也談等腰三角形的美好性質(zhì)

張寧

1 對(duì)文[1]中結(jié)論的分析

一方面，“等腰三角形外（內(nèi)）有條過頂點(diǎn)的直線”中，“頂點(diǎn)”指代不明確，等腰三角形的頂點(diǎn)有“頂角頂點(diǎn)”和“底角頂點(diǎn)”之分，從文[1]中給出的證明可以看出，這里的“頂點(diǎn)”指的是等腰三角形的“頂角頂點(diǎn)”；一條直線不可能在三角形的內(nèi)部，“等腰三角形內(nèi)有條過頂點(diǎn)的直線”這句話也值得商榷.另一方面，經(jīng)過等腰三角形頂角頂點(diǎn)的直線與等腰三角形有三種位置關(guān)系：一是直線只經(jīng)過等腰三角形的頂角頂點(diǎn)，直線與等腰三角形再無其它公共點(diǎn)；二是等腰三角形的一條腰在這條直線上；三是直線經(jīng)過等腰三角形內(nèi)部.當(dāng)直線經(jīng)過等腰三角形內(nèi)部時(shí)，有一種情況結(jié)論是不成立的，即當(dāng)經(jīng)過頂角頂點(diǎn)的直線垂直或平分等腰三角形底邊時(shí)，結(jié)論不成立.圖1

如圖1，△ABC是等腰三角形，AB=AC，直線l垂直或平分BC，底角頂點(diǎn)B、C到直線l的距離分別為BD、CE，顯然垂足D、E重合，所以BD-CE=0，DE=0，故結(jié)論不成立.2 結(jié)論的改進(jìn)

一條直線l經(jīng)過等腰△ABC的頂角頂點(diǎn)A，過底角頂點(diǎn)B、C分別作直線l的垂線，若點(diǎn)B、C到直線l的距離分別為h1、h2，垂足間的距離為d，∠ABC=∠ACB=α，則

（1）當(dāng)直線l只經(jīng)過頂角頂點(diǎn)A，且與△ABC再無其它公共點(diǎn)；或△ABC的一條腰在直線l上時(shí)，h1+h2=dtanα；

（2）當(dāng)直線l經(jīng)過△ABC的內(nèi)部（不與底邊BC的垂直平分線重合）時(shí)，|h1-h2|=dtanα.3 結(jié)論的證明

對(duì)于結(jié)論（1），當(dāng)△ABC的一條腰在直線l上時(shí)，h1與h2中有一個(gè)為0，由直角三角形的邊角關(guān)系易知結(jié)論成立，證明從略.當(dāng)直線l只經(jīng)過頂角頂點(diǎn)A，且與△ABC再無其它公共點(diǎn)時(shí)，文[1]給出了四種證明方法，這里再給出兩種簡(jiǎn)證.

如圖2～3，在△ABC中，AB=AC，∠ABC=∠ACB=α，直線l經(jīng)過點(diǎn)A，BD⊥l，CE⊥l，垂足分別為D、E，則BD=h1，CE=h2，DE=d.圖2

證法1 如圖2，取BC的中點(diǎn)F，過F作FG⊥l，垂足為G，連接AF、EF.

易知∠AEC=∠AFC=90°，所以A、E、C、F四點(diǎn)共圓，所以∠AEF=∠ACB=α.易知四邊形BCED是直角梯形，F(xiàn)G是它的中位線，所以DE=2EG，BD+CE=2FG，即EG=12d，F(xiàn)G=12（h1+h2）.

在Rt△EFG中，tan∠AEF=FGEG=h1+h2d，所以tanα=h1+h2d，即h1+h2=dtanα.圖3

證法2 如圖3，取BC的中點(diǎn)F，連接AF.連接DF并延長，交EC的延長線于點(diǎn)G.

易知∠ADB=∠AFB=90°，所以A、D、B、F四點(diǎn)共圓，所以∠EDG=∠ABC=α.易知四邊形BCED是直角梯形，△BDF≌△CGF，所以S梯形BCED=S△DEG.

易知S梯形BCED=12（h1+h2）d，S△DEG=12d2tanα，所以12（h1+h2）d=12d2tanα，所以h1+h2=dtanα.

對(duì)于結(jié)論（2），有如下簡(jiǎn)證.圖4

如圖4，在△ABC中，AB=AC，∠ABC=∠ACB=α，直線l經(jīng)過點(diǎn)A，且與底邊BC相交（交點(diǎn)不是BC的中點(diǎn)），BD⊥l，CE⊥l，垂足分別為D、E，則BD=h1，CE=h2，DE=d.

取BC的中點(diǎn)H，連接DH、AH.延長BD到G，使DG=BD，連接CG，過G作GF⊥CE，垂足為F.

易知A、B、D、H四點(diǎn)共圓，所以∠ADH=∠ABC=α.

易知FG=DE=d，CF=CE-DG=CE-BD=|h1-h2|.

易知DH∥CG，AD∥FG，所以∠CGF=∠ADH=α.

在Rt△CFG中，tan∠CGF=CFFG=|h1-h2|d，所以tanα=|h1-h2|d，即|h1-h2|=dtanα.

參考文獻(xiàn)

[1]周磊.等腰三角形的美好性質(zhì)[J].中學(xué)數(shù)學(xué)雜志，2018（4）：38-40.