基于數(shù)學問題的數(shù)學創(chuàng)新能力培養(yǎng)例析

汪晶晶

[摘? 要] 培養(yǎng)學生數(shù)學創(chuàng)新能力是當前數(shù)學教育的一個重要目標. 在初中數(shù)學教學中，教師應(yīng)促使學生積極參與數(shù)學活動，鼓勵學生大膽猜想，發(fā)現(xiàn)問題;變換視角，解決問題;聯(lián)通融合，反思問題. 在數(shù)學問題中，培養(yǎng)學生數(shù)學創(chuàng)新能力.

[關(guān)鍵詞] 數(shù)學創(chuàng)新能力;數(shù)學問題;數(shù)學教學

創(chuàng)新是民族的靈魂，一個民族要想走在時代前列，就不能沒有創(chuàng)新. 數(shù)學教育既要使學生掌握現(xiàn)代生活和學習中所需要的數(shù)學知識與技能，更要發(fā)揮數(shù)學在培養(yǎng)人的思維能力和創(chuàng)新能力方面的不可替代的作用[1]. 培養(yǎng)學生數(shù)學創(chuàng)新能力是當前數(shù)學教育的一個重要目標. 有關(guān)數(shù)學創(chuàng)新能力的內(nèi)涵尚未有定論，筆者比較認同羅新兵和羅增儒教授的觀點，將認知過程與認知結(jié)果相結(jié)合，去揭示數(shù)學創(chuàng)新能力的內(nèi)涵：從認知過程來看，主要表現(xiàn)為克服思維定式，打破常規(guī)做法;從認知結(jié)果來看，主要表現(xiàn)為豐富的、相異的、原創(chuàng)的思維產(chǎn)物[2].

筆者作為一線教師，發(fā)現(xiàn)我們目前的初中數(shù)學課堂中，整節(jié)課學生進行大量計算、機械回答教師課前設(shè)計的問題等現(xiàn)象還是普遍存在的，這對于學生打好基礎(chǔ)固然是有幫助的，但學生同時也失去了發(fā)展創(chuàng)新能力的機會. 培養(yǎng)學生創(chuàng)新能力的主陣地還是課堂，除了注重打好學生的基礎(chǔ)，也要謀求發(fā)展，靈活創(chuàng)新. 我國著名數(shù)學家華羅庚先生和吳文俊先生以及數(shù)學教育家張奠宙先生也都認為“創(chuàng)新需要堅實的基本知識和基本技能為基礎(chǔ)，而建立基礎(chǔ)又需要創(chuàng)新精神的引領(lǐng). ”[3]縱觀美國數(shù)學教育改革，就是不斷在打好基礎(chǔ)和尋求創(chuàng)新之間尋找平衡的過程. 解決問題是美國數(shù)學課程的核心，有利于學生創(chuàng)新能力的培養(yǎng). 事實上，除了解決問題之外，發(fā)現(xiàn)問題及反思問題也能很好地培養(yǎng)學生的創(chuàng)新能力. 下面筆者結(jié)合自己的教學實踐，具體談?wù)勗诎l(fā)現(xiàn)問題、解決問題和反思問題三個方面如何培養(yǎng)學生的創(chuàng)新能力.

打開創(chuàng)新之門：大膽猜想，發(fā)現(xiàn)問題

猜想是對研究的問題進行觀察、實驗、分析、比較、聯(lián)想、類比、歸納，并依據(jù)已有的材料和知識做出符合一定經(jīng)驗與事實的推測性想象的思維方法. 在課堂教學中，教師應(yīng)創(chuàng)設(shè)適當?shù)那榫常膭顚W生大膽猜想，發(fā)現(xiàn)問題. 由于每個學生的認知能力不同，理解能力不同，已有的知識結(jié)構(gòu)也不盡相同，導(dǎo)致學生在猜想過程中的思維方式各異，從而發(fā)現(xiàn)的問題也不同. 也就是說，從認知結(jié)果上看，學生發(fā)現(xiàn)的問題是豐富的、相異的、都是原創(chuàng)的思維產(chǎn)物. 學生從經(jīng)歷過的東西猜想未曾經(jīng)歷過的東西，從事物的過去和現(xiàn)在猜想事物的未來，或從一個事物猜想另一個事物，這就是一種創(chuàng)造性思維模式. 數(shù)學創(chuàng)新能力與數(shù)學創(chuàng)新思維關(guān)系密切，數(shù)學創(chuàng)新思維是數(shù)學創(chuàng)新能力的前提和基礎(chǔ). 因此，在數(shù)學教學中，放手讓學生大膽猜想，發(fā)現(xiàn)問題，有利于培養(yǎng)學生的數(shù)學創(chuàng)新能力.

案例1? 矩形的判定.

在這節(jié)課中，師生首先共同復(fù)習矩形的定義和性質(zhì)，之后明確本節(jié)課的學習內(nèi)容：如何判定一個四邊形是矩形. 第一種判定方法必然是定義，因為任何定義既可以作為性質(zhì)又可以作為判定方法. 那么如何發(fā)現(xiàn)其他方法呢？教師放手讓學生大膽猜想. 由于在前面學生學習過平行線的性質(zhì)和判定、等腰三角形的性質(zhì)和判定、平行四邊形的性質(zhì)和判定等，已經(jīng)積累了相關(guān)的學習經(jīng)驗，判定和性質(zhì)通常是兩個已知和結(jié)論互換的命題，這為學生猜想創(chuàng)造了條件，并提供了科學的猜想方法. 在實際教學中，學生發(fā)現(xiàn)并猜想了11種判定方法：（1）四個角相等的四邊形;（2）三個角為直角的四邊形;（3）對角線相等且互相平分的四邊形;（4）一組對邊平行且一組對角為90°的四邊形;（5）對角線相等的平行四邊形;（6）對角互補的平行四邊形;（7）三個角相等的平行四邊形;（8）一組鄰角相等的平行四邊形;（9）在四邊形ABCD中，AO=BO，∠ABC=90°;（10）一組對角相等，另一組對角都為90°的四邊形;（11）四邊形ABCD為平行四邊形，BO=AC.

在前面的學習中，很多幾何圖形的判定方法都是性質(zhì)的逆命題，學生已經(jīng)形成一種思維定式，認為判定方法就是性質(zhì)的逆命題. 包括在人教版教材中，矩形的判定方法也是將矩形性質(zhì)的已知和結(jié)論互換，形成新的命題，再加以證實. 其實，矩形的判定方法是多樣化的，學生在猜想的過程中，克服了思維定式，打破常規(guī)做法，并且猜想的結(jié)果也是很豐富的，雖然上述的第（9）條猜想是個假命題，可以通過舉反例證偽，但是這些猜想都是學生原創(chuàng)的思維產(chǎn)物. 學生在猜想的過程中，發(fā)展了數(shù)學創(chuàng)新思維. 因此，在課堂教學中，教師要舍得花時間讓學生大膽猜想，發(fā)現(xiàn)問題.

開拓創(chuàng)新之路：變換視角，解決問題

解決問題是數(shù)學教育的核心，是學生思維活動一種重要形式. 在解決數(shù)學問題的過程中，培養(yǎng)學生創(chuàng)新能力的關(guān)鍵是變換視角，發(fā)散思維. 發(fā)散思維是從一點出發(fā)，向各個不同方向輻射，產(chǎn)生大量不同設(shè)想的思維. 無論是從認知過程還是認知結(jié)果來看，發(fā)散思維都體現(xiàn)了創(chuàng)新. 不少心理學家認為，發(fā)散思維是創(chuàng)造性思維最主要的特點，是測定創(chuàng)新能力的主要標志之一. 在初中數(shù)學課堂教學中，一題多解是非常重要的發(fā)散思維的方法，它可以讓學生學會對問題進行多角度、多層次的分析，打破常規(guī)，培養(yǎng)學生創(chuàng)新能力.

案例2? 等腰三角形的判定.

在這節(jié)課中，學生首先猜想得出命題：如果一個三角形有兩個角相等，那么它是等腰三角形. 根據(jù)命題畫出圖形（如圖2），并用幾何語言寫出已知和求證.

已知：如圖2，在△ABC中，∠B=∠C.? 求證：△ABC為等腰三角形.

在實際的教學中，學生先獨立思考，后合作交流，共同探討出六種證法，令人嘆為觀止（如圖3）.

證法1：過點A作AD⊥BC，垂足為點D，證明△ABD ≌△ACD.

證法2：作∠BAC的角平分線AD，證明△ABD ≌△ACD.

證法3：過點D分別作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為點E，F(xiàn). 可證△BED ≌△CFD，從而DE=DF. 由于AD是中線，△ABD和△ACD的面積相等，而它們的高相等，所以底邊AB=AC，△ABC為等腰三角形.

證法4：過點A作BC的平行線DE，分別過點B，C作BD⊥DE，CE⊥DE，垂足分別為點D，E. 根據(jù)平行線間距離相等，得出BD=CE，再證明△ABD ≌△ACE.

證法5：分別過點B，C作BD⊥AC，CE⊥AB，垂足分別為點D，E. 再利用等面積法或者全等得證.

這里要特別指出第六種證法，學生發(fā)現(xiàn)△ABC和自己全等，因為∠B=∠C，BC=CB，∠C=∠B，所以△ABC≌△ACB，從而AB=AC，△ABC是等腰三角形. 筆者曾經(jīng)在特級教師任勇老師寫的書里看到過這種證明方法，當時直接被震撼到了，這世間還有如此簡潔、奇妙的方法！沒想到自己的學生通過合作交流也想到了. 這種證法克服了思維定式，打破常規(guī)，學生在思考的過程中發(fā)展了數(shù)學創(chuàng)新能力. 其實，這些豐富的、相異的證法全部都是由學生獨立思考、交流討論得出的，對于學生而言具有原創(chuàng)性. 而且學生在試圖尋找其他證法的過程中，總是在不斷地變換思考視角，力圖求新、求異. 因此，通過一題多解，變換視角來解決問題，可以培養(yǎng)學生的數(shù)學創(chuàng)新能力.

架構(gòu)創(chuàng)新之橋：聯(lián)通融合，反思問題

反思是指對曾經(jīng)在思維活動中出現(xiàn)的問題和解決問題的方法、結(jié)論不斷思考的心理活動，既表現(xiàn)為對尚未解決的問題的上下求索，又表現(xiàn)為對已有解法和結(jié)論的挑剔和批判. 因此，學生反思問題的過程就是創(chuàng)新的過程，并且學生的數(shù)學創(chuàng)新能力在反思活動中會得到更多的體現(xiàn). 然而，學生反思問題的意識是比較薄弱的，更談不上反思的方法和習慣.

在實踐中，筆者引導(dǎo)學生利用創(chuàng)新工具——思維導(dǎo)圖在解決問題后進行反思，將所學知識和方法梳理成知識網(wǎng)絡(luò)，為學生架構(gòu)創(chuàng)新之橋.

案例3? 等腰三角形的判定.

在這節(jié)課中，學生展示各種解法之后，教師歸納總結(jié)，將所有解法進行聯(lián)通融合，提升數(shù)學思維，并為學生提供一種可借鑒和學習的反思問題的方法，進而發(fā)展數(shù)學創(chuàng)新能力. 繪制的思維導(dǎo)圖如圖4.

在教學中，筆者也經(jīng)常布置作業(yè)讓學生寫數(shù)學小論文，數(shù)學小論文的形式也是多樣的，有的是談?wù)勛约簩W習本章內(nèi)容的體會，有的是課堂研究的延續(xù)，對課堂上研究的問題做進一步思考，也有的是讓學生根據(jù)課堂上研究問題的方法，研究一個新的問題. 學生創(chuàng)作小論文的過程就是反思、創(chuàng)新的過程，因此，有利于學生養(yǎng)成反思的習慣，發(fā)展數(shù)學創(chuàng)新能力. 由于教師在課堂上的引導(dǎo)，很多學生在小論文中利用思維導(dǎo)圖作為開篇或者結(jié)尾，使研究的思路更清晰. 下面選取了兩位同學小論文里的思維導(dǎo)圖，如圖5.

著名數(shù)學教育家波利亞曾說過：“問題是數(shù)學的心臟.” 學生探究知識的欲望，往往是從問題開始的. 我們教師在教學時，要鼓勵學生大膽猜想，發(fā)現(xiàn)問題，提出問題;變換視角，解決問題;聯(lián)通融合，反思問題，促使每一位學生積極參與到充滿智慧的數(shù)學問題探究活動中，讓潛能得以開發(fā)，思維得以提升，創(chuàng)新能力得以發(fā)展. 我們在教學中播下數(shù)學問題的種子，學生數(shù)學創(chuàng)新能力定會開出絢爛之花.

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部制定. 義務(wù)教育數(shù)學課程標準（2011年版）[S]. 北京：北京師范大學出版社，2012.

[2] 羅新兵，羅增儒. 數(shù)學創(chuàng)新能力的涵義與評價[J]. 數(shù)學教育學報，2004，13（2）.

[3]張奠宙，于波. 數(shù)學教育的“中國道路”[M]. 上海：上海教育出版社，2009.