三角形中角平分線的結(jié)論）

1.兩個內(nèi)角平分線的結(jié)論

在△ABC中，∠ABC的平分線和∠ACB的平分線交于點P，如圖5，試猜想∠P與∠A的關(guān)系，并予以證明.

證明：在△PBC中，∠P=180°-∠PBC-∠PCB.

因為BP、CP分別平分∠ABC、∠ACB，所以∠PBC=

圖5

圖6

2.一個外角與一個內(nèi)角平分線的結(jié)論

在△ABC中，一個外角∠ACE的平分線和一個內(nèi)角∠ABC的平分線交于點P，如圖6，試猜想∠P與∠A的關(guān)系，并予以證明.

證明：因為∠PCE為△PBC的外角，所以∠P=∠PCE-∠PBC.

因為BP、CP分別平分∠ABC、∠ACE，所以∠PBC=

3.兩個外角平分線的結(jié)論

在△ABC 中，兩個外角∠EBC的平分線和∠FCB的平分線交于點P，如圖7，試猜想∠P與∠A的關(guān)系，并予以證明.

圖7

證明：在△PBC中，∠P=180°-∠PBC-∠PCB.

因為BP、CP分別平分∠EBC、∠FCB，所以∠PBC=

建立在三角形中角平分線的結(jié)論上，與之方法類似，以上問題均可拓展到一般情況并得到一般性的結(jié)論：

以上內(nèi)容是對三角形中如何求角這個問題的部分認識，充分掌握好以上問題的結(jié)論及證明過程，在適當情況下能起到事半功倍的作用.實際上，不管是三角形中求什么角的問題，核心本質(zhì)都是首先抓住這個角是什么角，然后充分利用內(nèi)角和定理或者外角結(jié)論進行轉(zhuǎn)化解決.