研究教材，提升素養(yǎng)，呈現(xiàn)精彩課堂

陳土樹

摘 要：教材是傳授新知識、培養(yǎng)思維能力、提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要載體。日常教學(xué)中，我們要重視教材的研究，深刻理解和準(zhǔn)確把握教材內(nèi)容的內(nèi)涵與深度，通過漸進(jìn)式、螺旋式上升的“問題串”及“例題加工與變式”教學(xué)，及時小結(jié)，優(yōu)化建構(gòu)學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，從而培養(yǎng)學(xué)生思維能力，最終提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

關(guān)鍵詞：向量法;問題串;變式教學(xué)

在平時教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，有些教師對《平面幾何中的向量方法》這節(jié)課不夠重視，只是“照本宣科”——直接就課本出現(xiàn)的兩道例題簡單的講授，接著做6幾道練習(xí)題，并告知學(xué)生向量法是解決平面幾何問題的另一種方法，對本節(jié)教材內(nèi)容的內(nèi)涵和深度缺乏深刻理解和準(zhǔn)確把握，呈現(xiàn)出隨意性。我將從“降低起點”、“例題加工”、“變式教學(xué)”、“階段小結(jié)”四方面對本節(jié)課教學(xué)設(shè)計進(jìn)行闡述。

一、降低“起點”，回歸“經(jīng)典”，初識“向量法”的不凡

新課伊始，我用課件展示出初中學(xué)過的經(jīng)典定理——勾股定理

在Rt△ABC中，∠C=90°，求證：

進(jìn)而通過問題串，引導(dǎo)學(xué)生思考：

問題1初中是證明勾股定理時采用的是什么方法？

點撥：初中采用的是幾何方法——利用圖形的構(gòu)造，進(jìn)而利用等面積法.據(jù)不完全統(tǒng)計幾何證法有400多種，著名的有趙爽弦圖證法，劉徽證法，畢達(dá)哥拉斯證法等。

問題2你能用向量把這個定理的條件和結(jié)論分別表示出來嗎？

點撥：條件是：，結(jié)論：

問題3請仔細(xì)觀察結(jié)論中的向量與條件中的向量之間的內(nèi)在聯(lián)系，借助向量運算證明定理.

點撥：由平面向量基本定理可知，2個不共線向量就能夠表示出平面上任意一個向量，從而可將“凌亂”的向量變得有條理，使思維指向更加明確。學(xué)生根據(jù)已知條件，將當(dāng)作基底，則。

問題4比較這個定理的幾何證法與向量證法，你有什么體會？

設(shè)計意圖通過這樣的課前引入，一方面自然而然融入古代數(shù)學(xué)文化，弘揚我國的傳統(tǒng)文化，提升文化自信;另一方面它是所學(xué)過中最熟悉，最經(jīng)典的定理之一，切合學(xué)生的實際認(rèn)知。采用“問題串”是漸進(jìn)式的，是由于學(xué)生一開始對向量工具較為陌生，需要通過低起點、漸進(jìn)式的問題引導(dǎo)學(xué)生的思維.勾股定理的向量證法與幾何證法對比鮮明，讓學(xué)生初步認(rèn)識到“向量法”的不平凡，為例題1的順利解決奠定基礎(chǔ)。

二、“經(jīng)典”引深，例題加工，再識“向量法”的魅力

有了勾股定理的結(jié)論，我追問以下四個問題：

問題5我們知道由兩個全等直角三角形可以拼成一個矩形，我們可以發(fā)現(xiàn)矩形對角線的長度與兩條鄰邊長度之間有什么等量關(guān)系嗎？

解析：矩形ABCD中，可知：

，，

則有：

問題6菱形對角線的長度與兩條鄰邊長度之間有這樣的等量關(guān)系嗎？

解析：菱形ABCD中，由AC⊥BD，可知：

即：

則有：

問題7課本例題1：你能發(fā)現(xiàn)平行四邊形對角線的長度與兩條鄰邊長度之間的關(guān)系嗎？

解析：有了前兩個問題的結(jié)論，我們有“底氣”猜想：在一般的平行四邊形ABCD中，有。

我們可以通過幾何畫板演示驗證：猜想是正確的。

問題8你能用向量法證明這個猜想嗎，不用向量法又該如何證明？

解析：由平面向量基本定理可知，將當(dāng)作基底，則。從而有如下解答：

證明：設(shè)

若不用向量法，可通過作輔助線或建立直角坐標(biāo)系借助勾股定理證明。以第一種為例：如下圖7：

設(shè)計意圖利用課前引入的勾股定理進(jìn)行“引深”設(shè)置漸進(jìn)式問題串，由特殊到一般的思想進(jìn)行探究，先探究矩形，再探究菱形，從而大膽“猜想”，并通過幾何畫板進(jìn)行演示，給學(xué)生以直觀的感知，有了足夠的“底氣”，接著引導(dǎo)學(xué)生如何通過嚴(yán)格的邏輯推理證明猜想的正確性。通過“問題串”的層次性遞進(jìn)，降低了原題的思考難度，使得學(xué)生完完全全用向量法求解平面幾何問題，初步掌握用向量法求解平面幾何問題的一般步驟，體會到向量作為一種數(shù)學(xué)工具的解決問題價值，感受到向量“因運算而力量無限”的魅力以及其中所蘊含的數(shù)學(xué)思想.

三、改編教材，變式教學(xué)，凸顯“向量法”的優(yōu)勢

在例1的加工處理后，學(xué)生對“向量法”已經(jīng)有了初步的掌握，我趁熱打鐵，逐一拋出以下四個問題。

問題9如圖8，□ABCD中，點E，F(xiàn)分別是AD，DC邊上的點，DE=AD，CF=CD，AF與BE交于點P，求的值.

問題10如圖9，在△ABC中，點D，E分別是AB，AC邊上的點，D是線段AB的中點，，CD與BE交于點F，試判斷DF與CF的數(shù)量關(guān)系.

問題11如圖10，已知△OAB中，∠AOB=90°，OA=3，OB=2，點M在OB上，且OM=1，點N在OA上，且ON=1，P為AM與BN的交點，求∠MPN的度數(shù).

問題12如圖11，G是△OAB的重心，過點G的直線與OA，OB分別交于點P和點Q，且，證明：.

設(shè)計意圖問題9為課本例2的改編，依然保留平行四邊形的背景，少了一條線段，同樣考查線段之間的關(guān)系，只少考查開放性（例1已經(jīng)有考查開放性，有重復(fù)之嫌），其余的考查點不變，更突顯“向量法”的優(yōu)勢（而教材例2中，絕大多數(shù)同學(xué)認(rèn)為利用傳統(tǒng)幾何中的相似三角形更為簡便、習(xí)慣），這樣起到降低難度，更激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的熱情，更有利于本節(jié)課教學(xué)意圖的實現(xiàn)。尤其問題1重點考查“平面向量基本定理”、“平面向量共線定理”及同一向量“算兩次”思想（與“等面積法”有異曲同工之妙），這三點需逐一突破和強(qiáng)化。問題9與問題10同屬于考查線段之間關(guān)系，是變式題，對問題背景改成三角形。問題11和問題12對教材例2的補充，補充用向量方法解決平面幾何中夾角問題，也補充平面幾何元素轉(zhuǎn)化為向量的另一個途徑：坐標(biāo)法（除基向量法外），補充了向量法解決平面幾何中“動中求定”的問題。

四、及時小結(jié)，知識建構(gòu)，提升“向量法”的意識

本節(jié)課堂教學(xué)中進(jìn)行三次“留白”——留出時間讓學(xué)生進(jìn)行對比，總結(jié)歸納方法及說說自己體會與感想。

小結(jié)1在例1中結(jié)論證明之后，空出時間引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)歸納用向量方法解決平面幾何問題的步驟。通過小組合作討論可以得出“三部曲”：幾何問題向量化——向量運算關(guān)系化——向量關(guān)系幾何化。通過此環(huán)節(jié)讓學(xué)生對“如何用向量方法解決平面幾何問題”有了系統(tǒng)的理解，更清晰。我再補充：向量既是幾何對象也是代數(shù)對象，因而成為數(shù)形結(jié)合的紐帶，成為溝通代數(shù)、幾何的得力工具。由于它有一套良好的運算性質(zhì)，可以使復(fù)雜問題簡單化和直觀化，使幾何問題代數(shù)化。

小結(jié)2問題9-12之后，及時小結(jié)。利用向量法解決平面幾何問題種，可以利用待定系數(shù)法，結(jié)合向量共線定理和平面向量基本定理，將問題轉(zhuǎn)化為求m、n的值，是處理線段長度關(guān)系的一種常用手段。幾何元素轉(zhuǎn)化為向量的途徑：基向量法和坐標(biāo)法。針對矩形，正方形，直角三角形等特殊平面圖形，建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，利用向量運算的坐標(biāo)形式，可使解題思路明確，過程簡潔。

小結(jié)3本節(jié)課結(jié)尾采用總結(jié)式及設(shè)疑式相結(jié)合。我引導(dǎo)學(xué)生回顧總結(jié)：本節(jié)課我們學(xué)習(xí)了平面幾何中的向量方法。我們解決此類問題的關(guān)鍵是合理設(shè)置向量，并建立向量關(guān)系，然后進(jìn)行合理的向量運算.最后勉勵同學(xué)們要有“向量意識”———從向量的“視角”看待平面幾何問題中的條件和結(jié)論、用向量的“工具”進(jìn)行“推理論證”，并設(shè)置問題：同學(xué)們通過這節(jié)課的學(xué)習(xí)，請你利用向量運算推導(dǎo)關(guān)于初中已經(jīng)學(xué)過的關(guān)于三角形、四邊形、圓等平面圖形的一些其他性質(zhì)嗎？

參考文獻(xiàn)

[1]楊興軍“平面幾何中的向量方法”教材分析與教學(xué)設(shè)計中學(xué)教研（數(shù)學(xué)）[J]CN33-1069/G42014年

[2]普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）人民教育出版社28-29