數(shù)學文化在《定積分的概念》教學中的滲透

蘇麗仙

摘 要：定積分的概念來源于求平面圖形的面積及其他一些實際問題；定積分的思想在古代數(shù)學家工作中，就已經(jīng)有了發(fā)現(xiàn)。為了該數(shù)學文化在教學中的滲透我特地上了一節(jié)《定積分的概念》的公開課，以下是教學實錄及其教后反思。

關鍵詞：數(shù)學文化 定積分 滲透

中圖分類號：G63 文獻標識碼：A 文章編號：1003-9082（2018）09-0-01

一、引出課題

師：上一節(jié)課我們給出了如何求一個曲邊梯形和曲邊三角形的面積的方法，那么這個方法具體有哪些步驟呢？

生： 有“四步曲”：分割----近似代替----求和----取極限。

師：用此方法我們還可以解決物理中的哪些問題？

生：計算變力所做的功；汽車走過的路；水庫渾洪時閘板所受的壓力等。

師：好，此方法用途之廣，但求解過程如此繁冗。那我們可不可以用一個更為簡便的數(shù)學符號來表示它？

生（異口同聲）：定積分。

師：很好，那我們?nèi)绾谓o“定積分”下定義呢？

二、給出定義

師（生念師板書并課件展示）：一個函數(shù)f（x）在區(qū)間[a， b]上曲邊梯形的面積，叫作函數(shù)f（x）在區(qū)間[a， b]上的定積分，記作

定積分有關名稱：

ò ———叫做積分號； a ————叫做積分下限；

f（x） ——叫做被積函數(shù)； b ————叫做積分上限；

f（x）dx —叫做被積表達式； [a， b] —叫做積分區(qū)間。

x ———叫做積分變量；

注： （1）積分號是拉長了的英文字母S，表示積分的計算是求和的推廣，此記號是德國數(shù)學家萊布尼茨引進的。

（2）定積分的符號具有一定的抽象性，它既是一個和式的極限也是一個確定的常數(shù)。

（3）式中x的可換成任意字母，意義不變。

三、解析定義

師：我們只有通過深入的研討琢磨，才能對定義的本質(zhì)與內(nèi)涵進一步理解和掌握。定積分到底是什么？同學們能否簡單表述一下？

生：曲邊梯形的面積是定積分。

師：很好，那定積分在幾何上可以怎樣表示呢？

生（與同桌開始討論）：定積分是曲邊梯形的區(qū)域位于直角坐標系中不同象限而取值符號不同。

師：對了，那具體有哪些不同呢？（教師課件展示，學生滔滔不絕回答）

生：

生：

生：當f（x）在區(qū)間[a， b]上既有正又有負時，積分就是x軸上方的面積加上x軸下方的負的面積。

教師適當放慢速度讓學生領悟以上兩個定積分與面積的符號關系，尋找被積函數(shù)f（x）在直角坐標系中圖象的位置。當學生感到困難時，教師要及時地點撥。

師：大家發(fā)現(xiàn)到了定積分與面積的符號關系？

生（小心翼翼）：曲邊梯形的區(qū)域若在x軸上方的定積分與面積的符號相同，若在x軸下方的定積分與面積符號相反。

師：非常好！那被積函數(shù)f（x）與其在直角坐標系中圖象的位置又有什么關系呢？

生（恍然大悟）：被積函數(shù)f（x）由圖可以寫成f（x）-0即上函數(shù)解析式減去下函數(shù)解析式。

學生高興地像哥倫布發(fā)現(xiàn)新大陸！

生（興奮回答）：

師（激動小結(jié)）：以上我們所研究的內(nèi)容就是定積分的幾何意義。在研究過程中運用到數(shù)形結(jié)合的思想方法，同學們要牢記這些幾何意義，在接下來的例題中發(fā)揮重大作用。那么大家再想想，若把曲邊梯形換成曲邊三角形甚至任意圖形上面的結(jié)論也成立嗎？

生（猶豫一下）：應當也成立。

師：對?。ú鍟f明）

四、應用定義

師（課件展示）：下面給出幾道練習，來檢驗大家對今天所學內(nèi)容是否領悟、理解和掌握。

例：如圖四個陰影部分，請用定積分分別表示它們的面積。

f（x）=（x-1）2-1

生（自信分析）：圖①的陰影部分區(qū)域位于x軸上方，且上函數(shù)解析式減去下函數(shù)解析式為x2-0即x2，所以陰影部分面積

生（自信分析）：圖②的陰影部分區(qū)域可以分成y軸左側(cè)和右側(cè)兩個部分，分別求出再相加即可。

以上是方法一。

生（激動）： 圖②的陰影部分區(qū)域位于第一和第二象限內(nèi)，且x[-1，2] 在上面的函數(shù)圖像和下面的函數(shù)圖像相對固定， 所以陰影部分面積

以上是方法二。

生（激動）：我明白了，那圖③陰影部分面積

師：根據(jù)剛才大家所分析可得解決圖②③的方法可以有兩個，顯然第二種方法簡便，在解題時具體用哪種方法更合適還要由圖像決定的。

當同學們做到圖④時，全班都沸騰了，各抒己見……

生： 圖④的陰影部分區(qū)域位于x軸上方和下方，且位于x軸上方不都是函數(shù)f（x）=（x-1）2-1，而位于x軸上方不都是函數(shù)y=0。

生：對喔，那我們就不能用圖②③的簡便方法來做了。

生： 圖④的陰影部分面積可以分成兩個部分來求： 一個位于x軸上方另一個位于x軸下方，先把兩個部分的面積分別求出來再相加即為所求， 所以陰影部分面積

師：看來本節(jié)課大家對知識的掌握還是比較全面的，個個分析地很到位。

五、課堂小結(jié)

師：這節(jié)課我們學習的主要內(nèi)容是定積分的概念，圍繞它我們做了深入的探究，現(xiàn)在我們來回顧一下。

生：由函數(shù)y=f（x），y=g（x）（f（x）≥g（x））及x=a，x=b所圍成的面積可以用定積分來表示。

師：如何表示？我們應當注意什么？

生（異口同聲）：圍成的區(qū)域若在x軸上方的定積分與面積的符號相同；若在x軸下方的定積分與面積符號相反；若既有在x軸上方又有在x軸下方的定積分就是x軸上方的面積加上x軸下方的負的面積。

師：我們在探究的過程中主要用到什么的數(shù)學思想方法？

生：數(shù)形結(jié)合。

生（興奮）：我們還學到了求不規(guī)則圖形面積的方法，不得不佩服前人的聰明才干，讓我們體會到了積分的威力！

師：很好，同學們經(jīng)過認真細致的分析和探究，對本節(jié)課的內(nèi)容領悟、理解和掌握。

六、教后反思

積分學的創(chuàng)立，被稱為“人類精神的最高勝利”，是數(shù)學史上更是人類歷史上的一件大事，若沒有積分學，我們科學研究和工程技術中的很多問題就無法得到解決。

本節(jié)課用“曲邊梯形的面積”來定義“定積分”概念，既直觀又方便，不過它依賴于幾何，也依賴于面積概念，所以在應用定積分來處理實際問題時，要掌握定積分與面積取值的符號，在教學過程中老師要特別強調(diào)以下兩點：

（1）

（2）圍成的區(qū)域在x軸下方的面積等于對應的定積分的相反數(shù)，這一點對于初學者來說很容易錯誤。

參考文獻

[1]吳小艷. 高職數(shù)學微積分教學中滲透數(shù)學文化的理論與實踐研究[D].蘇州大學，2010.

[2]陸斌.對高等數(shù)學教育改革的探討[J].科技信息（學術研究），2006（12）：92-93.