例談用策略+巧訓(xùn)練解決初中數(shù)學(xué)中的圖形與幾何問題

徐策

摘 要：八年級學(xué)生能否正確規(guī)范地解決圖形與幾何問題是檢驗學(xué)生的空間觀念、幾何直觀、推理能力等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的標(biāo)尺。注重解題策略和精巧訓(xùn)練相結(jié)合的方法，使學(xué)生學(xué)會圖形與幾何問題的解決，進而實現(xiàn)數(shù)學(xué)能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升。

關(guān)鍵詞：圖形與幾何問題;解決策略;數(shù)學(xué)素養(yǎng)

初中數(shù)學(xué)中的圖形與幾何知識是發(fā)展學(xué)生空間觀念、幾何直觀、推理能力的核心內(nèi)容。人教版教材將這塊知識安排在八年級數(shù)學(xué)上下冊中，占八年級全部內(nèi)容的一半。如此重要，難免有一部分學(xué)生對圖形與幾何問題的解決頻繁出錯，以致學(xué)生失去積極性出現(xiàn)厭學(xué)傾向。其根本原因為：一方面是學(xué)生對這塊知識中蘊含的關(guān)鍵詞——對應(yīng)、全等、平行、垂直、軸對稱等理解膚淺，或只理解但不會在其他情境中靈活應(yīng)用;另一方面是學(xué)生缺乏正確規(guī)范的解題策略的指導(dǎo)和適量的技巧訓(xùn)練，沒有積累到基本的解題經(jīng)驗?；诖?，如何引導(dǎo)八年級學(xué)生正確規(guī)范地解決這類問題和積累基本的解題經(jīng)驗，以下是筆者的幾點做法和思考。

一、重新畫圖，尋求入口，實現(xiàn)順利解題

規(guī)范的數(shù)學(xué)圖形是順利解題的基礎(chǔ)。在解決問題之前進行重新規(guī)范畫圖，既能引起學(xué)生對圖形的定義、性質(zhì)的溫習(xí)，又能為問題解決找到突破口。因為有一部分圖形與幾何問題中給定的圖形定格在某一狀態(tài)，并不是解題所用的規(guī)范圖形，需要學(xué)生根據(jù)題意重新構(gòu)建適合該題的圖形，利用幾何直觀尋求解題思路，實現(xiàn)順利解題。

例1.如圖1，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，AB=10，BC=6，點N是線段BC上的一個動點，將△ACN沿AN折疊，使點C落在點C'處，當(dāng)△NC'B是直角三角形時，CN的長為__________________。

分析：由圖1可見，若C'落在△ACB內(nèi)部時，△BC'N只能是鈍角三角形，對問題解決而言圖形不匹配不規(guī)范，缺少幾何直觀。需要引導(dǎo)學(xué)生重新畫圖，凸顯圖形的直觀性如圖2、圖3。再根據(jù)勾股定理即可解題。

二、分解圖形，提取有用，實現(xiàn)精準解題

把復(fù)雜的幾何圖形簡單化也是解決這類問題的常用方法。圖形與幾何問題的解決中，要引導(dǎo)學(xué)生分解分離復(fù)雜圖形，排除與解題無關(guān)圖形的干擾，提取有用圖形，實現(xiàn)精準解題。

例2.如圖，在矩形ABCD中，BD是其對角線，點E是BD的中點，過點E作直線FG，分別交BA、DC的延長線于點F、G，連接BG、DF，求證：△FEB≌△GED。

分析：如圖4，從圖形看線段較多略顯復(fù)雜，后進生很難找準對應(yīng)邊和對應(yīng)角，證明△FEB≌△GED時易出錯，那么對原圖進行分解提取與證明有關(guān)的圖形如圖5，這樣排除了多余線段AD、BC、DF、BG的干擾，即用AAS法或ASA法得證結(jié)論，實現(xiàn)精準解題。

三、抓關(guān)鍵詞，添線構(gòu)圖，實現(xiàn)靈活解題

義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準指出，在教學(xué)活動中，要鼓勵與提倡解決問題策略的多樣化……豐富數(shù)學(xué)活動的經(jīng)驗，提高思維水平。縱觀八年級數(shù)學(xué)中的圖形與幾何問題，不難發(fā)現(xiàn)問題中所包含的關(guān)鍵詞是理解題意，添加輔助線，構(gòu)造解題圖形的金鑰匙。新構(gòu)圖形的出現(xiàn)為進一步解決問題搭起腳手架，從而實現(xiàn)靈活多法解決問題。

例3.如圖6，四邊形ABCD中，AB∥CD，AB≠CD，BD=AC，求證：BD=AC。

分析：由AB∥CD，構(gòu)造圖7圖8得平行四邊形ABFC、ABDE、BDCE、ACDF，實現(xiàn)解題。也可根據(jù)圖9運用等角對等邊或軸對稱圖形完成證明。

四、及時復(fù)習(xí)，巧妙訓(xùn)練，豐富解題經(jīng)驗

初中數(shù)學(xué)中的例題具有典型性、示范性，是解決同類問題的樣本。這就要求教師在教學(xué)中注重鉆研習(xí)題，精心設(shè)計同一知識點在不同環(huán)境中的應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生適應(yīng)不同的問題環(huán)境，從而提高學(xué)生的探究能力。例如，在復(fù)習(xí)八年級圖形與幾何知識中的最短路徑問題時，巧設(shè)題組訓(xùn)練，將這一知識點依次放在等腰三角形、平行四邊形、矩形、菱形、正方形、圓及直角坐標(biāo)系中讓學(xué)生進行探究解決。這樣既鞏固加深了本知識點的應(yīng)用又積極主動地溫習(xí)了以上幾種圖形的定義、性質(zhì)和相關(guān)定理。可以說把八年級所有的圖形與幾何知識串聯(lián)性地復(fù)習(xí)了一遍，同時也積累了一定的解題經(jīng)驗，可謂一舉多得。

總之，八年級學(xué)生能否對教材中的圖形與幾何問題的正確解決是檢驗數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)落實的試金石。在教學(xué)中，首先要引導(dǎo)學(xué)生對應(yīng)、全等、平行、垂直、軸對稱等關(guān)鍵詞的理解和應(yīng)用。其次要搞懂教材中的范例分析，加強解決策略的指導(dǎo)，使學(xué)生熟練運用重新畫圖、分解圖形、添線構(gòu)圖的基本解題策略;最后更要對學(xué)生進行精巧的訓(xùn)練，拓展學(xué)生的思維，積累豐富的解題經(jīng)驗，為后續(xù)圖形與幾何知識的學(xué)習(xí)打下堅實的基礎(chǔ)。

注：本文為甘肅省教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃課題“關(guān)于解決初中數(shù)學(xué)中的圖形與幾何問題的策略研究——以人教版八年級教材和學(xué)生為例”研究成果，課題批號：GS[2018]GHB1041。

編輯 高 瓊