對2019年高考全國III卷理科第21題的探究

重慶市合川中學(xué)(401520) 王安國 李娟

一．試題呈現(xiàn)及背景

題目(2019年高考全國I卷理科第21題)已知曲線為直線上的動(dòng)點(diǎn)，過D作C的兩條切線，切點(diǎn)分別為A,B.

(I)證明：直線AB過定點(diǎn);

分析本題主要考查過拋物線切點(diǎn)的直線方程，直線和圓相切的相關(guān)知識(shí)，考查靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)，探究問題和解決問題的能力，全面考查學(xué)生的數(shù)學(xué)綜合素養(yǎng).

試題背景此題中的圖形，涉及到拋物線的弦與過弦的端點(diǎn)的兩條切線所圍成的三角形，這個(gè)三角形又常被稱為阿基米德三角形.阿基米德三角形的得名，是因?yàn)榘⒒椎卤救耸亲钤缋帽平乃枷胱C明了如下結(jié)論：拋物線的弦與拋物線所圍成的封閉圖形的面積，等于拋物線的弦與過弦的端點(diǎn)的兩條切線所圍成的三角形面積的三分之二.普通高中選修課程標(biāo)準(zhǔn)試驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)選修3-1(A版)《數(shù)學(xué)史選講》第21頁中，有與這個(gè)結(jié)論相關(guān)的另外一種變式敘述.此題為過拋物線焦點(diǎn)的阿基米三角形.

二．解法探究

(I)解法一略(參考答案)

解法二設(shè)直線AB的方程為整理得x2-2kx-2b=0，Δ=4k2+8b＞0，則x1x2=-2b.由于y′=x，所以過A的切線方程為

過B的切線方程為

解法三(先猜后證)由拋物線圖象關(guān)于y軸對稱和D點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，得到直線AB變化規(guī)律，可猜想直線AB的定點(diǎn)落在y軸上.令A(yù)(x1,y1)，則切線AD滿足方程得則直線AB方程為故得定點(diǎn)坐標(biāo)為

(II)解法一略(參考答案)

解法二(平面幾何解法)

圖1

圖2

圖1中，由拋物線的光學(xué)性質(zhì)易得∠1=∠2，又∠1=∠3，所以∠2=∠3.因?yàn)锳F=AA1，AD=AD，所以△AFD△AA1D，所以∠AFD=∠AA1D=90°，DF⊥AB，DA1=DF.同理△BDF△BDB1，所以DB1=DF，所以DA1=DB1，即點(diǎn)D為A1B1中點(diǎn).圖2中，已去掉坐標(biāo)系和拋物線，并延長BA,B1A1于點(diǎn)H.因?yàn)镚E⊥AB，DF⊥AB，所以GE//DF，又因?yàn)镚、D分別為AB,A1B1的中點(diǎn)，所以GD//AA1//EF，故EFDG為平行四邊形，從而GD=EF=2，AB=AA1+BB1=2GD=4.因?yàn)镕I//GD且所以I為HD的中點(diǎn)，從而S四邊形ADBE=SADB+SABE=當(dāng)直線AB平行于x軸時(shí)，易得S四邊形ADBE=3.綜上，四邊形ADBE的面積為3或

評析相比較于參考答案，試題1(II)中解法二的過程要顯得簡潔.因?yàn)榻馕鰩缀螁栴}本質(zhì)是幾何問題，它們本身就包含一些很重要的幾何性質(zhì).如果我們可以充分利用這些幾何性質(zhì)，它們其實(shí)就是純幾何問題，完全可以借助平面幾何的知識(shí)加以解決.這樣不但能避開繁瑣的代數(shù)運(yùn)算，使解決問題的過程得到簡化，而且能更好地揭示這些問題的幾何本質(zhì).

三．試題的拓展

下面運(yùn)用平面幾何知識(shí)，拓展過拋物線x2=2py(p＞0)焦點(diǎn)的阿基米德三角形(如圖1)的相關(guān)結(jié)論.

結(jié)論1AD⊥BD，A1F⊥B1F，DF⊥AB;

結(jié)論2AD//B1F，A1F//BD;

結(jié)論3S△ABD≥p2.

證明圖3為過切點(diǎn)作垂直于準(zhǔn)線的阿基米德三角形，其本質(zhì)為“上底加下底等于斜腰的直角梯形”．

(1)由拋物線的定義和試題(II)的求解，容易得到結(jié)論1，在Rt△ABD中由射影定理得：DF2=AF·FB.

圖3

(2)因?yàn)椤鰽A1D△ADF，所以AD平分∠A1AF，又AA1=AF，所以AD⊥A1F.因?yàn)锽1F⊥A1F，所以AD//B1F.同理BD//A1F.

(3)因?yàn)棣A1D△ADF，△BDF△BDB1，則又其中θ為直線AB的傾斜角，所以

利用上面拓展到的結(jié)論容易對試題1進(jìn)行變式.

變式1F為拋物線y2=2px(p＞0)的焦點(diǎn)，過點(diǎn)F的直線l與該拋物線交于A,B兩點(diǎn)，l1,l2分別是該拋物線在A,B兩點(diǎn)處的切線，l1,l2相交于點(diǎn)C．設(shè)|AF|=a，|BF|=b，則|CF|=____.(2010年“華約”自主招生第4題)

變式2已知拋物線C:y2=2x的焦點(diǎn)為F，平行于x軸的兩條直線l1,l2分別交C于A,B兩點(diǎn)，交C的準(zhǔn)線于P,Q兩點(diǎn)．若F在線段AB上，R是PQ的中點(diǎn)，證明AR//FQ.(2016年高考全國III卷理科第20題第一問)

變式3已知拋物線F為拋物線的焦點(diǎn)，過點(diǎn)F的直線l與該拋物線交于A,B兩點(diǎn)，l1,l2分別是該拋物線在A,B兩點(diǎn)處的切線，l1,l2相交于點(diǎn)D，求三角形ABD面積的最小值.

四．試題的推廣

為了方便起見，我們?nèi)砸話佄锞€x2=2py(p＞0)為例，并約定弦AB為阿基米德三角形的底邊，A(x1,y1)，B(x2,y2)，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)，M為底邊的中點(diǎn)，D為兩切線的交點(diǎn).

性質(zhì)1點(diǎn)D的坐標(biāo)為

性質(zhì)2直線AB的方程為(x1+x2)x-2py-x1x2=0;

證明(1)如圖4，因?yàn)樗赃^點(diǎn)A的切線方程為

過點(diǎn)B的切線方程為

(2)直線AB的斜率為

若D(x0,y0)，則直線AB方程x0x-p(y+y0)=0.當(dāng)D在拋物線準(zhǔn)線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，可得直線AB過定點(diǎn)此為試題1(I)的結(jié)果.

性質(zhì)3三角形ABD中，∠DFA=∠DFB;

性質(zhì)4

性質(zhì)5若阿基米德三角形底邊AB過拋物線內(nèi)定點(diǎn)C，則另一頂點(diǎn)D的軌跡為一條直線.

注：性質(zhì)3，4，5的證明讀者可參閱文獻(xiàn)[2-3].

上述結(jié)論反應(yīng)了阿基米德三角形的相關(guān)性質(zhì)，而它的有關(guān)性質(zhì)已成為高考數(shù)學(xué)命題的一個(gè)藏寶庫.在歷年的高考試題中都能找到它的身影，例如2005年高考江西卷理科第22題，2007年高考江蘇卷理科第17題，2008年高考山東卷理科第22題，2011年高考安徽卷理科第21題等.

五．對今后教學(xué)的啟示

在解析幾何的教學(xué)中，利用平面幾何知識(shí)解決解析幾何問題，不但可以避開繁瑣的代數(shù)運(yùn)算，簡化解題過程，而且解法簡潔優(yōu)美，更好地體現(xiàn)了圓錐曲線的幾何性質(zhì).

圖4

因此對于解析幾何問題，不應(yīng)一味地運(yùn)用解析法，而應(yīng)該將解析法和平面幾何方法相結(jié)合，從而得到解決問題的最優(yōu)解法，同時(shí)可以更好地提高解題能力.

高考試題具有深刻的知識(shí)背景，我們要加強(qiáng)對高考試題的探究，對其一般性進(jìn)行推廣，這對于拓展解題思路和尋求更多的解題方法是大有裨益，所以應(yīng)該提倡對高考試題的研究.同時(shí)筆者認(rèn)為，抓標(biāo)務(wù)本才是真!標(biāo)即課程標(biāo)準(zhǔn)和考試說明，本就是課本.教師要認(rèn)真鉆研教材，充分發(fā)揮教材課本試題的示范性、典型性及探究性功能.高三的復(fù)習(xí)中，教師在試題評講時(shí)，不應(yīng)該盲目追求試題繁而多，而應(yīng)該追求試題精而細(xì)，講清楚試題的內(nèi)涵與外延，通過一題多解、一題多變，讓學(xué)生掌握問題的本質(zhì)，總結(jié)做題的思想方法，從而提高復(fù)習(xí)的效率，最終達(dá)到事半功倍的效果.