有關(guān)拋物線弓形面積的結(jié)論及其應(yīng)用

鄭金

摘要：利用數(shù)學(xué)和物理知識(shí)推導(dǎo)有關(guān)拋物線任意弓形的內(nèi)接最大三角形的中線數(shù)學(xué)性質(zhì);利用拋物線的對(duì)稱(chēng)弓形面積的結(jié)論推導(dǎo)任意弓形面積的結(jié)論，以巧妙解答文中物理競(jìng)賽題.

關(guān)鍵詞：拋物線;弓形;面積

利用拋物線對(duì)稱(chēng)弓形面積的結(jié)論和拋物線任意弓形的內(nèi)接最大三角形的中線結(jié)論可以巧妙證明拋物線任意弓形面積的結(jié)論;反之，利用拋物線任意弓形面積的結(jié)論很容易得出對(duì)稱(chēng)弓形面積的結(jié)論，如圖1所示，拋物線的對(duì)稱(chēng)弓形AOB，外切矩形ABCD，在直角坐標(biāo)系中寫(xiě)出拋物線方程y=ax2，設(shè)B點(diǎn)坐標(biāo)為（xo，yo），可知曲邊直角三角形10CB的面積為S[=S*ax2dx=一ax3|o*0=3axn=-Yoxo，即等于象限矩形OCBE面積的三分之一，那么對(duì)稱(chēng)弓形面積等于外切矩形面積的三分之二.若作線段AO、BO，可知內(nèi)接最大三角形AOB的面積等于外切矩形面積的一半.

結(jié)論1拋物線上的對(duì)稱(chēng)弓形面積等于外切矩形面積的2/3，等于內(nèi)接最大三角形面積的4/3

如果拋物線弓形不是對(duì)稱(chēng)弓形，而是任意弓形，那么其面積是否等于外切矩形面積的三分之二呢？

首先利用物理知識(shí)證明拋物線的一個(gè)性質(zhì)：對(duì)于拋物線.上的任意弓形，內(nèi)接最大三角形的一條中線平行于對(duì)稱(chēng)軸.

對(duì)于質(zhì)點(diǎn)的豎直上拋運(yùn)動(dòng)，整個(gè)過(guò)程為勻減速直線運(yùn)動(dòng)，位移公式為y=Upt一gt2，其圖象如圖2所示.作傾斜的弦AB，其斜率的絕對(duì)值表示這段時(shí)間內(nèi)的平均速度大小;作切線平行于弦，切線斜率的絕對(duì)值表示瞬時(shí)速度的大小，而且等于這段時(shí)間內(nèi)的平均速度大小，因此切點(diǎn)的橫坐標(biāo)表示瞬時(shí)速度與這段時(shí)間內(nèi)的平均速度相等的時(shí)刻.根據(jù)勻變速直線運(yùn)動(dòng)在一段時(shí)間中點(diǎn)的瞬時(shí)速度等于這段時(shí)間內(nèi)的平均速度可知，切點(diǎn)的橫坐標(biāo)恰好是這段時(shí)間的中間時(shí)刻，那么過(guò)切點(diǎn)與弦的中點(diǎn)的直線恰好在梯形的中位線上，必然平行于拋物線的對(duì)稱(chēng)軸.

結(jié)論2對(duì)于拋物線上的任意弓形，若切線平行于弦，則過(guò)切點(diǎn)與弦的中點(diǎn)的直線平行于對(duì)稱(chēng)軸，或者說(shuō)，拋物線弓形的內(nèi)接最大三角形的一條中線平行于對(duì)稱(chēng)軸.

利用_上述結(jié)論和解析幾何知識(shí)可推導(dǎo)拋物線上的任意弓形面積與內(nèi)接最大三角形面積的數(shù)量關(guān)系，2

設(shè)拋物線方程為y=ax2（a>0），圖象如圖3所示，可知弦AB與橫軸圍成梯形的面積為：

S[=t（cax[+ax2）（x1-x2）2322=一axi-x2）+ia（x2x1-x122）22

拋物線與橫軸圍成的兩個(gè)曲邊三角形的面積為：

S2=2133**axi+lx1ax=a（-4）3

可知拋物線弓形的面積為：

S=S，-S，=一ax26l-x2）

線段AB即內(nèi)接三角形一條邊的中點(diǎn)坐標(biāo)為：

22、xC二一（x[+x2），Yc=Ta（x[+x2）22

由于拋物線的弓形內(nèi)接最大三角形的中線CD平行于對(duì)稱(chēng)軸，則對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)為：

y=（3x1x7++}x）p=r（（

三角形中線的長(zhǎng)度為.d=2）（x1-x2）232

由于中線垂直于x軸，則內(nèi)接最大三角形面積為：

S=2）（x1-x2）2322=一axi-x2）+i

所以弓形面積與最大三角形面積之比為

由于弓形的外切矩形面積等于內(nèi)接最大三角形面積的2倍，因此弓形面積等于外切矩形面積的2/3.

結(jié)論3拋物線上的任意弓形面積等于以弦為一條邊的外切矩形面積的2/3，等于以弦為底邊的內(nèi)接最

大三角形面積的4/3.

這個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)論簡(jiǎn)單易記，而且推導(dǎo)方法很巧妙，關(guān)鍵是利用物理知識(shí)推導(dǎo)數(shù)學(xué)結(jié)論2，從而由特殊結(jié)論得出—般結(jié)論，更有助于對(duì)特殊結(jié)論的深化理解和強(qiáng)化記憶至此，特殊結(jié)論與一般結(jié)論可合二為一，即拋物線弓形面積等于外切矩形面積的三分之二。下面利用拋物線弓形面積的結(jié)論來(lái)解答以下物理競(jìng)賽題.

例1如圖4所示，一個(gè)質(zhì)量為m、帶電荷量為+q的滑塊處于場(chǎng)強(qiáng)按E=E，-ht（E.、h均為大于零的常數(shù)，取水平向左為正方向）變化的電場(chǎng)中，滑塊與豎直絕緣墻壁間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，當(dāng)t=0時(shí)，滑塊處于靜止?fàn)顟B(tài).若滑塊所受的最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力，且電場(chǎng)空間和墻面均足夠大，不計(jì)滑塊與墻壁摩擦過(guò)程中損失的電量，試求：（1）滑塊何時(shí)開(kāi)始下滑？何時(shí)開(kāi)始離開(kāi)墻壁？（2）滑塊運(yùn)動(dòng)的最大速度是多少？（3）滑塊沿墻壁運(yùn)動(dòng)的最大位移是多少？

解析（1）當(dāng)t=0時(shí)，滑塊處于靜止?fàn)顟B(tài)，在開(kāi)始一段時(shí)間內(nèi)滑塊與墻壁之間的彈力較大，不會(huì)下滑;當(dāng)場(chǎng)強(qiáng)減小到某一值時(shí)，在tn時(shí)刻開(kāi)始下滑;當(dāng)場(chǎng)強(qiáng)繼續(xù)減小到零時(shí)，在tr時(shí)刻滑塊將離開(kāi)墻壁.

ty時(shí)刻滑塊受到墻壁的彈力為Fv=F。=qE=q（E，-ht）

當(dāng)摩擦力跟重力平衡時(shí)，滑塊開(kāi)始下滑，利用mg.=uFv可得么_MLEn-m，，此時(shí)滑塊的速度為零.

（2）由于滑塊加速下滑，則在時(shí)刻t2的速度最大.設(shè)某時(shí)刻t，物塊的加速度為a，此時(shí)彈力為N=qE=q（E，-kht），由牛頓第二定律有mg-μN(yùn)=ma，可知瞬時(shí)加速度為a_thqt+mg-μqE

加速運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為Ot=t-t，初速度為零，由勻加速運(yùn)動(dòng)的速度公式可得在時(shí)刻t的瞬時(shí)速度為：

（3）速度與時(shí)間的關(guān)系式為v=At2+Bt+C，這是關(guān)于時(shí)刻t的一元二次函數(shù)，可知速度圖象為開(kāi)口向上的拋物線.由于物塊在加速運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的速度大于零，而且初速度和開(kāi)始時(shí)的加速度都為零，因此拋物線的頂點(diǎn)必與橫軸相切，或者根據(jù)判別式△=B2-4AC=0來(lái)判斷拋物線的頂點(diǎn)與橫軸相切，則對(duì)稱(chēng)軸的坐標(biāo)為t=t，或t=25_-B2A_μqE，-mgμkq=ti.速度圖象如圖5所示.

在時(shí)刻t，到tr這段時(shí)間內(nèi)，滑塊的位移在數(shù)值上等于圖象與橫軸圍成圖形的面積，即為曲邊三角形Pt2z的面積，其底邊長(zhǎng)為Ot=tz-tp=mgμkq，可知圖形的面積即滑塊的位移為：