性質(zhì)作圖 “認(rèn)”性可識(shí)

鄒黎明　浦?jǐn)⒌?/p>

1 引言

作圖中考試題，也譜出新曲.性質(zhì)作圖，圖形中隱藏的特征，是作圖切入的關(guān)鍵；2018年無(wú)錫市中考作圖題的位置從第24題的位置后移到第26題，能力要求大為提高，這個(gè)作圖題引起了大家的關(guān)注.

例1 如圖1，平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)B的坐標(biāo)為（6，4）.

（1）請(qǐng)用直尺（不帶刻度）和圓規(guī)作一條直線AC，它與x軸和y軸的正半軸分別交于點(diǎn)A和點(diǎn)C，且使∠ABC=90°，△ABC與△AOC的面積相等.（作圖不必寫作法，但要保留作圖痕跡.）

（2）問(wèn)：（1）中這樣的直線AC是否唯一？若唯一，請(qǐng)說(shuō)明理由；若不唯一，請(qǐng)?jiān)趫D中畫出所有這樣的直線AC，并寫出與之對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式.

2 試題解析

這種題目的作圖究竟怎么完成？其方法是反想，就是假設(shè)能夠作出，有什么特征呢？（1）從∠ABC=∠AOC=90°，△ABC與△AOC的面積相等，可以得到△ABC與△AOC是全等三角形，相當(dāng)于這里隱藏了如下特征：斜邊公共，面積相等的兩個(gè)直角三角形全等，很容易想到作出矩形ABCO，這個(gè)情況幾乎都能夠想到.

（2）有沒有其他圖形呢？從兩個(gè)全等直角三角形拼出圖形，除了矩形，還有是箏形，從∠AOC=∠ABC=90°，得到四邊形ABCO有外接圓，從△AOC與△ABC的面積相等，得到AC所在直線是四邊形ABCO的對(duì)稱軸，可以得到AC垂直平分OB，于是得到箏形ABCO的做法，連接OB作出OB的垂直平分線AC分別交x軸、y軸于A、C.

解 （1）過(guò)B作BA⊥x軸，過(guò)B作BC⊥y軸.

（2）①如圖2，矩形ABCO，從B（6，4），得到A（6，0），C（0，4），y=-23x+4.

②如圖3，連接OB作出OB的垂直平分線AC分別交x軸、y軸于A、C.得到CB=CO，AB=AO，AC=AC，得到△AOC≌△ABC，得到∠ABC=∠AOC=90°，作BE⊥x軸于E，得到OE=6，BE=4，設(shè)OA=AB=a，AE=6-a，

得到a2=（6-a）2+42，a=133，A（133，0）；容易得到△AOC∽△BEO，得到

COOE=OABE，得到CO=132，C（0，132），得到y(tǒng)=-32x+132，

lAC：y=-32x+132或y=-23x+4.

點(diǎn)評(píng) 從條件中“它與x軸和y軸的正半軸分別交于點(diǎn)A和點(diǎn)C”，我們自然想到去掉“正半軸”這個(gè)限制，也就是直角三角形AOC、BAC位于斜邊AC的同側(cè)，這個(gè)情況存在嗎？

變式 如圖1，平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)B的坐標(biāo)為（6，4），

請(qǐng)用直尺（不帶刻度）和圓規(guī)作一條直線AC，它與x軸的正半軸交于點(diǎn)A、和y軸負(fù)半軸交于點(diǎn)C，且使∠ABC=90°，△ABC與△AOC的面積相等.（作圖不必寫作法，但要保留作圖痕跡.）

解析 點(diǎn)M在OB的垂直平分線上，作圖可以這樣完成：連接OB，作出OB的垂直平分線交y軸于M，連接MB并延長(zhǎng)交x軸于A，在y軸負(fù)半軸截取OC=AB.如圖4中的M，就是圖3中的C，類似可以求出lAC：y=23x-525.

這個(gè)問(wèn)題相當(dāng)于要解決如下問(wèn)題：

如圖5，已知：∠AOC=∠ABC=90°，△ABC與△AOC的面積相等，延長(zhǎng)CO、AB交于M，求證：△MAC是等腰三角形.

點(diǎn)評(píng) 這種作圖題能力要求比較高，通過(guò)反向思考，發(fā)掘出題目中隱藏的幾何特征，箏形的作圖是通過(guò)作出OB的垂直平分線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)來(lái)完成.

3 傳音

例2 如圖6，在每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1的網(wǎng)格中，△ABC的頂點(diǎn)A、B、C均在格點(diǎn)上.

（1）∠ACB的大小為 度；

（2）在如圖6，所示的網(wǎng)格中，P是BC邊上任意一點(diǎn)，以A為中心，取旋轉(zhuǎn)角等于∠BAC，把點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為P′.當(dāng)CP′最短時(shí)，請(qǐng)用無(wú)刻度的直尺，畫出點(diǎn)P′，并簡(jiǎn)要說(shuō)明點(diǎn)P′的位置是如何找到的（不要求證明）.（2018年天津市中考試題第18題）

解析 （1）AC是3×3正方形的對(duì)角線，BC是4×4正方形的對(duì)角線，可以得到∠ACB=45°+45°=90°.

（2）我們反向思考假設(shè)如圖7就是滿足要求的點(diǎn)P′，因?yàn)椤螾AP′=∠BAC，得到∠P′AC=∠PAB，連接P′C，我們從有旋轉(zhuǎn)角的特征希望看到有與△ACP′全等的三角形，我們想到在AB上截取AQ=AC，連接QP，可以得到△ACP′≌△AQP，得到CP′=PQ，要求P′C的最小值，只要研究PQ的最小值，因?yàn)辄c(diǎn)Q是定點(diǎn)，AC是定線段，所以當(dāng)PQ⊥BC時(shí)，PQ取得最小值.

題目中要作出P′，我們考慮能不能把△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)△BAC到△AFL，AC=32，BC=42，∠ACB=90°，AB=52，考慮把AB逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)△CAB，得到AF=AB=52，F(xiàn)是格點(diǎn)，可以標(biāo)出，能不能標(biāo)出L呢？因?yàn)镕L是7×1長(zhǎng)方形的對(duì)角線的一部分，網(wǎng)格上從F向左邊只有6×1的對(duì)角線，這里有一個(gè)關(guān)鍵的作圖就是作出7×1矩形對(duì)角線交點(diǎn)，只要從F向左邊第四個(gè)正方形對(duì)角線交點(diǎn)G就是了，連接FG，F(xiàn)G就是邊FL的一部分，只要逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)∠ABC就可以了，L不需要標(biāo)出；

這里還有一個(gè)重要的特征，P′點(diǎn)確定我們不是通過(guò)作CP′⊥FG來(lái)完成的，我們把P′C的延長(zhǎng)交AB于T，我們?cè)谶@里要想到PQ∥AC，得到∠PQB=∠CAB，從∠ACP′=∠AQP，得到∠P′CF=∠PQB，所以∠P′CF=∠CAB，因?yàn)椤螾′CF=∠ACT，得到∠ACT=∠CAB，得到CT=AT，可以得到點(diǎn)T是AB的中點(diǎn)，我們發(fā)現(xiàn)AB的中點(diǎn)T可以通過(guò)從點(diǎn)A向右邊第四個(gè)正方形連接對(duì)角線作出，這是用無(wú)刻度的直尺作出的；圖8

解答（2） 如圖8，取格點(diǎn)D、E，連接DE得到與AB的交點(diǎn)T，點(diǎn)T是AB的中點(diǎn)，取格點(diǎn)M、N，連接MN與BC延長(zhǎng)線交于G，取格點(diǎn)F，連接FG，連接TC并延長(zhǎng)交FG于P′，點(diǎn)P′就是要求作的點(diǎn).

點(diǎn)評(píng) 這個(gè)題目首先通過(guò)繞點(diǎn)A把∠B旋轉(zhuǎn)到∠AFG位置，另一方面通過(guò)作出Rt△ABC斜邊上中線的反向延長(zhǎng)線來(lái)確定P′，真是“?！卑?！

例3 （自編）如圖9，在直角坐標(biāo)系xOy上，點(diǎn)A（-4，0），直線x=2，請(qǐng)?jiān)趫D中作出等邊△ABC，使得點(diǎn)C在y軸負(fù)半軸上，點(diǎn)B在直線x=2上（尺規(guī)作圖）.

解析 如圖10，假設(shè)△ABC就是滿足題意的等邊三角形，作CE⊥AB于E，連接OE，作EF⊥x軸于F，直線x=2與x軸交于M，得到AM=6，AO=4，因?yàn)锳C=CB，CE⊥AB，得到AE=EB，∠ACE=∠ECB=30°；從EF∥BM，得到AF=FM=3，OF=4-3=1；另一方面關(guān)鍵的是從∠AEC=∠AOC=90°，得到四邊形AEOC有外接圓，得到∠AOE=∠ACE=30°，這樣只要先確定點(diǎn)E，

等邊△ABC就可以作出來(lái).如何確定點(diǎn)E呢？因?yàn)镋是AB的中點(diǎn)，EF⊥AM，得到AF=FM，所以點(diǎn)E在AM的垂直平分線上，以及作出∠AOE=30°，與邊OE交于E，作30°角可以作它的余角60°，也就是第2象限作出一個(gè)一條邊在y軸的正半軸，一個(gè)頂點(diǎn)是O的等邊三角形.圖11

如圖11，作出等邊三角形OLZ，作出AM的垂直平分線交OL于E，連接AE并延長(zhǎng)交直線x=2于B，以A為圓心，AB為半徑作弧交y軸負(fù)半軸于C，連接BC，得到等邊△ABC.

點(diǎn)評(píng) 這個(gè)作圖必須看出一個(gè)有外接圓的四邊形，得到特殊角.通過(guò)反向思考，發(fā)掘出其中的特征，從而確定一些特殊位置的點(diǎn)，進(jìn)而逐步化解問(wèn)題，這些題目的難度毫不遜色于傳統(tǒng)幾何證明題.