一道2019年高考圓錐曲線(xiàn)試題的探究與發(fā)現(xiàn)

廣東省深圳實(shí)驗(yàn)學(xué)校高中部(518055) 喻秋生

1.問(wèn)題的提出

2019年高考(北京卷)文科第19題是一道關(guān)于直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題，該試題如下：

(I)求橢圓C的方程;

問(wèn)題已知橢圓點(diǎn)A為橢圓C的上頂點(diǎn)(或下頂點(diǎn))，O為原點(diǎn)，不經(jīng)過(guò)點(diǎn)A的動(dòng)直線(xiàn)l:y=kx+t與橢圓C交于兩個(gè)不同點(diǎn)P,Q，直線(xiàn)AP與x軸交于點(diǎn)M，直線(xiàn)AQ與x軸交于點(diǎn)N，若xM·xN=λ.試問(wèn)：直線(xiàn)l是否經(jīng)過(guò)定點(diǎn)?

2.問(wèn)題的探究

我們先研究點(diǎn)A為橢圓C的上頂點(diǎn)情況，即點(diǎn)A坐標(biāo)為A(0,b).

聯(lián)立

消去y并整理，得

設(shè)P(x1,y1)、Q(x2,y2)，則

將(?)式代入上式，化簡(jiǎn)得(t-b)[(λ-a2)t-b(λ+a2)]=0，因?yàn)橹本€(xiàn)l不經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，所以tb，則(λ-a2)t=b(λ+a2)，當(dāng)λ=a2時(shí)，上式不成立，當(dāng)λa2時(shí)，直線(xiàn)l方程為直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)定點(diǎn)

因此，我們得到結(jié)論：

結(jié)論1已知橢圓點(diǎn)A為橢圓C在y軸上的頂點(diǎn)，O為原點(diǎn)，不經(jīng)過(guò)點(diǎn)A的動(dòng)直線(xiàn)l:y=kx+t與橢圓C交于兩個(gè)不同點(diǎn)P,Q，直線(xiàn)AP與x軸交于點(diǎn)M，直線(xiàn)AQ與x軸交于點(diǎn)N，且xM·xN=λ(λa2).若點(diǎn)A為橢圓C的上頂點(diǎn)，則直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)定點(diǎn)若點(diǎn)A為橢圓C的下頂點(diǎn)，則直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)定點(diǎn)

當(dāng)點(diǎn)A為橢圓C在x軸上的頂點(diǎn)，也有類(lèi)似的結(jié)論：

結(jié)論2已知橢圓點(diǎn)A為橢圓C在x軸上的頂點(diǎn)，O為原點(diǎn)，不經(jīng)過(guò)點(diǎn)A的動(dòng)直線(xiàn)l:y=kx+t與橢圓C交于兩個(gè)不同點(diǎn)P,Q，直線(xiàn)AP與y軸交于點(diǎn)M，直線(xiàn)AQ與y軸交于點(diǎn)N，且yM·yN=λ(λa2).若點(diǎn)A為橢圓C的左頂點(diǎn)，則直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)定點(diǎn)若點(diǎn)A為橢圓C的右頂點(diǎn)，則直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)定點(diǎn)

3.問(wèn)題的推廣

如果曲線(xiàn)C為雙曲線(xiàn)，也有類(lèi)似的結(jié)論：

結(jié)論3已知雙曲線(xiàn)點(diǎn)A為雙曲線(xiàn)C的頂點(diǎn)，O為原點(diǎn)，不經(jīng)過(guò)點(diǎn)A的動(dòng)直線(xiàn)l:y=kx+t與雙曲線(xiàn)C交于兩個(gè)不同點(diǎn)P,Q，直線(xiàn)AP與y軸交于點(diǎn)M，直線(xiàn)AQ與y軸交于點(diǎn)N，且yM·yN=λ(λ-b2).若點(diǎn)A為雙曲線(xiàn)C的左頂點(diǎn)，則直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)定點(diǎn)若點(diǎn)A為雙曲線(xiàn)C的右頂點(diǎn)，則直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)定點(diǎn)

證明當(dāng)點(diǎn)A為雙曲線(xiàn)C的左頂點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)A坐標(biāo)為A(-a,0).聯(lián)立

消去y并整理，得

設(shè)P(x1,y1)、Q(x2,y2)，則

將y1=kx1+t，y2=kx2+t代入，化簡(jiǎn)得

將①式代入上式，化簡(jiǎn)得λ(ak-t)2=b2(a2k2-t2)，因?yàn)橹本€(xiàn)l不經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，所以ak-t0，則

4.問(wèn)題的進(jìn)一步推廣

在前面的研究中，我們給定的點(diǎn)A是橢圓(或雙曲線(xiàn))的頂點(diǎn)，如果點(diǎn)A在坐標(biāo)軸上，但點(diǎn)A不是圓錐曲線(xiàn)的頂點(diǎn)，直線(xiàn)l是否經(jīng)過(guò)定點(diǎn)?

對(duì)于拋物線(xiàn)，有下面結(jié)論：

結(jié)論4已知拋物線(xiàn)C:y2=2px(p＞0)，點(diǎn)A(m,0)(m＞0)，O為原點(diǎn)，動(dòng)直線(xiàn)l:y=kx+t與拋物線(xiàn)C交于兩個(gè)不同點(diǎn)P,Q，直線(xiàn)AP與y軸交于點(diǎn)M，直線(xiàn)AQ與y軸交于點(diǎn)N，且yM·yN=λ(λ0).當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)定點(diǎn)或定點(diǎn)

證明聯(lián)立消去y并整理，得k2x2+(2kt-2p)x+t2=0，設(shè)P(x1,y1)、Q(x2,y2)，則

要使直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，k、t之間必須是一次函數(shù)關(guān)系，即③式左邊必須是一個(gè)完全平方式，則有4λm2·λ=0，解得事實(shí)上，當(dāng)時(shí)，③式整理，得(t-mk)2=2pm，即當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)l方程為直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)定點(diǎn)當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)l方程為直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)定點(diǎn)

類(lèi)似地，對(duì)于曲線(xiàn)C為橢圓、雙曲線(xiàn)時(shí)，同理可以得出下列結(jié)論(證明過(guò)程略)：

結(jié)論5已知橢圓點(diǎn)A(0,m)(m±b)，O為原點(diǎn)，動(dòng)直線(xiàn)l:y=kx+t與橢圓C交于兩個(gè)不同點(diǎn)P,Q，直線(xiàn)AP與x軸交于點(diǎn)M，直線(xiàn)AQ與x軸交于點(diǎn)N，且xM·xN=λ(λ0).當(dāng)且僅當(dāng)|m|＜b且時(shí)，直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)定點(diǎn)或定點(diǎn)

結(jié)論6已知橢圓點(diǎn)A(m,0)(m±a)，O為原點(diǎn)，動(dòng)直線(xiàn)l:y=kx+t與橢圓C交于兩個(gè)不同點(diǎn)P,Q，直線(xiàn)AP與y軸交于點(diǎn)M，直線(xiàn)AQ與y軸交于點(diǎn)N，且yM·yN=λ(λ0).當(dāng)且僅當(dāng)|m|＜a且時(shí)，直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)定點(diǎn)或定點(diǎn)

結(jié)論7已知雙曲線(xiàn)點(diǎn)A(m,0)(m±a)，O為原點(diǎn)，動(dòng)直線(xiàn)l:y=kx+t與雙曲線(xiàn)C交于兩個(gè)不同點(diǎn)P,Q，直線(xiàn)AP與y軸交于點(diǎn)M，直線(xiàn)AQ與y軸交于點(diǎn)N，且yM·yN=λ(λ0).當(dāng)且僅當(dāng)|m|＞a且時(shí)，直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)定點(diǎn)或定點(diǎn)