淺談積分中值定理在命題中的應(yīng)用

張鐸 廖敏

摘要：中值定理是《高等數(shù)學(xué)》中的基礎(chǔ)內(nèi)容，有著重要的應(yīng)用價(jià)值。本文借助于微分中值定理中構(gòu)造輔助函數(shù)的方法證明積分中值定理，并將該方法推廣到有關(guān)積分證明的命題中，使得初學(xué)者更好地理解和掌握此類命題的證明方法，同時(shí)揭示出微分中值定理與積分中值定理之間的關(guān)系。

關(guān)鍵詞：高等數(shù)學(xué);積分中值定理;輔助函數(shù)

中圖分類號(hào)：G642.41? ? ?文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A? ? ?文章編號(hào)：1674-9324（2019）11-0213-02

中值定理作為《高等數(shù)學(xué)》的基礎(chǔ)內(nèi)容備受關(guān)注。國(guó)內(nèi)外眾多研究者對(duì)微分中值定理做了深入的研究。而對(duì)積分中值定理的研究稍顯薄弱，本文借助微分中值定理的證明思路，證明積分中值定理，并將證明的思路加以推廣、擴(kuò)展。最后，通過多角度考察命題的證明過程，揭示此類命題證明的共性。

一、預(yù)備定理

定理一：在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)在該區(qū)間上有界且一定能取得它的最大值和最小值。

定理二：設(shè)函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，且在這個(gè)區(qū)間的端點(diǎn)取不同的函數(shù)值f（a）=A及f（b）=B，那么，對(duì)于A與B之間的任意一個(gè)數(shù)C，在開區(qū)間（a，b）內(nèi)至少有一點(diǎn)ξ，使得f（ξ）=C（a<ξ

五、小結(jié)

本文就積分中值定理的證明方法進(jìn)行了探討和歸納，總結(jié)出在積分證明過程中構(gòu)造函數(shù)的幾種方法。即，根據(jù)命題條件，利用湊微分的思想構(gòu)造滿足條件的函數(shù)（方法一）;借助微分中值定理構(gòu)造輔助函數(shù)（方法二）;借鑒中值定理的證明思路，利用連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)構(gòu)造原函數(shù)（方法三、四）;同時(shí)還利用特殊函數(shù)的性態(tài)構(gòu)造輔助函數(shù)（方法五）。通過研究發(fā)現(xiàn)命題證明的關(guān)鍵在于構(gòu)造輔助函數(shù)，而構(gòu)造函數(shù)的基本思想來源于微分中值定理和積分中值的證明過程，所以我們應(yīng)充分理解和掌握定理證明的思路。

參考文獻(xiàn)：

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