關(guān)注錯誤資源 引發(fā)數(shù)學(xué)思考

陳燕萍

[摘要]新課標(biāo)強(qiáng)調(diào)：教師要有意識、有目的地開發(fā)和利用各種課程資源。認(rèn)知心理學(xué)派認(rèn)為：任何人在學(xué)習(xí)中都不可避免地會產(chǎn)生錯誤，這往往是教學(xué)中稍縱即逝的生成性資源。教師應(yīng)在數(shù)學(xué)課堂中關(guān)注錯誤資源，善于發(fā)現(xiàn)差錯背后隱含的教育價值，以學(xué)定教，順學(xué)而導(dǎo)，引發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考，讓學(xué)生在“思錯”“辨錯”“改錯”中思考、明理、悟道，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

[關(guān)鍵詞]巧設(shè)；捕捉；活用；數(shù)學(xué)思考

作為數(shù)學(xué)教師，應(yīng)抓住每一個適當(dāng)?shù)臋C(jī)會，有意識、有目的地開發(fā)和利用各種課程資源，特別是要關(guān)注錯誤資源，及時發(fā)現(xiàn)錯誤背后的價值，引發(fā)學(xué)生的思考，引導(dǎo)學(xué)生在錯誤中學(xué)習(xí)和提高。

一、巧設(shè)錯誤資源——啟發(fā)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)思考

學(xué)生在以往學(xué)習(xí)歷程中的操作經(jīng)驗、思考經(jīng)驗、學(xué)習(xí)經(jīng)驗會對新知的學(xué)習(xí)產(chǎn)生一些負(fù)遷移，教師可以故意設(shè)置一些“美麗的陷阱”，挑起“事端”，讓學(xué)生掉下去生成錯誤資源，啟發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考，讓學(xué)生在爭論、思辨中有效建構(gòu)數(shù)學(xué)模型。

比如，在教學(xué)“小數(shù)的大小比較”時，我曾做過以下嘗試：出示五張撲克牌的背面，如下排列。

提問：不翻牌，你能比較它們的大小嗎？（喚醒學(xué)生已有認(rèn)知：學(xué)生關(guān)注到位數(shù)多的這個數(shù)就大。）

接著在原題添上小數(shù)點 ， 追問學(xué)生：現(xiàn)在你能比較這兩個小數(shù)的大小嗎？

有的學(xué)生脫口而出：“還是右邊的數(shù)大?！?/p>

我接著問：“怎么想的？”

學(xué)生甲：“因為左邊是一位小數(shù)，右邊是兩位小數(shù)，兩位小數(shù)比一位小數(shù)大?！?/p>

學(xué)生乙：“我覺得不一定，如果左邊是3.5，右邊是1.35，那么3.5就比1.35大了。”

學(xué)生?。骸安灰欢?，我猜它們也可能一樣大?！?/p>

我趁熱打鐵：“那同學(xué)們要不要看看牌后面到底隱藏的是什么？”

我先翻開右邊百分位上的牌。有的學(xué)生大聲呼出來：“哇！是9！右邊的數(shù)肯定大！”立即有人反駁：“不一定，比不出來?！蔽易穯枺骸?已經(jīng)很大了，還比不出來嗎？”有的學(xué)生說：“9在百分位上，還有十分位和個位上的數(shù)字沒比呢，還得翻?！睂W(xué)生興趣盎然，接著，我分別翻開十分位上的兩張牌。左邊的是1，右邊的還是9。剛才那位同學(xué)直呼：“你看你看，這下不用比了，9比1大。右邊的數(shù)肯定比左邊大?！薄安恍?，還得比個位。個位上大的那個數(shù)才大?！蔽依^續(xù)問：“為什么要再比個位？”學(xué)生水到渠成地回答：“因為個位上的數(shù)表示幾個1，十分位上的數(shù)表示幾個0.1，9個0.1都不到1。”“如果左邊個位上是5，右邊個位上是4， 5比4大1，所以這個數(shù)就大?！薄皯?yīng)該先比整數(shù)部分，整數(shù)部分一樣大，再比十分位，依此類推”。

通過巧設(shè)陷阱，展示出學(xué)生的思維盲點，把學(xué)生原來的錯誤認(rèn)知凸顯出來，在師生、生生互動與交流中有效建構(gòu)小數(shù)大小比較的方法。

二、捕捉錯誤資源——引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)思考

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要深入解讀教材，讀懂學(xué)生，了解學(xué)生在各階段數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的思維盲點，對學(xué)生出現(xiàn)的各種錯誤敏銳捕捉，洞悉“錯誤”的潛在價值，讓學(xué)生通過辨析互動，達(dá)成共識，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)思考。

例如，在教學(xué)“除法的豎式計算”時，教師可以放手讓學(xué)生嘗試寫出豎式，巡視時發(fā)現(xiàn)大部分學(xué)生受到前面學(xué)過的加減法筆算的影響，理所當(dāng)然地認(rèn)為除法豎式也應(yīng)當(dāng)是像加減法那樣寫，教師不能忽視、逃避和隱藏學(xué)生的真實想法，而應(yīng)及時捕捉生成資源，讓兩位同學(xué)板演在黑板上，進(jìn)行比較。

師：“你認(rèn)為哪種寫法是對的？為什么？”

學(xué)生甲：“第一種寫法是正確的，因為加法、減法豎式都是這樣寫的！”

多數(shù)學(xué)生贊同地點點頭，也有學(xué)生說：“第二種是對的，我預(yù)習(xí)了，數(shù)學(xué)書里面就是這樣寫的?！?/p>

教師并不著急下結(jié)論，而將問題拋回給學(xué)生：“如果這兩種寫法都對，那你喜歡哪種寫法？為什么？”

學(xué)生乙：“ 我喜歡第一種寫法，簡單方便，第二種寫法太麻煩了，要寫好長?！?/p>

學(xué)生丙：“我認(rèn)為第二種寫法更清楚。”

學(xué)生甲不服氣地說：“第一種寫法不但表達(dá)得很清楚，而且很簡單?！?/p>

教師及時追問：“都說表達(dá)得很清楚，你們能想辦法說服對方嗎？”

接著，請不同觀點的兩名同學(xué)分別用學(xué)具擺一擺，一方的同學(xué)邊擺圓片邊結(jié)合豎式說一說，另一方的同學(xué)可以根據(jù)他擺及說的過程提問題。

“我把13個圓形平均分成4份，每份能分3個，還剩下1個。”

“你怎么知道還剩下1個？”

“因為一共有13個，分掉了12個，13-12=1?！?/p>

“分掉12個在哪兒？”

學(xué)生指著圓片說：“在這兒啊?！?/p>

生：“豎式里分掉的12個在哪兒？”

這一方的學(xué)生指不出來了。

支持第二種觀點的學(xué)生自如地邊擺圓片邊指著豎式說：“我先寫被除數(shù)13，接著寫一橫一撇表示平均分，再寫除數(shù)4，每份最多能分到3個，在被除數(shù)的上面寫3，一共分掉了12個，在被除數(shù)的下面寫12，最后用13-12等于1個，還剩下1個。”

此時，教師問：“同學(xué)們，你們認(rèn)為哪個豎式更合理？”

大部分學(xué)生認(rèn)為第二個更合理。

作為數(shù)學(xué)教師，應(yīng)抓住每一個適當(dāng)?shù)臋C(jī)會，有意識、有目的地開發(fā)和利用各種課程資源，特別是要關(guān)注錯誤資源，及時發(fā)現(xiàn)錯誤背后的價值，引發(fā)學(xué)生的思考，引導(dǎo)學(xué)生在錯誤中學(xué)習(xí)和提高。

一、巧設(shè)錯誤資源——啟發(fā)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)思考

學(xué)生在以往學(xué)習(xí)歷程中的操作經(jīng)驗、思考經(jīng)驗、學(xué)習(xí)經(jīng)驗會對新知的學(xué)習(xí)產(chǎn)生一些負(fù)遷移，教師可以故意設(shè)置一些“美麗的陷阱”，挑起“事端”，讓學(xué)生掉下去生成錯誤資源，啟發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考，讓學(xué)生在爭論、思辨中有效建構(gòu)數(shù)學(xué)模型。

比如，在教學(xué)“小數(shù)的大小比較”時，我曾做過以下嘗試：出示五張撲克牌的背面，如下排列。

提問：不翻牌，你能比較它們的大小嗎？（喚醒學(xué)生已有認(rèn)知：學(xué)生關(guān)注到位數(shù)多的這個數(shù)就大。）

接著在原題添上小數(shù)點 ， 追問學(xué)生：現(xiàn)在你能比較這兩個小數(shù)的大小嗎？

有的學(xué)生脫口而出：“還是右邊的數(shù)大?！?/p>

我接著問：“怎么想的？”

學(xué)生甲：“因為左邊是一位小數(shù)，右邊是兩位小數(shù)，兩位小數(shù)比一位小數(shù)大?！?/p>

學(xué)生乙：“我覺得不一定，如果左邊是3.5，右邊是1.35，那么3.5就比1.35大了?！?/p>

學(xué)生?。骸安灰欢?，我猜它們也可能一樣大?！?/p>

我趁熱打鐵：“那同學(xué)們要不要看看牌后面到底隱藏的是什么？”

我先翻開右邊百分位上的牌。有的學(xué)生大聲呼出來：“哇！是9！右邊的數(shù)肯定大！”立即有人反駁：“不一定，比不出來。”我追問：“9已經(jīng)很大了，還比不出來嗎？”有的學(xué)生說：“9在百分位上，還有十分位和個位上的數(shù)字沒比呢，還得翻?！睂W(xué)生興趣盎然，接著，我分別翻開十分位上的兩張牌。左邊的是1，右邊的還是9。剛才那位同學(xué)直呼：“你看你看，這下不用比了，9比1大。右邊的數(shù)肯定比左邊大?！薄安恍?，還得比個位。個位上大的那個數(shù)才大?！蔽依^續(xù)問：“為什么要再比個位？”學(xué)生水到渠成地回答：“因為個位上的數(shù)表示幾個1，十分位上的數(shù)表示幾個0.1，9個0.1都不到1。”“如果左邊個位上是5，右邊個位上是4， 5比4大1，所以這個數(shù)就大?！薄皯?yīng)該先比整數(shù)部分，整數(shù)部分一樣大，再比十分位，依此類推”。

通過巧設(shè)陷阱，展示出學(xué)生的思維盲點，把學(xué)生原來的錯誤認(rèn)知凸顯出來，在師生、生生互動與交流中有效建構(gòu)小數(shù)大小比較的方法。

二、捕捉錯誤資源——引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)思考

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要深入解讀教材，讀懂學(xué)生，了解學(xué)生在各階段數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的思維盲點，對學(xué)生出現(xiàn)的各種錯誤敏銳捕捉，洞悉“錯誤”的潛在價值，讓學(xué)生通過辨析互動，達(dá)成共識，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)思考。

例如，在教學(xué)“除法的豎式計算”時，教師可以放手讓學(xué)生嘗試寫出豎式，巡視時發(fā)現(xiàn)大部分學(xué)生受到前面學(xué)過的加減法筆算的影響，理所當(dāng)然地認(rèn)為除法豎式也應(yīng)當(dāng)是像加減法那樣寫，教師不能忽視、逃避和隱藏學(xué)生的真實想法，而應(yīng)及時捕捉生成資源，讓兩位同學(xué)板演在黑板上，進(jìn)行比較。

師：“你認(rèn)為哪種寫法是對的？為什么？”

學(xué)生甲：“第一種寫法是正確的，因為加法、減法豎式都是這樣寫的！”

多數(shù)學(xué)生贊同地點點頭，也有學(xué)生說：“第二種是對的，我預(yù)習(xí)了，數(shù)學(xué)書里面就是這樣寫的?！?/p>

教師并不著急下結(jié)論，而將問題拋回給學(xué)生：“如果這兩種寫法都對，那你喜歡哪種寫法？為什么？”

學(xué)生乙：“ 我喜歡第一種寫法，簡單方便，第二種寫法太麻煩了，要寫好長?！?/p>

學(xué)生丙：“我認(rèn)為第二種寫法更清楚?！?/p>

學(xué)生甲不服氣地說：“第一種寫法不但表達(dá)得很清楚，而且很簡單。”

教師及時追問：“都說表達(dá)得很清楚，你們能想辦法說服對方嗎？”

接著，請不同觀點的兩名同學(xué)分別用學(xué)具擺一擺，一方的同學(xué)邊擺圓片邊結(jié)合豎式說一說，另一方的同學(xué)可以根據(jù)他擺及說的過程提問題。

“我把13個圓形平均分成4份，每份能分3個，還剩下1個。”

“你怎么知道還剩下1個？”

“因為一共有13個，分掉了12個，13-12=1?！?/p>

“分掉12個在哪兒？”

學(xué)生指著圓片說：“在這兒啊?！?/p>

生：“豎式里分掉的12個在哪兒？”

這一方的學(xué)生指不出來了。

支持第二種觀點的學(xué)生自如地邊擺圓片邊指著豎式說：“我先寫被除數(shù)13，接著寫一橫一撇表示平均分，再寫除數(shù)4，每份最多能分到3個，在被除數(shù)的上面寫3，一共分掉了12個，在被除數(shù)的下面寫12，最后用13-12等于1個，還剩下1個。”

此時，教師問：“同學(xué)們，你們認(rèn)為哪個豎式更合理？”

大部分學(xué)生認(rèn)為第二個更合理。

教師又追問：“那第一個不是更簡單嗎？”

學(xué)生：“第一個豎式?jīng)]能清楚地看出分掉了多少個，第二個豎式與分圓片的過程一致，能看清是怎樣分的和怎么想的。”

教師有效抓住學(xué)生的錯誤資源，順?biāo)浦郏瑢㈠e就錯，駐足傾聽學(xué)生的想法，引導(dǎo)學(xué)生在操作、辨析中理解筆算除法的算理，發(fā)現(xiàn)問題的癥結(jié)所在，從而在修正和完善自己思路的過程中突出豎式除法的本質(zhì)。學(xué)生在改正錯誤的過程中不但知其然，更知其所以然，直達(dá)知識的核心，有效滲透數(shù)形結(jié)合思想。

三、活用錯誤資源——深化學(xué)生的數(shù)學(xué)思考

在教學(xué)中，教師要活用學(xué)生在學(xué)習(xí)中產(chǎn)生的錯誤，挖掘錯誤中蘊(yùn)含的創(chuàng)新因素，提煉成為有效的學(xué)習(xí)資源，適時、適度地給予點撥，深化學(xué)生的數(shù)學(xué)思考。

比如，在教學(xué)“多邊形的內(nèi)角和”時，我曾做過以下嘗試：讓學(xué)生自主畫一個四邊形并探究它的內(nèi)角和。學(xué)生出現(xiàn)三種比較典型的分法（黑板上并排呈現(xiàn)）：

這三種分法分別得出三種結(jié)論：360度、540度和720度。有的學(xué)生說：“我知道了，四邊形的內(nèi)角和是不確定的！”我疑惑地問：“不確定的？”學(xué)生說：“嗯，四邊形大，內(nèi)角和也大。”有的學(xué)生反駁說：“能確定！第二種和第三種的分法錯了，應(yīng)該只分成兩個?！?/p>

經(jīng)過思考，學(xué)生認(rèn)為：第二種分法能算出四邊形的內(nèi)角和，但是要減掉180度，因為有三個和為180度角不是四邊形的內(nèi)角，而且它們剛好組成了一個平角，所以減去180度。而第三種分法應(yīng)再減去360度，剩下的也是四邊形的內(nèi)角和。

我總結(jié)：“看來不管同學(xué)們怎樣分，都是利用以前學(xué)過的三角形內(nèi)角和來算出四邊形的內(nèi)角和?！?/p>

在這一過程中，以“錯誤”為契機(jī)，巧妙利用學(xué)生的錯誤，變廢為寶，在教師的適時點撥下，學(xué)生的認(rèn)識進(jìn)入了“柳暗花明又一村”的境界，讓學(xué)生在“思錯”“辨錯”“改錯”和“用錯”的過程中學(xué)會新知，深化對多邊形內(nèi)角和的理解。

真實的課堂不怕學(xué)生出現(xiàn)錯誤，“錯”能促思，“錯”能明理。教師要關(guān)注錯誤資源并善于利用這一資源，讓學(xué)生在“錯”中明理悟道，在“錯”中開拓創(chuàng)新，以“錯誤”為契機(jī)，引發(fā)學(xué)生學(xué)會數(shù)學(xué)思考。

參考文獻(xiàn)：

[1]何如濤.把“錯誤”資源變成精彩課堂的“催化劑”[J].河北理科教學(xué)研究，2008，（03）.

[2]戚曉宇.教學(xué)機(jī)智在課堂中的應(yīng)用[J].學(xué)周刊，2012，（10）.

（責(zé)任編輯 馮 璐）