角度暗藏玄機(jī) 比例明晰方向

尚凡青　魏相清

個題目：如圖1，在△ABC中，點(diǎn)O在線段BC上，∠BAO=30°，∠OAC=75°，AO=33，BO∶CO=1∶3，求AB的長.

經(jīng)過社團(tuán)成員討論發(fā)現(xiàn)，過點(diǎn)B作BD∥AC，交AO的延長線于點(diǎn)D，通過構(gòu)造△ABD就可以解決問題（如圖2）.

請回答：∠ABD= °，AB= .

說明：上述試題改編自北京市2014年中考數(shù)學(xué)試題第22題，保持了東營市中考數(shù)學(xué)試題命題的近幾年風(fēng)格，以改編題為主；該題看似無從下手，實則暗藏玄機(jī)，認(rèn)真分析后就會發(fā)現(xiàn)可以通過構(gòu)造相似的基本圖形或角平分線的基本圖形將問題解決，考查了初中階段的核心知識；此外，該題作為此題的第（1）問，以填空題的形式出現(xiàn)降低了難度，減輕了學(xué)生的心理負(fù)擔(dān)，也為研究第（2）問指明了方向，兼具中考試題的選拔功能，是一道不錯的試題.2 解法簡析

作為一線教師在研究中考試題過程中，筆者認(rèn)為需要考慮的第一步就是除了參考答案提供的方法（此處以提示的形式呈現(xiàn)，要求學(xué)生簡單填空）以外，還有沒有其他方法？做到“入寶山而不空返”（羅增儒語），因此，下面針圖3對上述問題再給出幾種其他解法.

方法1：過點(diǎn)C作CG∥AB，交AO的延長線于點(diǎn)G，通過構(gòu)造△AGC就可以解決問題（如圖3）.

方法2：過點(diǎn)O作OE∥AC，交AB于點(diǎn)E，通過構(gòu)造△AOE就可以解決問題（如圖4）.

方法3：過點(diǎn)O作OF∥AB，交AC于點(diǎn)F，通過構(gòu)造△AOF就可以解決問題（如圖5）.

說明 試題中的提示和方法1是受BO∶CO=1∶3的啟發(fā)，在圖形外部通過構(gòu)造相似的基本圖形（X型圖）解決問題；方法2和方法3則是受上述啟發(fā)，在圖形內(nèi)部構(gòu)造相似的基本圖形（A型圖）解決問題.然后，還要通過告訴的角度發(fā)現(xiàn)隱藏的條件（30°+2×75°=180°），進(jìn)而發(fā)現(xiàn)△ABD、△AGC、△AOE、△AOF等都是等腰三角形，從而順利解決問題.

除了按照上述提示，應(yīng)用方法1、2、3可以解決問題外，還有其他方法嗎？上述方法最早的出發(fā)點(diǎn)是題干中的比例關(guān)系，然后再通過角度關(guān)系，發(fā)現(xiàn)了等腰三角形，那么我們能否先從題干中告訴的角度入手呢？答案是肯定的.圖6

方法4：過點(diǎn)O作OH⊥AB，CI⊥AO，垂足分別為H和I，過點(diǎn)C作CJ垂直于BA的延長線于點(diǎn)J（如圖6）.

根據(jù)題干條件易得：OH=332，CJ=CI=63；

然后根據(jù)S△ABO+S△ACO=S△ABC可得：12×AB×323+12×33×63=12×AB×63，

解得：AB=43.

說明 上述方法首先從題干中給的角度的條件入手，發(fā)現(xiàn)30°+2×75°=180°，此時如果延長BA的話，就會出現(xiàn)角平分線，于是此時嘗試構(gòu)造角平分線的基本圖形[1]將問題解決；當(dāng)然如何應(yīng)用題干中的比例關(guān)系成了接著需要考慮的問題，于是有了圖6中的輔助線OH（此時出現(xiàn)了相似的基本圖形A型圖）；最后應(yīng)用“面積相等，算兩次”的方法將問題解決，這種方法是教材中證明勾股定理的方法，在很多考題中也有出現(xiàn)，需要引起一線教師的足夠重視.3 兩點(diǎn)思考

3.1 角度暗藏玄機(jī)

通過上面的介紹可以看出，發(fā)現(xiàn)題干中告訴的角度之間的關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵，那么如何發(fā)現(xiàn)這種暗藏的玄機(jī)呢？很多文章都有介紹[2]，不過筆者認(rèn)為不斷的“試誤”，不斷的糾偏，也是一種不錯的方法，在解決此問題的過程中最難做的是如何處理75°的這個角，曾經(jīng)嘗試將75°分為30°和45°的兩個角，這樣也可以出現(xiàn)角平分線的基本圖形，但是在這種思路下，題干中的比例關(guān)系用不上，于是才有了上述方法4.

3.2 比例明晰方向

我們有理由相信上述方法4不容易想到，題干中最容易下手的就是比例關(guān)系，而處理比例關(guān)系的方式就是構(gòu)造相似來解決[3]，于是試題中的提示和方法1、2、3都是通過在圖形外或圖形內(nèi)構(gòu)造相似的基本圖形來解決的，這樣就會讓問題迎刃而解.4 拓展再編

再編1：通過上面的介紹可以看出題干中的關(guān)鍵條件一個是角度的關(guān)系，一個是比例的關(guān)系，那么能否將上述兩個條件更一般化呢？

如前文圖1，在△ABC中，點(diǎn)O在線段BC上，∠BAO=α，∠OAC=β，且滿足α+2β=180°，AO=a，BO∶CO=1∶n，求AB的長.

此題的答案是AB=an+a，與題干中告訴的角度沒有關(guān)系.圖7

再編2：求AC的長.

在等腰△ABD中易得BD=2ABcosβ，又BDAC=BOCO=1n，即2ABcosβAC=1n，解得AC=2nABcosβ=2a（n+1）cosβ.

至此，我們有理由猜測此題最初的命題靈感，可能是來自于下述角平分線的基本圖形（如圖7，AD平分∠BAC）中蘊(yùn)含的結(jié)論（ABAC=BDCD），特別是試題中的提示方法正是證明此結(jié)論的典型方法.

中考試題是命題專家集體智慧的結(jié)晶，作為一線教師在教學(xué)中應(yīng)該認(rèn)真研究中考試題，特別是本地區(qū)的中考試題，自己先跳進(jìn)“題?！保瑢W(xué)生從“題?！敝薪夥懦鰜恚瑸檎嬲龑崿F(xiàn)學(xué)生減負(fù)貢獻(xiàn)一份力量.此外，解題能力也是數(shù)學(xué)教師必須具備的基本功，相信在這個過程中必會加速自身的專業(yè)成長.

參考文獻(xiàn)

[1]高厚良.對“角的平分線”教學(xué)的思考——從一次“滬皖同課異構(gòu)”教學(xué)展示談起[J].中學(xué)數(shù)學(xué)雜志，2016（4）.

[2]王永松.挖掘題目中的“隱含條件” 突破“非特殊角”的壁壘[J].中學(xué)數(shù)學(xué)（下半月），2017（12）.

[3]于彬，王師森.一次青年教師解題比賽中的解題思考[J].中國數(shù)學(xué)教育（初中版），2017（6）.