注重考題分析 突破解題瓶頸

王仙鋒 鐵志榮

摘要：《不等式選講》作為新課標(biāo)高考選考內(nèi)容之一，考題難度適中，近幾年的考題更注重對數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法的考查，通過歷屆高考試題的研究，分析題型、剖析方法、把握考點(diǎn)，提高學(xué)生分析解決此類問題的能力.

關(guān)鍵詞：不等式;絕對值;參數(shù);證明

作為新課標(biāo)高考選考內(nèi)容之一的《不等式選講》，是對以前所學(xué)不等式知識(shí)的加強(qiáng)、延伸和深化.通過不等式的證明、不等式的幾何意義、不等式的背景，從不等式的數(shù)學(xué)本質(zhì)上加以剖析，從而提高邏輯思維能力、分析問題和解決問題的能力主要包括不等式的知識(shí)（絕對值不等式的性質(zhì)）、證明不等式的方法（比較法，綜合法，分析法，反證法，放縮法和數(shù)學(xué)歸納法）、幾個(gè)重要的不等式（基本不等式，二維形式，向量形式和一般形式的柯西不等式，排序不等式）等內(nèi)容.重點(diǎn)考查絕對值不等式的解法、含絕對值號(hào)函數(shù)的作圖及函數(shù)圖象間的關(guān)系、解含參數(shù)的絕對值不等式問題以及利用重要不等式對—些簡單不等式的證明等;考查利用分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想解決問題的能力，考試難度適中，本文就《不等式選講》在新課標(biāo)高考中的考點(diǎn)和題目類型以例說明.

1含絕對值符號(hào)函數(shù)圖象的作法和絕對值不等式的解法

例1（2016年全國I卷）已知函數(shù)f（x）=|x+1|-|2x-3|.

（1）畫出y=f（x）的圖象;

（2）求不等式|f（x）|>1的解集.

解析（1）f（x）={{{

（2）當(dāng)x≤-1時(shí)，|x-41>1，解得x>5或x<3.所以x≤-1.

當(dāng)-11，解得x>1或x<1/3，所以-1

當(dāng)x≥-3時(shí)，14-x|>1，解得x>5或x<3.所以232≤x<3或x>5.

綜上，x<-或15.

所以！f（x）|>1的解集為（-∞，1/3）u（1，3）U（5，+∞）.

方法總結(jié)（1）含絕對值符號(hào)函數(shù)圖象的作法是利用絕對值的幾何意義，將函數(shù)寫成分段函數(shù)，再畫出在各自定義域的圖象;（2）通常絕對值不等式的解法有三種：法1：利用絕對值不等式的幾何意義求解，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想;法2：利用“零點(diǎn)分段法”求解，體現(xiàn)了分類討論的思想;法3：通過構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的圖象求解，體現(xiàn)了函數(shù)與方程的思想.一般方法是脫去絕對值符號(hào)轉(zhuǎn)化為不含絕對值的不等式求解.通常要求：掌握不等式|x|0）的解集是{x|-aa（a>0）的解集是{x|x<-a或x>a}，會(huì)求解以下類型的不等式：|ax+bl≤c，lax+bI≥c;掌握零點(diǎn)分段法解形如Ix-al+|x-bl≥c的絕對值不等式

例2（2018年全國I卷）設(shè)函數(shù)f（x）=|2x+11+|x-1I.

（1）畫出y=f（x）的圖象;

（2）當(dāng)x∈[0，+∞）f（x）≤ax+b，求a+b的最小值.

解析（1）f（x）={x+2，-二≤x<1，-3x，x<一，2l3x，x≥1.

y=f（x）的圖象如圖2所示.

（2）由（1）知，y=f（x）的圖象與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2，且各部分所在直線斜率的最大值為3，故當(dāng)且僅當(dāng)a≥3且b≥2時(shí)，f（x）≤ax+b在[0，+∞）成立，因此a+b的最小值為5.

方法總結(jié)恒成立問題的一一個(gè)巧解是數(shù)形結(jié)合，使得代數(shù)問題幾何化，既通俗易懂，又簡潔直觀.第（2）小題結(jié)合（1）小題中函數(shù)的圖象可得a，b范圍，進(jìn)而得到a+b的最小值.

2求參數(shù)的值或范圍

例3（2017年全國I卷）已知函數(shù)f（x）=-x2+ax+4，g（x）=|x+1|+|x-1|.

（1）當(dāng)a=1時(shí)，求不等式f（x）≥g（x）的解集;（2）若不等式f（x）≥g（x）的解集包含[-1，1]，求a的取值范圍.

解析（1）當(dāng)a=1時(shí)，不等式f（x）≥g（x）等價(jià)于x-x+|x+1I+1x-1|-4≤0.①

當(dāng)x<-1時(shí)，①式化為x2-3x-4≤0，無解;當(dāng)-1≤x≤1時(shí)，①式化為xx“-x-2≤0，從而-1≤x≤1;

當(dāng)x>1時(shí)，①式化為x2+x-4≤0，從而1

所以f（x）≥g（x）的解集為{xI-1

（2）當(dāng)x∈[-1，1]時(shí)，g（x）=2..

所以f（x）≥g（x）的解集包含[-1，1]，等價(jià)于當(dāng)x∈[-1，1]時(shí)f（x）≥2.

又f（x）在[-1，1]的最小值必為f（-1）與f（1）之一，所以f（-1）≥2且f（1）≥2，得-1≤a≤1.

所以a的取值范圍為[-1，1].

方法總結(jié)本題考查解含有絕對值的不等式、已知不等式的解集所包含的區(qū)域求參數(shù)問題等基礎(chǔ)知識(shí).（1）利用零點(diǎn)分段法，把含有絕對值不等式問題轉(zhuǎn)化為不含絕對值符號(hào)的不等式問題;（2）不等式f（x）≥g（x）的解集包含[-1，1]，等價(jià)于不等式f（x）≥g（x）在區(qū)間[-1，1]上恒成立，再利用函數(shù)思想轉(zhuǎn)化為關(guān)于a的不等式組，解不等式組，即可求出a的取值范圍，這是恒成立問題的常用解法.

例4（2018年全國I卷）已知函數(shù)f（x）=|x+1|-|ax-1I.

（1）當(dāng)a=1時(shí)，求不等式f（x）>1的解集;

（2）若x∈（0，1）時(shí)不等式f（x）>x成立，求a的取值范圍.

解析（1）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=|x+1I-|x-1I.

即f（x）={2x，-1

故不等式f（x）>1的解集為{x|x>;1/2}.

（2）當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，Ix+11-|ax-1I>x成立等價(jià)于當(dāng)x∈（0，1）時(shí)lax-1I<1成立.

若a<0，則當(dāng)x∈（0，1）時(shí)lax-1l≥1;

若a>0，lax-11<1的解集為0

綜k，a的取值范圍為（0，2].

方法總結(jié)（1）含有參數(shù)時(shí)，要針對參數(shù)的取值情況進(jìn)行討論;（2）涉及絕對值不等式的恒成立問題，常用方法是由絕對值的意義去掉絕對值符號(hào)：①把不等式恒成立運(yùn)用分離參數(shù)法轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值;②畫出函數(shù)的圖象，應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題;（3）對含參數(shù)的絕對值函數(shù)求最值時(shí)，常用的方法是圖象法和絕對值不等式性質(zhì)法（運(yùn)用|a+bl≤la|+|b|（a，b∈R）或la-bl≤la-c|+lc-bI（a，b∈R），但要注意取等號(hào)的條件）

5不等式的證明

例5（2016年全國I卷）已知函數(shù)f（x）=x+一，M為不等式f（x）<2的解集.

（1）求M;

（2）證明：當(dāng)a，b∈M時(shí)，|a+b|<|1+ab|.解析（1）f（x）<2的解集（-1，1）.

（2）由（1）知，當(dāng)a，b∈M時(shí)，-1

方法總結(jié)不等式證明的常用方法有比較法、綜合法分析法、反證法、放縮法和數(shù)學(xué)歸納法.本題是含絕對值符號(hào)的不等式，比較法是典型的證明方法.

例6（2015年全國I卷）設(shè)a，b，c，d均為正數(shù)，且a+b=c+d，證明：

（1）若ab>cd，則Va+b>NC+vd;

（2）√a+/6>NC+va是|a-6|<|c-d|的充要條件.

解析（1）因?yàn)椋╒a+vb）2=a+b+2√ab，（vc+√d）2=c+d+2√cd.

由題設(shè)a+b=c+d，ab>cd得（a+√6）°≥（vc+vd）2.

因此a+vb>（c+vd.

（2）（i）若|a-b|<|c-d|，則（a-b）2<（c-d）2.即（a+b）2-4ab<（c+d）2-4cd.

因?yàn)閍+b=c+d，所以ab>cd.

由（1）得√a+～b>Nc+√d.

（ii）若Va+vb>Nc+rd，則（√a+v6）2>（Nc+Nd）2.即a+b+2√/ab>c+d+2√cd.

因?yàn)閍+h=c+d，所以ab>cd.于是（a-b）2=（a+b）2-4ab<（c+d）2-4cd=（c-d）2.

因此|a-b|<|c-d|.

綜上，va+v6>NC+va是|a-b|<|e-d|的充要條件.

方法總結(jié)通常無理不等式或分式不等式的證明要用分析法，即從要證的結(jié)論出發(fā)，逐步尋求使它成立的充分條件，直至所需條件為已知條件或一個(gè)成立的事實(shí)（定義、公理定理、性質(zhì)或已證明的命題）從而得出要證的命題成立.這是一種“執(zhí)果索因”的思考和證明方法，它更符合人們的思維規(guī)律，思路自然，利于思考.

例7（2014年I卷）若a>0，b>0，且一;b=√ab.

（1）求a3+b3的最小值;

（2）是否存在a，b使得2a+3b=6？并說明理由.

2 解析由√ab=→+1b～√at≥得ab≥2，且當(dāng)a=b=v2時(shí)等號(hào)成立.

故a+b°≥2√aB≥4、2，且當(dāng)a=b=/2時(shí)等號(hào)成立.所以a3+b3的最小值為4、2.

（2）由（1）知，2a+3b≥2v6√ab≥4/3.

由于4、3>6，從而不存在a，b，使得2a+3b=6.

方法總結(jié)用基本不等式求出ab的最小值是本題解決的關(guān)鍵.

總之，新課程高考中不等式選講考查的是絕對值不等式的各種解法和簡單不等式的證明，解決的方法是緊扣絕對值的意義和不等式常用的證明方法。