小學(xué)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)的“數(shù)學(xué)化”探尋

【摘 要】核心素養(yǎng)視域下的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)著力于培養(yǎng)學(xué)生的理性思維品質(zhì)、批判質(zhì)疑意識(shí)和勇于嘗試的探究精神?！皵?shù)學(xué)化”地看待數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，即用數(shù)學(xué)的眼光觀察實(shí)驗(yàn)，用數(shù)學(xué)的思維分析實(shí)驗(yàn)，用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)實(shí)驗(yàn)，如此，才能實(shí)現(xiàn)由實(shí)驗(yàn)操作向高階思維的發(fā)展，進(jìn)而提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)；思維；數(shù)學(xué)化；數(shù)學(xué)素養(yǎng)；核心素養(yǎng)

【中圖分類號(hào)】G623.5 【文獻(xiàn)標(biāo)志碼】A 【文章編號(hào)】1005-6009（2019）09-0011-04

【作者簡(jiǎn)介】施惠芳，江蘇省蘇州市吳門教育集團(tuán)滄浪新城第二實(shí)驗(yàn)小學(xué)校（江蘇蘇州，215007）副校長(zhǎng)，高級(jí)教師。

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)中不是一種主流方法，但從教育學(xué)的角度看，把數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)作為教學(xué)方法引入數(shù)學(xué)課堂具有重要的實(shí)踐意義與價(jià)值。數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)著力于學(xué)生科學(xué)精神的培養(yǎng)，具體表現(xiàn)為邏輯清晰、求證嚴(yán)謹(jǐn)?shù)睦硇运季S品質(zhì)，思緒縝密、敏銳辯證的批判質(zhì)疑意識(shí)，敢于想象、勇于嘗試的探究精神。

一、小學(xué)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)“數(shù)學(xué)化”內(nèi)涵釋義與實(shí)踐價(jià)值

（一）內(nèi)涵釋義

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)的“數(shù)學(xué)化”，是指學(xué)生借助工具和實(shí)物，通過(guò)對(duì)實(shí)驗(yàn)材料進(jìn)行“數(shù)學(xué)化”的操作來(lái)構(gòu)建數(shù)學(xué)概念、探索數(shù)學(xué)規(guī)律和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的一種數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式，它包括觀察、想象、概括、推理等數(shù)學(xué)思維活動(dòng)，更有“數(shù)學(xué)化”的厘清與建構(gòu)。

（二）實(shí)踐價(jià)值

1.由散點(diǎn)向體系的縱深集結(jié)。

對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解不應(yīng)滿足于點(diǎn)的認(rèn)知，而應(yīng)著眼于連點(diǎn)成串、結(jié)串成網(wǎng)、立網(wǎng)成體的結(jié)構(gòu)化體系建構(gòu)。知識(shí)理解光靠想象難以實(shí)現(xiàn)，需要借助直觀分析與探究。數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)便是連接數(shù)學(xué)直觀與抽象的橋梁，學(xué)生通過(guò)實(shí)驗(yàn)對(duì)數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)規(guī)律形成具象認(rèn)識(shí)，同時(shí)對(duì)這些認(rèn)識(shí)進(jìn)行深層加工、多變處理，基于知識(shí)的本質(zhì)與聯(lián)系尋找融通之處，將散點(diǎn)式的知識(shí)集結(jié)成知識(shí)鏈，進(jìn)而結(jié)鏈成網(wǎng)，構(gòu)建完整的知識(shí)體系。

2.直覺與理性的和諧相融。

具體形象思維是小學(xué)生主要的思維方式，他們的認(rèn)知活動(dòng)離不開形象的支撐，尤其是推理認(rèn)知具有典型的直覺性。數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)通過(guò)調(diào)動(dòng)學(xué)生的肢體觸覺、空間知覺、歸納類比等直覺思維，使他們右半腦的功能得到有效發(fā)揮，從而使其右半腦的直覺與左半腦的理性有效整合、和諧共融，激活全腦思維。

3.合情和演繹的并蒂共生。

學(xué)生在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)過(guò)程中經(jīng)歷觀察、猜想、操作、歸納、類比等活動(dòng)，最終得出數(shù)學(xué)規(guī)律或結(jié)論，這有助于他們發(fā)展合情推理能力。同時(shí)，如果學(xué)生能清晰地、有條理地闡述實(shí)驗(yàn)過(guò)程，以達(dá)到證明與類推的目的，也能在一定程度上發(fā)展演繹推理能力。

二、小學(xué)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)“數(shù)學(xué)化”缺失的現(xiàn)狀剖析

（一）缺乏問(wèn)題引領(lǐng)的實(shí)驗(yàn)盲目

在實(shí)際教學(xué)中，教師經(jīng)常會(huì)讓學(xué)生進(jìn)行動(dòng)手操作活動(dòng)。但要警惕，不要讓體驗(yàn)淪為機(jī)械的操作，而忽視操作的目的與原因。例如：教學(xué)“可能性”這一內(nèi)容時(shí)，為了得到表示可能性的“可能”“不可能”“一定”等數(shù)學(xué)概念，教師會(huì)讓學(xué)生進(jìn)行摸球?qū)嶒?yàn)。學(xué)生興趣盎然地摸球，時(shí)而為摸到紅球而歡呼，時(shí)而為摸到綠球而嘆息，完全不知為何要摸球，摸球是為了解決什么問(wèn)題。像這樣缺乏問(wèn)題引領(lǐng)的為實(shí)驗(yàn)而實(shí)驗(yàn)的現(xiàn)象，既會(huì)讓數(shù)學(xué)課堂高耗低效，也會(huì)使學(xué)生缺乏活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累和理性思考的過(guò)程。

（二）過(guò)度追求結(jié)果的實(shí)驗(yàn)虛化。

在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)中，有些教師為了追求結(jié)果的一致、到位或?qū)嶒?yàn)結(jié)論的一目了然，而以教師演示、媒體觀影等“看實(shí)驗(yàn)”的方式代替學(xué)生“做實(shí)驗(yàn)”的過(guò)程。例如：學(xué)習(xí)“升和毫升”，為了讓學(xué)生感受1毫升的大小，需要用滴管吸入1毫升水，再將水輕輕滴出，數(shù)一數(shù)1毫升水大約有幾滴。有些教師因?yàn)閷?duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果有顧慮，怕實(shí)驗(yàn)誤差導(dǎo)致實(shí)驗(yàn)結(jié)果不一致，就用多媒體演示滴管滴水的過(guò)程，這種缺少動(dòng)手體驗(yàn)的虛擬實(shí)驗(yàn)忽略了實(shí)驗(yàn)過(guò)程的數(shù)學(xué)價(jià)值。

（三）理性分析缺失的實(shí)驗(yàn)回顧。

在現(xiàn)實(shí)教學(xué)中，由于教師教學(xué)觀念陳舊、對(duì)教材解讀膚淺以及對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果功利化的需求，導(dǎo)致學(xué)生實(shí)驗(yàn)之后缺少有效的回顧與反思，實(shí)驗(yàn)的理性目標(biāo)如同空中樓閣。例如：教學(xué)“三角形的內(nèi)角和”，學(xué)生通過(guò)量、折、拼等方式獲取“三角形的內(nèi)角和是180°”這一結(jié)論后，教師往往認(rèn)為教學(xué)目標(biāo)已經(jīng)達(dá)成了，實(shí)際上，學(xué)生僅在知識(shí)層面獲得了結(jié)論，而缺失對(duì)實(shí)驗(yàn)過(guò)程的回顧與反思，也就缺乏在理性精神層面的升華。

三、小學(xué)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)“數(shù)學(xué)化”的策略探尋

（一）構(gòu)建問(wèn)題場(chǎng)，解疑證惑生發(fā)實(shí)驗(yàn)需求

1.問(wèn)題前置于實(shí)驗(yàn)，問(wèn)題先行，實(shí)驗(yàn)跟進(jìn)。

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的基本模式為“問(wèn)題—猜想—實(shí)驗(yàn)—交流—結(jié)論”，由此可見，問(wèn)題是數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的起點(diǎn)，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)常常以問(wèn)題為鏈接點(diǎn)。例如：蘇教版五上“多邊形的面積”單元有這樣的練習(xí)：“將一張長(zhǎng)16厘米、寬12厘米的長(zhǎng)方形紙裁成底長(zhǎng)4厘米、高3厘米的直角三角形，最多能裁多少個(gè)？”學(xué)生在解答時(shí)經(jīng)常出錯(cuò)，究其原因，主要是學(xué)生缺乏相關(guān)生活經(jīng)驗(yàn)與實(shí)際操作的直觀支持。為了讓學(xué)生從根本上突破思維的禁錮，深刻理解這一數(shù)學(xué)問(wèn)題，筆者認(rèn)為，可以引導(dǎo)他們進(jìn)行一系列數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)。

實(shí)驗(yàn)一：把長(zhǎng)16厘米、寬12厘米的長(zhǎng)方形紙裁成邊長(zhǎng)是4厘米的正方形，最多可以裁幾個(gè)？學(xué)生先畫再分，引導(dǎo)交流：方法一，大長(zhǎng)方形面積÷小正方形面積；方法二，先分別沿長(zhǎng)邊、寬邊分，再相乘。對(duì)比兩種方法。

實(shí)驗(yàn)二：把長(zhǎng)16厘米、寬12厘米的長(zhǎng)方形紙裁成邊長(zhǎng)是5厘米的正方形，最多可以裁幾個(gè)？仍舊引導(dǎo)學(xué)生先畫再分，并討論：是否還能用剛才那樣的兩種方法來(lái)解答？為什么？引導(dǎo)學(xué)生辨析：什么情況下兩種方法都可行？

實(shí)驗(yàn)三：把長(zhǎng)16厘米、寬12厘米的長(zhǎng)方形紙裁成長(zhǎng)4厘米、寬3厘米的長(zhǎng)方形，最多可以裁幾個(gè)？學(xué)生仍然先畫再分，然后引導(dǎo)比較：哪種方法正確？把大長(zhǎng)方形分成小長(zhǎng)方形時(shí)應(yīng)該注意什么？

2.問(wèn)題伴隨實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)先行，思維跟進(jìn)。

具象的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是學(xué)生生發(fā)疑問(wèn)、主動(dòng)思考的思維基礎(chǔ)。教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生在實(shí)驗(yàn)中質(zhì)疑問(wèn)難，在有序?qū)舆f的活動(dòng)中產(chǎn)生新的思維生長(zhǎng)點(diǎn)，這對(duì)問(wèn)題研究能起到“推波助瀾”的作用。上例中，每個(gè)小實(shí)驗(yàn)過(guò)程中都會(huì)產(chǎn)生新的問(wèn)題。可以說(shuō)，思維不斷升級(jí)的過(guò)程中伴隨著問(wèn)題的不斷產(chǎn)生與解答。

（二）激活想象力，合理猜測(cè)導(dǎo)引實(shí)驗(yàn)方向

1.猜想有源頭。

數(shù)學(xué)猜想是對(duì)問(wèn)題或?qū)ο笞鞒龇弦欢ń?jīng)驗(yàn)與事實(shí)的推測(cè)性想象的思維方式。美籍匈牙利數(shù)學(xué)家波利亞認(rèn)為，一個(gè)好的數(shù)學(xué)家必須是一個(gè)猜想家，猜想是數(shù)學(xué)研究者必須具備的基本能力。數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)往往通過(guò)問(wèn)題驅(qū)動(dòng)激發(fā)合理的猜想，將猜想與實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證緊密結(jié)合。因此，立足學(xué)生原有的知識(shí)結(jié)構(gòu)，經(jīng)過(guò)關(guān)聯(lián)類比，往往能引發(fā)學(xué)生方向明確的猜想。例如：蘇教版五下《圓的面積》這節(jié)課常常讓教師糾結(jié)、學(xué)生困惑。究其原因，一是圓面積公式的推導(dǎo)無(wú)法沿用學(xué)生已有的圖形面積計(jì)算公式的探究經(jīng)驗(yàn)，如探究平行四邊形面積時(shí)采用的割補(bǔ)法和探究三角形面積時(shí)采用的拼合法等策略都不可用，學(xué)生的研究難以找到相關(guān)路徑；二是研究圓的面積公式時(shí)把圓等分再拼，與學(xué)生在研究圓周長(zhǎng)時(shí)的經(jīng)驗(yàn)銜接不夠，尤其是實(shí)驗(yàn)時(shí)提供給學(xué)生的圓的大小總是有限的，等分的份數(shù)不夠多，拼成的圖形與長(zhǎng)方形差距較大，但最終往往以教師的“近似”長(zhǎng)方形終結(jié)學(xué)生的質(zhì)疑。

基于以上分析，我們可以從圓周長(zhǎng)的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，引發(fā)學(xué)生合理猜想：這樣的填空引發(fā)學(xué)生對(duì)面積與半徑、直徑等因素之間關(guān)系的猜想。接著，引導(dǎo)學(xué)生利用數(shù)方格的方法數(shù)出三個(gè)大小不同的圓的面積（如圖1），并填寫表格（如表1）。然后讓學(xué)生利用計(jì)算器驗(yàn)證：圓的面積與半徑或直徑相除的商是不是一個(gè)固定不變的數(shù)？通過(guò)驗(yàn)證，學(xué)生發(fā)現(xiàn)前面的猜想不成立。繼而引導(dǎo)學(xué)生調(diào)整思路：圓的面積與正方形的面積有什么關(guān)系？并追問(wèn)：你有什么新的猜想？

要讓學(xué)生“敢想”，更要讓學(xué)生“想之有物”。上述案例中，以圓的周長(zhǎng)與半徑、直徑的“商”為源頭，引發(fā)學(xué)生提出圓的面積與相關(guān)數(shù)量之間關(guān)系的猜想，這一猜想的提出，把新知識(shí)放到舊知識(shí)結(jié)構(gòu)中，合乎知識(shí)發(fā)展的邏輯。

2.猜想有方向。

在實(shí)際教學(xué)中，學(xué)生的猜想往往來(lái)源于直覺，這樣的猜想有時(shí)是有價(jià)值的，有時(shí)也會(huì)因缺乏邏輯而發(fā)生偏離。上例中，學(xué)生在探索圓的周長(zhǎng)時(shí)對(duì)這個(gè)“商”印象深刻，順理成章地認(rèn)為圓的面積與直徑或半徑之間也存在著類似的關(guān)聯(lián)。然而，通過(guò)驗(yàn)證，學(xué)生發(fā)現(xiàn)并非如此，此時(shí)就需要調(diào)整猜想思路，將視線集中到圖中的正方形上，它對(duì)學(xué)生“求圓的面積必須知道圓的半徑”這種思維定勢(shì)起到了沖擊作用。學(xué)生經(jīng)歷了“形成猜想—檢驗(yàn)證明—修正猜想—再次驗(yàn)證……”的過(guò)程，思維也在不斷地完形修復(fù)。

（三）著眼“數(shù)學(xué)化”，理性表達(dá)反哺實(shí)驗(yàn)經(jīng)歷

實(shí)驗(yàn)表達(dá)是指對(duì)實(shí)驗(yàn)過(guò)程與實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行數(shù)學(xué)化的審視，用數(shù)學(xué)的眼光觀察實(shí)驗(yàn)，用數(shù)學(xué)的思維分析實(shí)驗(yàn)，用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)實(shí)驗(yàn)，從而發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力、邏輯推理能力和數(shù)學(xué)建模能力。用實(shí)驗(yàn)表達(dá)反哺實(shí)驗(yàn)結(jié)果，觀照的是對(duì)實(shí)驗(yàn)過(guò)程的數(shù)學(xué)化認(rèn)識(shí)和對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果的理性判斷。

1.“說(shuō)”實(shí)驗(yàn)，著力實(shí)驗(yàn)過(guò)程的數(shù)學(xué)化認(rèn)識(shí)。

語(yǔ)言是思維的外殼，數(shù)學(xué)語(yǔ)言的表達(dá)直接影響兒童思維能力的發(fā)展。用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)實(shí)驗(yàn)過(guò)程能使實(shí)驗(yàn)過(guò)程中隱含的數(shù)學(xué)本質(zhì)外顯化。例如：在“圓的面積”練習(xí)中有這樣的習(xí)題：已知圓的面積與長(zhǎng)方形的面積相等，如果長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是6.28厘米，陰影部分的面積是多少？（如圖2）學(xué)生遇此習(xí)題常常一籌莫展，究其原因，是學(xué)生對(duì)圓與長(zhǎng)方形之間的關(guān)系并不明晰。如果在推導(dǎo)實(shí)驗(yàn)完成后加強(qiáng)學(xué)生對(duì)實(shí)驗(yàn)過(guò)程的數(shù)學(xué)化表達(dá)，尤其是強(qiáng)化兩個(gè)圖形間關(guān)聯(lián)的辨析，厘清其中的對(duì)應(yīng)關(guān)系，問(wèn)題就不難解決了。

2.“議”實(shí)驗(yàn)，著力實(shí)驗(yàn)結(jié)果的理性分析。

通過(guò)實(shí)驗(yàn)得出結(jié)論、發(fā)現(xiàn)規(guī)律、解決問(wèn)題，實(shí)驗(yàn)?zāi)繕?biāo)就達(dá)成了。然而，對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行理性的分析，是數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)不可缺省的一個(gè)重要環(huán)節(jié)，是發(fā)展學(xué)生理性思維的重要節(jié)點(diǎn)。例如：蘇教版六上“分?jǐn)?shù)四則混合運(yùn)算”單元有一個(gè)小實(shí)驗(yàn)（如圖3），引導(dǎo)學(xué)生觀察比較、發(fā)現(xiàn)規(guī)律（新長(zhǎng)方形的面積總是原來(lái)長(zhǎng)方形的）完成小實(shí)驗(yàn)后，可以追問(wèn)：為什么是？它與什么有關(guān)？繼續(xù)追問(wèn)：如果長(zhǎng)、寬分別增加呢？如果長(zhǎng)增加，寬增加，面積又是原來(lái)的幾分之幾？你又發(fā)現(xiàn)了什么？一系列問(wèn)題串蘊(yùn)含著豐富的理性思考價(jià)值，直擊數(shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì)。對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果的“議”可以指向知識(shí)的縱深鏈接，也可指向知識(shí)點(diǎn)之間的類比分析，更可以跳出問(wèn)題進(jìn)行跨界的整合與思考。

總之，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的核心在于它的“數(shù)學(xué)化”——“數(shù)學(xué)化”的操作、“數(shù)學(xué)化”的審視、“數(shù)學(xué)化”的反思、“數(shù)學(xué)化”的拓展，只有“數(shù)學(xué)化”地理解數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，才能實(shí)現(xiàn)由具象操作向抽象的高階思維的發(fā)展，進(jìn)而發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

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