簡(jiǎn)述在線性代數(shù)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維意識(shí)的一些思考

李東升

摘要：數(shù)學(xué)教學(xué)不但要教授學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)，最重要的是培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維意識(shí)。線性代數(shù)教學(xué)中蘊(yùn)含了一定的數(shù)學(xué)思維內(nèi)容，還需要教師深入挖掘，采用合理的教學(xué)方式，最終達(dá)到培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維意識(shí)的目的。對(duì)此，本文分析了在線性代數(shù)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維意識(shí)的幾點(diǎn)建議，以期為相關(guān)從業(yè)人員提供參考。

關(guān)鍵詞：線性代數(shù) 教學(xué) 數(shù)學(xué)思維意識(shí) 思考

中圖分類號(hào)：O151 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1009-5349（2018）16-0154-02

現(xiàn)代社會(huì)更需要培養(yǎng)創(chuàng)新型人才，尤其是對(duì)大學(xué)教學(xué)來(lái)說(shuō)，是學(xué)生即將步入社會(huì)的關(guān)鍵階段，因此培養(yǎng)他們的創(chuàng)新意識(shí)和能力至關(guān)重要，能夠?yàn)槠渥呦蛏鐣?huì)后的發(fā)展奠定基礎(chǔ)。任何大學(xué)都不可能將所有的知識(shí)都傳授給學(xué)生，因此教學(xué)的最高境界就是教授學(xué)生終身學(xué)習(xí)的能力。[1]這就需要教師在教學(xué)的過(guò)程中，對(duì)學(xué)生進(jìn)行潛移默化的影響。數(shù)學(xué)理論是人們站在量的角度對(duì)現(xiàn)實(shí)世界所有研究所獲取的客觀性規(guī)律，數(shù)學(xué)作為所有學(xué)科的基礎(chǔ)，數(shù)學(xué)方法是人們研究問(wèn)題、處理問(wèn)題的必要條件，也是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新思維的關(guān)鍵所在。在線性代數(shù)教學(xué)中存在了一定的抽象思維和邏輯思維，蘊(yùn)含了多種數(shù)學(xué)思想方法，是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維意識(shí)的重要內(nèi)容。

一、從教學(xué)內(nèi)容出發(fā)，與專業(yè)特點(diǎn)相結(jié)合

在實(shí)際教學(xué)中，一些學(xué)生雖然知道學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)有用，但是卻存在不會(huì)用、用不了的現(xiàn)象。對(duì)此，教師在教學(xué)過(guò)程中，還應(yīng)注意與學(xué)生專業(yè)特點(diǎn)相結(jié)合，尋找利于學(xué)生接受的切入點(diǎn)，針對(duì)知識(shí)點(diǎn)在實(shí)際應(yīng)用的特點(diǎn)，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。比如，針對(duì)電子工程學(xué)院對(duì)矩陣?yán)碚摰膶W(xué)習(xí)，可以將分析電路作為例子，依照矩陣表征的電路特點(diǎn)，然后再應(yīng)用矩陣?yán)碚搶?duì)電路的特征、結(jié)構(gòu)等展開(kāi)研究；針對(duì)經(jīng)濟(jì)管理學(xué)的學(xué)生對(duì)矩陣?yán)碚摰膶W(xué)習(xí)，可以將經(jīng)濟(jì)成本與管理決策內(nèi)容作為例子；針對(duì)信息工程學(xué)院的學(xué)生對(duì)矩陣?yán)碚摰膶W(xué)習(xí)，可將有關(guān)線性代數(shù)與圖像的關(guān)系作為例子；針對(duì)機(jī)械學(xué)院的學(xué)生對(duì)矩陣?yán)碚摰膶W(xué)習(xí)，可將現(xiàn)代飛行器外觀設(shè)計(jì)以及機(jī)械人設(shè)計(jì)方法作為例子。[2]如此，便可激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，達(dá)到學(xué)以致用的效果，同時(shí)也培養(yǎng)了學(xué)生良好的數(shù)學(xué)思維，為其日后的應(yīng)用奠定基礎(chǔ)。

（1）以經(jīng)濟(jì)相關(guān)專業(yè)對(duì)矩陣的學(xué)習(xí)為例，采用相關(guān)經(jīng)濟(jì)成本的例子作為講解對(duì)象。

例：服裝加工廠想要大批量生產(chǎn)兩種款式衣服，分別為M和N。其中M款生產(chǎn)價(jià)值為100美元，需耗費(fèi)25美元的原材料費(fèi)用，45美元的管理費(fèi)、15美元的勞動(dòng)費(fèi)；生產(chǎn)100美元的N款服裝，需耗費(fèi)原材料45美元，25美元管理費(fèi)，10美元?jiǎng)趧?dòng)費(fèi)，即a 、b ，將a與b定義為M和N兩種款式服裝的“單位美元產(chǎn)出成本”，問(wèn)：①如何解釋向量100a經(jīng)濟(jì)？②假設(shè)該服裝加工廠想要生產(chǎn)的M款服裝為x美元，想要生產(chǎn)N款服裝為y美元，對(duì)該服裝加工廠的原材料費(fèi)用、管理費(fèi)用和勞動(dòng)費(fèi)用作出向量。

（2）以信息工程學(xué)院學(xué)生授課為例，可將特征向量在網(wǎng)頁(yè)中的排序搜索作為例題。

例：百度該怎樣將搜索到的n個(gè)網(wǎng)頁(yè)做好排序呢？對(duì)此可采用好中心網(wǎng)頁(yè)指向好權(quán)威網(wǎng)頁(yè)，好權(quán)威網(wǎng)頁(yè)被好中心網(wǎng)頁(yè)指向的方式。將第i個(gè)網(wǎng)頁(yè)的中樞值與權(quán)威值分別記作xi和yi，將中樞值分量與權(quán)威值分量的列項(xiàng)量分別用x和y表示，用A表示網(wǎng)頁(yè)間的鏈接矩陣。如第i頁(yè)連接到第j頁(yè)，則Aij值為1，否則則為0；矩陣AAT與ATA最大特征值的特征向量分別為x和y，以y分量為依據(jù)對(duì)搜索到的網(wǎng)頁(yè)加以排序。

上述舉了兩方面的例子，將線性代數(shù)和學(xué)生專業(yè)相結(jié)合能夠激發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)興趣，學(xué)生經(jīng)過(guò)不斷的學(xué)習(xí)形成良好的數(shù)學(xué)思維。這就要求教師在實(shí)際教學(xué)過(guò)程中不斷積累教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，對(duì)教材加以充分總結(jié)歸納，為學(xué)生設(shè)置特定的教學(xué)情境，建立起一套線性代數(shù)教學(xué)案例庫(kù)，為學(xué)生提供針對(duì)性的教學(xué)服務(wù)。

二、加強(qiáng)理論教學(xué)

教學(xué)理論與方法是數(shù)學(xué)思維與特征的載體，只有充分掌握數(shù)學(xué)基本理論，才能進(jìn)一步對(duì)數(shù)學(xué)及其思維有更好的了解，進(jìn)而達(dá)到培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的目的。因此，在教學(xué)過(guò)程中，還應(yīng)讓數(shù)學(xué)理論發(fā)揮自身的主體作用，促使學(xué)生掌握數(shù)學(xué)基本理論與思維方法。培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維、數(shù)學(xué)素養(yǎng)都需建立在數(shù)學(xué)基本理論與數(shù)學(xué)方法的基礎(chǔ)之上。

在當(dāng)前的大學(xué)數(shù)學(xué)理論教育中，很多學(xué)生在對(duì)大學(xué)課程學(xué)習(xí)的過(guò)程中，僅僅是應(yīng)用其自身的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，而沒(méi)有注重對(duì)數(shù)學(xué)理論和概念的理解，只是關(guān)注數(shù)學(xué)題型和技巧，認(rèn)為只要認(rèn)識(shí)題型和掌握相應(yīng)的數(shù)學(xué)技巧便會(huì)做題，卻不知數(shù)學(xué)題型與技巧都是由數(shù)學(xué)理論發(fā)展而來(lái)，沒(méi)有認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)理論和概念的意義。[3]除此之外，在就業(yè)與實(shí)用的影響下，大部分商科、理工科以及經(jīng)管類的學(xué)生都無(wú)法靜下心對(duì)數(shù)學(xué)進(jìn)行學(xué)習(xí)，甚至產(chǎn)生恐懼心理，即便已經(jīng)通過(guò)了數(shù)學(xué)課程考試，但是卻并沒(méi)有掌握相應(yīng)的數(shù)學(xué)理論與方法。對(duì)于一些學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生也比較畏懼?jǐn)?shù)學(xué)理論和證明，在撰寫畢業(yè)論文時(shí)不愿將數(shù)學(xué)理論作為課題。這些都不利于學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)更好地學(xué)習(xí)，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維造成不利影響。對(duì)此，教師還應(yīng)對(duì)數(shù)學(xué)理論建構(gòu)背景、理論框架以及數(shù)學(xué)思想、邏輯推演等內(nèi)容進(jìn)行重點(diǎn)講解，同時(shí)教授學(xué)生一些應(yīng)用例子和書數(shù)學(xué)理論間的關(guān)系等。比如，在教學(xué)矩陣教學(xué)時(shí)，便可利用理論教學(xué)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維意識(shí)。

例：首先讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到矩陣能夠?qū)崿F(xiàn)對(duì)一般線性方程組的求解，對(duì)比數(shù)的運(yùn)算對(duì)矩陣的基本運(yùn)算進(jìn)行自然定義。同時(shí)，在教學(xué)過(guò)程中還應(yīng)側(cè)重于對(duì)新引入數(shù)學(xué)研究對(duì)象的深入講解，采用類比研究法，但是本質(zhì)卻與數(shù)學(xué)對(duì)象完全不同，有自身獨(dú)特的特點(diǎn)。比如矩陣乘法運(yùn)算和數(shù)乘法運(yùn)算、可逆矩陣記號(hào)和數(shù)學(xué)倒數(shù)等都有所不同，在對(duì)矩陣的初等變換進(jìn)行講解時(shí)，為了更好地讓學(xué)生對(duì)初等變換來(lái)源進(jìn)行探究，可對(duì)學(xué)生做如下引導(dǎo)：為對(duì)線性方程組所引入的矩陣加以解決，就需采用與Gauss消元法相應(yīng)的內(nèi)容進(jìn)行等價(jià)變換，進(jìn)一步引出矩陣的初等行變換；采用對(duì)稱或者對(duì)偶的觀點(diǎn)將初等列變換自然而然地引入[4]；給出矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形、行最簡(jiǎn)形和行階梯形，使學(xué)生更直觀地看到從矩陣標(biāo)準(zhǔn)形變?yōu)榉秦?fù)整數(shù)-矩陣的秩的自然過(guò)程。最后在對(duì)矩陣的秩定義進(jìn)行講解，將線性方程組求解問(wèn)題實(shí)現(xiàn)完整解答。采用這種方式教學(xué)能夠幫助學(xué)生更好地了解數(shù)學(xué)理論的形成、變化過(guò)程，深入掌握數(shù)學(xué)理論的內(nèi)涵。只有這樣，才能實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)理論的切實(shí)掌握，有助于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維意識(shí)。

三、加強(qiáng)舉例教學(xué)

采用舉例教學(xué)可建立數(shù)學(xué)理論，同時(shí)也是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維意識(shí)的重要途徑。實(shí)際上，多數(shù)數(shù)學(xué)知識(shí)理論都是經(jīng)過(guò)數(shù)學(xué)研究者不斷地對(duì)例子總結(jié)、分析所提煉而成。數(shù)學(xué)課本中的典型例題不僅體現(xiàn)出了數(shù)學(xué)基本框架，同時(shí)也體現(xiàn)了數(shù)學(xué)思想、方法以及實(shí)現(xiàn)路徑。除此之外，通過(guò)一些典型例題也能幫助學(xué)生理解抽象的數(shù)學(xué)概念和理論。[5]數(shù)學(xué)習(xí)題不單單是學(xué)生掌握數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)理論和數(shù)學(xué)思想方法的途徑，也是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維意識(shí)的必經(jīng)之路。教師引導(dǎo)學(xué)生對(duì)習(xí)題獨(dú)立處理，能夠促使學(xué)生掌握相應(yīng)的數(shù)學(xué)定理、數(shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)技巧等，久而久之便會(huì)形成良好的數(shù)學(xué)思想意識(shí)。

但是在實(shí)際教學(xué)中不難發(fā)現(xiàn)，很多學(xué)生雖然掌握了抽象的數(shù)學(xué)概念和定理，但是要舉例子卻有一定難度，沒(méi)有掌握舉例子的方法和技巧。另外，一些教師在教學(xué)過(guò)程中，只是對(duì)例子本身進(jìn)行講解，而忽視了對(duì)例子包含的數(shù)學(xué)理論、思想方法等進(jìn)行講解；學(xué)生對(duì)于例子的理解也只停留在表面，沒(méi)有深挖；學(xué)生自主學(xué)習(xí)意識(shí)不強(qiáng)，通常直接參考別人答案，甚至直接抄襲。對(duì)于此類情況，為了培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維意識(shí)，教師還應(yīng)從數(shù)學(xué)例子方面著手，在選取例子時(shí)應(yīng)具有針對(duì)性、層次性[6]，引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立思考完成。比如在教學(xué)1、2、3所有排列逆序數(shù)教學(xué)時(shí)，就可通過(guò)例子實(shí)現(xiàn)對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)思維意識(shí)的培養(yǎng)。

例：先將1、2、3的相關(guān)配列一一列出，可將這些排列頁(yè)當(dāng)作自然排列123置換而來(lái)。對(duì)這些排列的逆序數(shù)進(jìn)行相關(guān)計(jì)算，根據(jù)逆序數(shù)的性質(zhì)分成奇排列和偶排列兩組，讓學(xué)生找出這兩組排列之間的關(guān)聯(lián)性，很容易就發(fā)現(xiàn)1、2、3的所有奇（偶）排列都是通過(guò)某個(gè)偶（奇）配列置換而來(lái)，進(jìn)一步形成（相鄰）對(duì)換理論。另外，由于1、2、3中排列的奇偶分別為3個(gè)，接著引導(dǎo)學(xué)生對(duì)1、2、3......n的所有排列問(wèn)題進(jìn)行思考。通過(guò)這種舉例子的方式不但能讓學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念有更深的理解，同時(shí)也有助于學(xué)生形成屬于自身的數(shù)學(xué)理論與感覺(jué)，進(jìn)而形成數(shù)學(xué)思維意識(shí)。

四、采用多元化的考核方式

隨著素質(zhì)教育的實(shí)施，傳統(tǒng)單一的以書面考試作為評(píng)價(jià)方式已經(jīng)不適合當(dāng)前學(xué)生發(fā)展需要，不利于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維意識(shí)。對(duì)此，教師還應(yīng)采取多元化的考核方式，在考試中滲透數(shù)學(xué)思維意識(shí)，可通過(guò)書面考試、課后訪談、大型作業(yè)以及小論文分析等形式進(jìn)行考核。比如在布置數(shù)學(xué)建模課題時(shí)，促使學(xué)生撰寫的論文以及報(bào)告必須獨(dú)立完成。在進(jìn)行課題研究時(shí)，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生對(duì)資源進(jìn)行整合、加工和處理，經(jīng)歷“分析問(wèn)題、建立模型、解決模型問(wèn)題、檢驗(yàn)拓展”的整個(gè)過(guò)程，以培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造型思維，從中獲得成就感。[7]學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)思想的靈活運(yùn)用，分析、概括實(shí)際課題的過(guò)程，需要學(xué)生自身對(duì)所學(xué)知識(shí)進(jìn)行提取、關(guān)聯(lián)、轉(zhuǎn)換和重組，提升學(xué)生的思維能力，同時(shí)也有助于培養(yǎng)學(xué)生的探索精神、協(xié)作精神，最終形成良好的數(shù)學(xué)思維能力。

五、結(jié)語(yǔ)

綜上所述，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維意識(shí)對(duì)其日后的發(fā)展至關(guān)重要，教師在教學(xué)過(guò)程中還應(yīng)采取有效的教學(xué)方式。針對(duì)學(xué)生所學(xué)專業(yè)選取合適的教學(xué)例子；理論教學(xué)是數(shù)學(xué)知識(shí)的源頭所在，因此還應(yīng)加強(qiáng)理論教學(xué)，幫助學(xué)生了解知識(shí)的來(lái)龍去脈；加強(qiáng)舉例教學(xué)能夠強(qiáng)化學(xué)生的獨(dú)立自主能力，形成良好的數(shù)學(xué)思維；最后采用多元化考核方式可促使學(xué)生充分思考，在不知不覺(jué)中形成數(shù)學(xué)思維。總之，線性代數(shù)教學(xué)中蘊(yùn)含了豐富的培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的知識(shí)，還需教師深入挖掘，不斷積累教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，采用合理的教學(xué)方式，促使學(xué)生更好地融入社會(huì)當(dāng)中。

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責(zé)任編輯：楊國(guó)棟