曹嘉興??
斐波那契恒等式是指以下的恒等式[1]:
(a2+b2)(x2+y2)=(axby)2+(bx±ay)2.
這兩個(gè)恒等式是意大利著名數(shù)學(xué)家斐波那契(Fibonacci,約1170—1250)在他的名著《算盤書(shū)》(寫(xiě)于1202年)中給出的,它們說(shuō)明了如果兩個(gè)數(shù)都能表示成兩個(gè)平方數(shù)的和,那么它們的乘積也能表示成兩個(gè)平方數(shù)的和.斐波那契恒等式是二次型的高斯理論以及近代數(shù)論中某些發(fā)展的起源,長(zhǎng)期以來(lái)人們較多的關(guān)注斐波那契恒等式在代數(shù)和數(shù)論方面的意義(如文[2]和文[3]),忽視了對(duì)斐波那契恒等式幾何意義的探究,經(jīng)過(guò)研究筆者發(fā)現(xiàn)了斐波那契恒等式的一種幾何解釋,也就是下面的定理:
定理 在Rt△ABC中,D是斜邊AB上的任意一點(diǎn),則
(CD·AB)2=(AD·BC)2+(BD·AC)2.圖1
證明 如圖1,過(guò)點(diǎn)D作DE⊥BC,垂足為點(diǎn)E,則由△BDE∽△BAC得DEAC=BDAB,所以DE=BD·ACAB,由DE∥AC得CEBC=ADAB,所以CE=AD·BCAB.
在Rt△DCE中,由勾股定理得CD2=CE2+DE2,
所以CD2=(AD·BCAB)2+(BD·ACAB)2,
即(CD·AB)2=(AD·BC)2+(BD·AC)2.
注記1 在Rt△ABC中,若點(diǎn)D為斜邊AB的中點(diǎn),根據(jù)“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”得CD=AD=BD,再由上述定理可得AB2=BC2+AC2,這就是著名的勾股定理,因此上述定理是勾股定理的一種推廣.圖2
不妨設(shè)a、b、x、y均為正數(shù),在Rt△ABC中,D是斜邊AB上的任意一點(diǎn),作CE⊥AB,垂足為點(diǎn)E,若點(diǎn)E落在線段AD上,如圖2,記BC=a,AC=b,CE=x,DE=y.由△ACE∽△ABC得AEAC=CEBC,所以AE=AC·CEBC=bxa,所以AD=AE+DE=bxa+y.由△BCE∽△BAC得BEBC=CEAC,所以BE=BC·CEAC=axb,所以BD=BE-DE=axb-y.
所以(AD·BC)2+(BD·AC)2=(bxa+y)a2+(axb-y)b2
=(bx+ay)2+(ax-by)2.
由勾股定理得CD2=CE2+DE2=x2+y2,AB2=BC2+AC2=a2+b2,
所以(CD·AB)2=CD2·AB2=(x2+y2)(a2+b2).
由本文定理可得
(a2+b2)(x2+y2)=(ax-by)2+(bx+ay)2.
這正是著名的斐波那契恒等式,由此可見(jiàn)本文定理可看作是斐波那契恒等式(a2+b2)(x2+y2)=(ax-by)2+(bx+ay)2的一種幾何解釋.
注記2 在Rt△ABC中,D是斜邊AB上的任意一點(diǎn),作CE⊥AB,垂足為點(diǎn)E,若點(diǎn)E落在線段BD上,運(yùn)用與上面相同的推理方法不難得到:
(AD·BC)2+(BD·AC)2=(bx-ay)2+(ax+by)2,
(CD·AB)2=(x2+y2)(a2+b2),
再由本文定理可得
(a2+b2)(x2+y2)=(ax+by)2+(bx-ay)2.
因此本文定理也可看作是斐波那契恒等式(a2+b2)(x2+y2)=(ax+by)2+(bx-ay)2的一種幾何解釋.
參考文獻(xiàn)
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[2]朱華偉,錢展望.數(shù)學(xué)解題策略[M].北京:科學(xué)出版社,2009:321-328.
[3]高寧,張?jiān)诿?一道經(jīng)典題目與一個(gè)經(jīng)典恒等式的淵源[J].玉溪師范學(xué)院學(xué)報(bào),2012,28(12):14-17.
中學(xué)數(shù)學(xué)雜志(初中版)2018年4期