斐波那契恒等式的一種幾何解釋

曹嘉興??

斐波那契恒等式是指以下的恒等式[1]：

（a2+b2）（x2+y2）=（axby）2+（bx±ay）2.

這兩個(gè)恒等式是意大利著名數(shù)學(xué)家斐波那契（Fibonacci，約1170—1250）在他的名著《算盤書(shū)》（寫(xiě)于1202年）中給出的，它們說(shuō)明了如果兩個(gè)數(shù)都能表示成兩個(gè)平方數(shù)的和，那么它們的乘積也能表示成兩個(gè)平方數(shù)的和.斐波那契恒等式是二次型的高斯理論以及近代數(shù)論中某些發(fā)展的起源，長(zhǎng)期以來(lái)人們較多的關(guān)注斐波那契恒等式在代數(shù)和數(shù)論方面的意義（如文[2]和文[3]），忽視了對(duì)斐波那契恒等式幾何意義的探究，經(jīng)過(guò)研究筆者發(fā)現(xiàn)了斐波那契恒等式的一種幾何解釋，也就是下面的定理：

定理 在Rt△ABC中，D是斜邊AB上的任意一點(diǎn)，則

（CD·AB）2=（AD·BC）2+（BD·AC）2.圖1

證明 如圖1，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥BC，垂足為點(diǎn)E，則由△BDE∽△BAC得DEAC=BDAB，所以DE=BD·ACAB，由DE∥AC得CEBC=ADAB，所以CE=AD·BCAB.

在Rt△DCE中，由勾股定理得CD2=CE2+DE2，

所以CD2=（AD·BCAB）2+（BD·ACAB）2，

即（CD·AB）2=（AD·BC）2+（BD·AC）2.

注記1 在Rt△ABC中，若點(diǎn)D為斜邊AB的中點(diǎn)，根據(jù)“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”得CD=AD=BD，再由上述定理可得AB2=BC2+AC2，這就是著名的勾股定理，因此上述定理是勾股定理的一種推廣.圖2

不妨設(shè)a、b、x、y均為正數(shù)，在Rt△ABC中，D是斜邊AB上的任意一點(diǎn)，作CE⊥AB，垂足為點(diǎn)E，若點(diǎn)E落在線段AD上，如圖2，記BC=a，AC=b，CE=x，DE=y.由△ACE∽△ABC得AEAC=CEBC，所以AE=AC·CEBC=bxa，所以AD=AE+DE=bxa+y.由△BCE∽△BAC得BEBC=CEAC，所以BE=BC·CEAC=axb，所以BD=BE-DE=axb-y.

所以（AD·BC）2+（BD·AC）2=（bxa+y）a2+（axb-y）b2

=（bx+ay）2+（ax-by）2.

由勾股定理得CD2=CE2+DE2=x2+y2，AB2=BC2+AC2=a2+b2，

所以（CD·AB）2=CD2·AB2=（x2+y2）（a2+b2）.

由本文定理可得

（a2+b2）（x2+y2）=（ax-by）2+（bx+ay）2.

這正是著名的斐波那契恒等式，由此可見(jiàn)本文定理可看作是斐波那契恒等式（a2+b2）（x2+y2）=（ax-by）2+（bx+ay）2的一種幾何解釋.

注記2 在Rt△ABC中，D是斜邊AB上的任意一點(diǎn)，作CE⊥AB，垂足為點(diǎn)E，若點(diǎn)E落在線段BD上，運(yùn)用與上面相同的推理方法不難得到：

（AD·BC）2+（BD·AC）2=（bx-ay）2+（ax+by）2，

（CD·AB）2=（x2+y2）（a2+b2），

再由本文定理可得

（a2+b2）（x2+y2）=（ax+by）2+（bx-ay）2.

因此本文定理也可看作是斐波那契恒等式（a2+b2）（x2+y2）=（ax+by）2+（bx-ay）2的一種幾何解釋.

參考文獻(xiàn)

[1]單墫.數(shù)學(xué)名題詞典[M].南京：江蘇教育出版社，2002：136-137.

[2]朱華偉，錢展望.數(shù)學(xué)解題策略[M].北京：科學(xué)出版社，2009：321-328.

[3]高寧，張?jiān)诿?一道經(jīng)典題目與一個(gè)經(jīng)典恒等式的淵源[J].玉溪師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2012，28（12）：14-17.