試論新課程理念下數(shù)學(xué)教學(xué)要展現(xiàn)學(xué)生思維過程

摘 要：培養(yǎng)學(xué)生的思維能力是高中數(shù)學(xué)教學(xué)追求的重要目標(biāo)之一。新課程的基本理念就是：“倡導(dǎo)積極主動，勇于探索的學(xué)習(xí)方式，注重提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力?！币虼宋覀円⒁庠谥v解過程中體現(xiàn)數(shù)學(xué)的思維過程，支持學(xué)生積極思維，大力推舉到數(shù)學(xué)知識的形成過程，必須讓孩子們提高思維能力并且靈活運(yùn)用所學(xué)知識去分析理解具體的問題；筆者根據(jù)自己的教學(xué)實(shí)際從以下兩個方面加以說明。

關(guān)鍵詞：新課程；數(shù)學(xué)教學(xué)；學(xué)生思維

一、 解題教學(xué)要有解題途徑的探索過程

在課堂教學(xué)中，教師可使用引導(dǎo)性的提問提高學(xué)生思維。下面是筆者的教學(xué)實(shí)錄：

案例1 已知拋物線C：y=2x2，直線y=kx+2交C于A，B兩點(diǎn)，Q為AB的中點(diǎn)，過Q作x軸的垂線交C于點(diǎn)N；證明：拋物線在點(diǎn)N的切線與AB平行。

師：解題的目標(biāo)是什么？

生：證明切線與直線平行。

師：那么如何證明兩直線平行呢？

生：只要說明他們的斜率相等就可以。

師：直線AB的斜率為k，拋物線在N點(diǎn)的切線斜率如何表示呢？

生：拋物線在N點(diǎn)的切線斜率就是y=2x2在N點(diǎn)的導(dǎo)函數(shù)值，而y′=4x，xN=xA+xB2，所以需要直線與拋物線聯(lián)立用韋達(dá)定理把xN用k表示即可。

師：很好！你能實(shí)現(xiàn)解題目標(biāo)嗎？

由上面的啟發(fā)，學(xué)生很容易得到下面的解題途徑。

二、 數(shù)學(xué)探究要有變式的探究過程

案例2 還以上題為例，在學(xué)生已經(jīng)證明出拋物線在點(diǎn)N的切線與AB平行以后，我接著讓學(xué)生思考下面的變式：

變式1：已知拋物線C：y=2x2，直線y=kx+2交C于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，那么△AOB面積有最小值嗎？如果有那么最小值是什么？

分析：首先引領(lǐng)學(xué)生探究△AOB面積如何表示？

方法一：S△AOB=12ABd，其中d表示點(diǎn)O得到直線AB的距離

方法二：S△AOB=12OMxA-xB，其中M點(diǎn)為直線AB與y軸的交點(diǎn)M0，2，

顯然方法二的表示更簡單，

當(dāng)且僅當(dāng)k=0時取等號。

點(diǎn)評：通過這個變式讓學(xué)生體驗(yàn)一個重要的數(shù)學(xué)思想——函數(shù)思想。

變式2：證明拋物線y=2x2在A，B兩點(diǎn)的切線的交點(diǎn)M的橫坐標(biāo)xM是xA與xB的等差中項(xiàng)；即xM=xA+xB2。

證明：由上面的求解可知：在A，B處的切線AM，BM的方程分別為：

y-2x2A=4xA（x-xA）y-2x2B=4xB（x-xB）y=4xAx-2x2Ay=4xBx-2x2B，解之得：xM=xA+xB2，所以結(jié)論成立。

更進(jìn)一步可得：yM=4x1·xA+xB2-2xAxB=2xAxB由（2）式知yM=-2。

變式3：由變式2可知拋物線y=2x2與過點(diǎn)0，2的直線交于A，B兩點(diǎn)，則拋物線在A，B兩點(diǎn)處的切線的交點(diǎn)恒在直線y=-2上，且xM=xA+xB2；對于一般的拋物線x2=2py與直線y=kx+m是否具有上述結(jié)論呢？即：xM=xA+xB2；yM=-m；

點(diǎn)評：變式3是對變式2一般性結(jié)果的探索；反之是否成立呢？

變式4：在直線y=-m上任取一點(diǎn)M作拋物線x2=2py的切線，切點(diǎn)分別為A，B，是否有xM=xA+xB2，且直線AB過定點(diǎn)0，m呢？

解：設(shè)：AxA，x2A2p，BxB，x2B2p，MxM，-m，由于y′=xp，所以拋物線在A，B兩點(diǎn)的切線方程分別為y=xApx-x2A2py=xBpx-x2B2p，把MxM，-m代入上式得：

-m=xApxM-x2A2p-m=xBpxM-x2B2p

消去m得xM=xA+xB2，從而yM=xAp·xA+xB2-x2A2p=xA·xB2p=-m（3）

由條件可知直線AB斜率存在，方程設(shè)為y=kx+b，由y=kx+bx2=2py，消y得

x2-2pkx-2pb=0，∴xA·xB=-2pb代入（3）式得b=m

所以直線方程為y=kx+m恒過定點(diǎn)0，m。

三、 點(diǎn)評

新課程理念下要求教師必定要加強(qiáng)數(shù)學(xué)思維能力的培養(yǎng)和運(yùn)用，注意帶領(lǐng)學(xué)生會用數(shù)學(xué)眼光看世界，利用數(shù)學(xué)思維了解世界，利用數(shù)學(xué)語言表達(dá)世界；促進(jìn)學(xué)生思維能力、實(shí)踐能力和創(chuàng)新意識的發(fā)展與實(shí)踐，探尋萬物變化規(guī)律。

作者簡介：

王義東，山東省濟(jì)南市，山東省濟(jì)南市歷城區(qū)教育教學(xué)研究中心。