含參函數(shù)中參數(shù)分類標(biāo)準(zhǔn)的選擇與確定

福建省德化第一中學(xué)(362500) 吳志鵬

在解決含參函數(shù)問題時，經(jīng)常要對參數(shù)進(jìn)行分類轉(zhuǎn)化，怎樣分類，以什么標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類，這是化解含參函數(shù)問題的難點(diǎn)也是關(guān)鍵點(diǎn)，只有突破這個關(guān)鍵點(diǎn)才能有效地解決相關(guān)的問題.下面我就一部分含參函數(shù)的分類標(biāo)準(zhǔn)的選擇作如下歸納.

一、利用函數(shù)圖象位置的特殊性，確定分類標(biāo)準(zhǔn)

函數(shù)的解析式或函數(shù)圖象會因?yàn)閰?shù)的改變而發(fā)生變化，因此我們在確定參數(shù)的分類標(biāo)準(zhǔn)時，常常要去尋找使得函數(shù)產(chǎn)生變化的那些特殊點(diǎn)、特殊值或者是一些特殊的位置，因?yàn)樗鼈兪呛瘮?shù)解析式或函數(shù)圖象產(chǎn)生變化的臨界點(diǎn)或臨界值.

1.參照特殊值，確定分類標(biāo)準(zhǔn)

例1設(shè)函數(shù)f(x)=|x-1|+|x-a|，對于?x∈?，f(x)≥2，求a的取值范圍？

分類思路函數(shù)的解析式中含有|x-1|和|x-a|兩個絕對值，當(dāng)a=1，兩個式子相同，此時為函數(shù)的一種特殊情況即f(x)=2|x-1|，所以a=1是使函數(shù)解析式、圖象產(chǎn)生變化的一個臨界值，據(jù)此我們可確定函數(shù)的分類標(biāo)準(zhǔn)即按a＜1，a＞1，a=1三種情況來進(jìn)行分類．

解析當(dāng)a=1時，f(x)=2|x-1|不滿足題設(shè)條件，舍去;當(dāng)a＜1時，f(x)=|x-1|+|x-a|根據(jù)去絕對值符號的法則可得：

由函數(shù)的圖象可知：f(x)min=1-a，要使f(x)≥2對于?x∈?都成立，只需1-a≥2，即a≤-1，又因?yàn)閍＜1，所以a≤-1;當(dāng)a＞1時，f(x)=|x-1|+|x-a|，去絕對值符號可得：

由函數(shù)的圖象可知：f(x)min=a-1，要使f(x)≥2對于?x∈?都成立，只需a-1≥2，即a≥3，又因?yàn)閍＞1，所以a≥3.所以對于?x∈?，f(x)≥2，a的取值范圍是a≤-1或a≥3．

變式討論函數(shù)2a)x+1的單調(diào)性．

分類思路由于

f′(x)=x2-(3a+1)x-(2a2+2a)=(x-2a)[x-(a+1)],此時導(dǎo)函數(shù)有兩個零點(diǎn)2a和a+1且不能確定大小關(guān)系，令2a=a+1即a=1，找到了區(qū)分零點(diǎn)大小的依據(jù)，a=1即為參數(shù)分類標(biāo)準(zhǔn)的一個臨界值，由此而確定出函數(shù)中參數(shù)要按：a＞1，a=1，a＜1三種情況進(jìn)行分類．

結(jié)論：當(dāng)a＞1時，f(x)在(-∞,a+1)，(2a,+∞)單調(diào)遞增，在(a+1,2a)單調(diào)遞減；當(dāng)a=1時，f(x)在?上單調(diào)遞增；當(dāng)a＜1時，f(x)在(-∞,2a)，(a+1,+∞)單調(diào)遞增，在(2a,a+1)單調(diào)遞減．

2.根據(jù)特殊點(diǎn)，確定分類標(biāo)準(zhǔn)

例2已知f1(x)=1-ax，f2(x)=(1-x)a-1，以max{m,n}表示兩數(shù)m,n中較大者，設(shè)f(x)=max{f1(x),f2(x)}，試求f(x)的解析式?

分類思路兩個函數(shù)均為一次函數(shù)，其圖象是兩條平行直線或重合直線，此時兩直線在y軸上的截距對應(yīng)的點(diǎn)成了區(qū)分函數(shù)值大小的一個臨界點(diǎn)，自然成了確定參數(shù)分類的標(biāo)準(zhǔn).由f1(x)=f2(x)得a=2，函數(shù)值的大小比較可按a＜2，a=2，a＞2三種情況進(jìn)行討論：

解析因?yàn)閒1(x)-f2(x)=2-a，則按a＜2，a=2，a＞2分類得：f(x)==

3.按特殊位置，確定分類標(biāo)準(zhǔn)

例3(2017年高考課標(biāo)I卷理科第21題)已知函數(shù)f(x)=ae2x+(a-2)ex-x.

(1)討論f(x)的單調(diào)性；

(2)若f(x)有兩個零點(diǎn)，求a的取值范圍．

解析(1)f(x)的定義域?yàn)?-∞,+∞)，f′(x)=2ae2x+(a-2)ex-1=(aex-1)(2ex+1).若a≤0，則f′(x)＜0，所以f(x)在(-∞,+∞)單調(diào)遞減；若a＞0，則由f′(x)=0得x=-lna，所以當(dāng)x∈(-∞,-lna)時，f′(x)＜0；當(dāng)x∈(-lna,+∞)，f′(x)＞0，所以f(x)在(-∞,-lna)單調(diào)遞減，在(-lna,+∞)單調(diào)遞增；

(2)根據(jù)第(1)題，若a≤0，f(x)至多有一個零點(diǎn)，若a＞0，當(dāng)x=-lna時，f(x)取得最小值，求出最小值

分類思路此時函數(shù)的最小值所對應(yīng)點(diǎn)的位置決定了函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)的個數(shù)，當(dāng)即a=1，此時函數(shù)圖象的最低點(diǎn)落在x軸上，由此可確定分類的標(biāo)準(zhǔn)為函數(shù)圖象的最低點(diǎn)分別落在x軸上、x軸上方和x軸下方，并由此獲得參數(shù)a的分類標(biāo)準(zhǔn)，即按a=1，a＞1和0＜a＜1三種情況進(jìn)行討論．

解析(1)當(dāng)a=1，由于f(-lna)=0，故f(x)只有一個零點(diǎn)；

4.據(jù)根判別式，確定分類標(biāo)準(zhǔn)

一元二次方程根的判別式是研究一元二次方程是否存在實(shí)根的重要依據(jù)，也是二次函數(shù)圖象與x軸位置關(guān)系的判斷依據(jù)，同樣根的判別式對求解一元二次不等式也有著不可或缺的作用．所以對于函數(shù)中出現(xiàn)的含有參數(shù)的二次式，我們經(jīng)?？衫门袆e式的三種情況即Δ＜0，Δ=0，Δ＞0來確定參數(shù)的分類標(biāo)準(zhǔn)．

例4(2018年高考全國I卷理科第21題節(jié)選)已知函數(shù)討論f(x)的單調(diào)性．

分類思路函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0,+∞)，f′(x)=由于x＞0，導(dǎo)函數(shù)的符號與g(x)=-x2+ax-1的符號相關(guān)，則可按g(x)≤0和g(x)＞0兩種情況進(jìn)行分類討論，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為利用二次函數(shù)根判別式，即Δ≤0和Δ＞0來確定參數(shù)的分類標(biāo)準(zhǔn)．

解析f(x)的定義域?yàn)樵O(shè)g(x)=-x2+ax-1，

(i)當(dāng)Δ≤0時，即a≤2，此時g(x)=-x2+ax-1≤0，所以有f′(x)≤0，當(dāng)且僅當(dāng)a=2，x=1時f′(x)=0，所以f(x)在(0,+∞)單調(diào)遞減.

(ii)當(dāng)Δ＞0時，即a＞2，令f′(x)=0得，或當(dāng)x∈時，f′(x)＜0；當(dāng)時，f′(x)＞0，所以f(x)在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增．

二、依函數(shù)解析式參數(shù)符號意義，確定分類標(biāo)準(zhǔn)

參數(shù)的符號經(jīng)常會對函數(shù)值的符號的產(chǎn)生直接的影響，如aex，當(dāng)a＞0時，aex＞0；當(dāng)a＜0時，aex＜0；當(dāng)a=0時，aex=0，同樣的參數(shù)的符號對函數(shù)的圖象也會產(chǎn)生影響，如一次函數(shù)y=kx+b，k＞0時，函數(shù)單調(diào)遞增，k＜0時，函數(shù)單調(diào)遞減；又如二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a0)，當(dāng)a＞0時二次函數(shù)的圖象開口向上，a＜0二次函數(shù)的圖象開口向下，由于參數(shù)符號對函數(shù)圖象變化的影響，所以有時我們也可利用參數(shù)的符號來確定分類的標(biāo)準(zhǔn)．

例5(2017年高考課標(biāo)I卷文科第21題節(jié)選)已知函數(shù)f(x)=ex(ex-a)-a2x，討論f(x)的單調(diào)性；

分類思路由于函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?-∞,+∞)，f′(x)=2e2x-aex-a2=(2ex+a)(ex-a)，此時兩個因式的符號是不確定的，由于ex＞0，所以參數(shù)a的符號決定了導(dǎo)函數(shù)的符號，從而影響了函數(shù)的單調(diào)性，由此確定了函數(shù)的分類標(biāo)準(zhǔn)，可按a=0，a＞0，a＜0三種情況分類，進(jìn)行討論.

解析①若a=0，則f′(x)=2e2x＞0恒成立，此時f(x)在(-∞,+∞)單調(diào)遞增．

②若a＞0，此時2ex+a＞0，則由f′(x)=0得x=lna．當(dāng)x∈(-∞,lna)時，f′(x)＜0；當(dāng)x∈(lna,+∞)時，f′(x)＞0，所以f(x)在(-∞,lna)單調(diào)遞減，在(lna,+∞)單調(diào)遞增．

③若a＜0，此時ex-a＞0，則由f′(x)=0得時，f′(x)＜0；當(dāng)x∈時，f′(x)＞0，故f(x)在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增．

例6(2017年高考課標(biāo)Ⅲ卷文科第21題節(jié)選)已知函數(shù)f(x)=lnx+ax2+(2a+1)x，討論f(x)的單調(diào)性；

分類思路函數(shù)導(dǎo)數(shù)由于函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x＞0}，則有此時導(dǎo)函數(shù)符號取決于參數(shù)a的符號，由此可確定函數(shù)的分類標(biāo)準(zhǔn)，即按a≥0，a＜0兩種情況進(jìn)行討論．

結(jié)論：當(dāng)a≥0時，f′(x)≥0，則f(x)在(0,+∞)單調(diào)遞增，當(dāng)a＜0時，則f(x)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減．

三、由最值點(diǎn)與區(qū)間的動定關(guān)系，確定分類標(biāo)準(zhǔn)

確定曲線在某個區(qū)間的最(極)值問題，我們可先確定曲線最(極)值點(diǎn)位置與區(qū)間位置兩者之中已確定的位置，即弄清問題中的動定關(guān)系，其中不含參數(shù)的最值點(diǎn)(區(qū)間端點(diǎn))其位置為已經(jīng)確定的，含參的區(qū)間端點(diǎn)(最值點(diǎn))的位置為可變的，此時可將可變的圖象(區(qū)間)沿x軸進(jìn)行平移，使之通過確定的區(qū)間(圖象)，再由通過時的關(guān)鍵位置來確定參數(shù)的分類標(biāo)準(zhǔn)．

例7求函數(shù)f(x)=-x2+2ax+1-a在0≤x≤1的最大值g(a)．

分類思路配方得f(x)=-(x-a)2+a2-a+1此時二次函數(shù)圖象的開口向下，對稱軸為直線x=a(a待定)，也是函數(shù)最值取得的位置，而區(qū)間[0,1]卻是確定的，這時我們可利用動直線和確定區(qū)間的位置關(guān)系來選擇對稱軸的放置位置，由此產(chǎn)生參數(shù)a的分類標(biāo)準(zhǔn)即參數(shù)a可按：a＜0，0≤a≤1，a＞1三種情況進(jìn)行分類．

解析(1)當(dāng)a＜0，f(x)在x∈[0,1]單調(diào)遞減，所以g(a)=f(x)max=f(0)=1-a;

(2)當(dāng)0≤a≤1，g(a)=f(x)max=f(a)=a2-a+1;

(3)當(dāng)a＞1，f(x)在x∈[0,1]單調(diào)遞增，所以g(a)=f(x)max=f(1)=a.

變式1函數(shù)f(x)=alnx(a＞0)，e為自然對數(shù)的底數(shù)．若f(x)在(1,e)上有恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

分類思路因?yàn)閤∈(1,e)，恒成立，即f(x)-x+1＞0恒成立.令h(x)=alnx-x+1(x＞0)，即h(x)min＞0，因?yàn)榱頷′(x)＞0，得0＜x＜a；h′(x)＜0，得x＞a，所有當(dāng)x=a，h(x)取得極大值，此時區(qū)間(1,e)確定，而極大值點(diǎn)x=a的位置待定.現(xiàn)只需分情況將極大值點(diǎn)x=a的位置置于區(qū)間(1,e)的位置左右兩側(cè)和區(qū)間內(nèi)部進(jìn)行討論.即參數(shù)的分類標(biāo)準(zhǔn)可確定為a＞e，1≤a≤e和a＜1三種．

1)當(dāng)a＞e時，h(x)在(1,e)上為增函數(shù)，h(x)＞h(1)=0;

2)當(dāng)1≤a≤e時，h(x)在(1,a)上為增函數(shù)，在(a,e)上為減函數(shù)，此時只須即a≥e-1．

3)當(dāng)a＜1時，h(x)在(1,e)上為減函數(shù)，h(x)≥h(e)=a+1-e＜0，不符合題意.

綜上所得：a≥e-1．

變式2當(dāng)t≤x≤t+1時，求f(x)=x2-2x-1的最小值?

分類思路變式2將例題中區(qū)間確定對稱軸待定的情況改變?yōu)閷ΨQ軸確定而區(qū)間待定，即二次函數(shù)f(x)=x2-2x-1圖象的對稱軸為直線x=1(最小值點(diǎn)所在的位置)而區(qū)間[t,t+1]由于t的未知而待定，此時只需利用對稱軸的特殊位置來置放區(qū)間，問題便可迎刃而解，并由此而取得參數(shù)的分類標(biāo)準(zhǔn)，可按t+1＜1，t≤1≤t+1，t＞1即t＜0，0≤t≤1，t＞1三種情況來類.(解法略)

對于上述二次函數(shù)的兩類問題我們也可遷移到含有極值點(diǎn)的函數(shù)問題，即極值點(diǎn)的位置不確定而區(qū)間確定的函數(shù)最值問題和極值點(diǎn)的位置確定而區(qū)間不確定的函數(shù)最值問題來解決．

總之，對于含有參數(shù)，需要進(jìn)行分類的函數(shù)，選擇分類的標(biāo)準(zhǔn)很重要，是一個難點(diǎn)問題，所以教師在授課時，應(yīng)注意講清這個標(biāo)準(zhǔn)是從哪里來，隱藏在題目的哪些信息中，要讓學(xué)生知其所以然，要讓學(xué)生在選擇參數(shù)的分類標(biāo)準(zhǔn)，做到有據(jù)可查，這樣學(xué)生在分類的過程中才不至于混亂，找不著頭緒.其實(shí)分類的標(biāo)準(zhǔn)遠(yuǎn)不止以上這幾類，它需要我們在實(shí)踐的過程中，學(xué)會觀察，善于發(fā)現(xiàn)，找到影響函數(shù)值的符號、圖象等出現(xiàn)變化的參數(shù)情況，從而找到參數(shù)的分類標(biāo)準(zhǔn)，更好地解決相關(guān)的函數(shù)問題．