共圓

材已經(jīng)不學(xué)習(xí)四點(diǎn)共圓了,或者把四點(diǎn)共圓放在閱讀材料中,但是如果我們學(xué)會(huì)四點(diǎn)共圓,如果選擇、填空題里有幾何難題,那不管我們用什么方法,把答案做對(duì)就沒問題。考場(chǎng)上的書寫表達(dá),有一種“改頭換面”的方法——將用了四點(diǎn)共圓的書寫方法,改寫成沒用四點(diǎn)共圓的書寫方法。一、 引例在剛剛結(jié)束的2023年中考,安徽省中考試卷中第22題是一道幾何綜合性的解答題,不少學(xué)生表示題目難度比較大,尤其是第二問無從下手?，F(xiàn)在我們一起來研究這道題?！疽?2023年安徽第22題)在Rt△

,E,C,H四點(diǎn)共圓，所以∠EHC=∠EBC①．由于AD∥BC，則有∠BCA=∠DAC=45°．在△APH中，由于BP⊥AC，則∠APB=45°，所以∠BCA=∠APB，故A,B,C,P四點(diǎn)共圓，因此∠EBC=∠APC②．由AC為直徑，得∠PFC=90°，又由于∠PHC=90°，故F,H,C,P四點(diǎn)共圓，則∠APC=∠AHF③．由①②③得∠AHF=∠EHC．圖2圖3圖4說明本題主要是通過圖形中邊與邊、角與角之間的關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)換．證法1直接搭建起角相等的橋梁，

1,Q,F2四點(diǎn)共圓.(2019年高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽江西預(yù)賽第10題)四點(diǎn)共圓由解析幾何的代數(shù)計(jì)算來判定，思路有些單調(diào).借助圖形結(jié)構(gòu)的幾何性質(zhì)和四點(diǎn)共圓的純幾何判定定理，我們可以從邊長(zhǎng)度的計(jì)算去得到結(jié)論.上面的證法充分發(fā)掘橢圓中線段比例關(guān)系的特殊性質(zhì)，這些性質(zhì)使得我們?cè)谔幚硗欣彰芏ɡ砗退固赝郀柖ɡ碇羞呴L(zhǎng)運(yùn)算時(shí)更加靈活便利,這表明借助幾何定理，在解析幾何中也能提高推理和計(jì)算的效率.通過以上多種思路探究和推理論證,既豐富了我們的解題方法,也拓展了我們對(duì)問題的理解,這

洛川 濮安山四點(diǎn)共圓問題通常通過構(gòu)造輔助線與相似三角形等知識(shí)相結(jié)合，尋找邊角之間的數(shù)量關(guān)系，進(jìn)行轉(zhuǎn)換，得到有效結(jié)論，利用對(duì)應(yīng)的證明方法證明四點(diǎn)共圓.本文通過幾個(gè)典型例題總結(jié)分析數(shù)學(xué)競(jìng)賽中四點(diǎn)共圓問題的不同證明方法，供參考.一、利用三點(diǎn)確定一個(gè)圓首先證明四點(diǎn)中的任意三點(diǎn)共圓，再證明第四個(gè)點(diǎn)在圓上.圖1例1 如圖1，設(shè)H為銳角三角形ABC的垂心，點(diǎn)D在直線AC上，HA=HD，四邊形ABEH為平行四邊形.證明：B,E,C,D,H五點(diǎn)共圓.分析：本題雖然是一道證明

圖形的性質(zhì).四點(diǎn)共圓是一類富有和諧美的幾何問題,如何將其轉(zhuǎn)化成為代數(shù)問題是一個(gè)難點(diǎn), 在全國高考和各地模考中四點(diǎn)共圓問題經(jīng)常出現(xiàn). 文[1]通過對(duì)五道高考試題中的四點(diǎn)共圓進(jìn)行賞析, 統(tǒng)一使用了圓的定義進(jìn)行證明. 文[2]通過對(duì)文[1]中的四點(diǎn)共圓的結(jié)論進(jìn)行推廣,統(tǒng)一使用了相交弦定理的逆定理進(jìn)行證明. 本文利用解析法,借助兩個(gè)結(jié)論:共底邊的兩個(gè)三角形頂角相等,且在底邊的同側(cè),則四點(diǎn)共圓;凸四邊形對(duì)角互補(bǔ), 則四個(gè)頂點(diǎn)共圓, 對(duì)數(shù)學(xué)通報(bào)上一類四點(diǎn)共圓問題進(jìn)行了

點(diǎn)A,B,C,D共圓.這是證明四點(diǎn)共圓的一個(gè)重要結(jié)論，類比于此，那么圓錐曲線上四點(diǎn)共圓時(shí)，應(yīng)滿足怎樣的關(guān)系呢？1 試題再現(xiàn)(1)求C的方程；2 解法探析2.1 第(1)問解析2.2 第(2)問解析消去y并整理，得由韋達(dá)定理,得所以|TA|·|TB|設(shè)直線PQ的斜率為k2，同理可得由|TA|·|TB|=|TP|·|TQ|，即有顯然k1-k2≠0，故k1+k2=0.即直線AB與直線PQ的斜率之和為0.則過A,B,P,Q四點(diǎn)的曲線系方程為因?yàn)閨TA|·|TB|=

一）教學(xué)內(nèi)容四點(diǎn)共圓的條件的探究和證明。（二）內(nèi)容解析四點(diǎn)共圓的條件是在學(xué)習(xí)了過一個(gè)點(diǎn)的圓、過兩個(gè)點(diǎn)的圓、過不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)的圓、三角形與圓的關(guān)系、圓的內(nèi)接四邊形后，對(duì)經(jīng)過任意三點(diǎn)都不在同一條直線上的四點(diǎn)共圓的條件的探究。在學(xué)過“圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)”后，相應(yīng)地，會(huì)產(chǎn)生這樣的疑問：對(duì)角互補(bǔ)的四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓嗎？探究四點(diǎn)共圓的條件是促進(jìn)學(xué)生思維自然生長(zhǎng)的需要，也是進(jìn)一步在數(shù)學(xué)活動(dòng)中培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的需要。在四點(diǎn)共圓條件的探究過程中，通過

等圓，則此4頂點(diǎn)共圓．文獻(xiàn)[1]對(duì)定理1的純幾何證明略顯復(fù)雜．其實(shí)定理1當(dāng)是源自于一個(gè)漂亮的幾何恒等式．而這個(gè)幾何恒等式也是楊路教授得到的，并收錄在文獻(xiàn)[2]中，即是：定理2[2]平面凸四邊形A1A2A3A4中|AiAj|=aij(1≤i(R1R2+R3R4)a12a34+(R1R4+R2R3)a14a23=(R1R3+R2R4)a13a24．定理1的證明因四個(gè)外接圓中有3個(gè)是等圓，不妨設(shè)R1=R2=R3=R，代入定理2的恒等式可知三項(xiàng)的系數(shù)均為R(R+R

,A,B,C四點(diǎn)共圓,得∠CBE=∠APC.①連結(jié)CE.由AC為圓的直徑,得∠CEA=90°=∠CHB,所以C,E,B,H四點(diǎn)共圓,可得∠CHE=∠CBE.②連結(jié)CF.由AC為圓直徑,得∠CFP=90°=∠CHP,所以C,H,F,P四點(diǎn)共圓,可得∠APC=180°-∠CHF.③綜合上述①②③ 三式,可得到∠CHE=∠CBE=∠APC=180°-∠CHF,即∠CHE+∠CHF=180°.所以E,H,F三點(diǎn)共線.視角2利用西姆松定理延長(zhǎng)BH交直線AD于點(diǎn)P,連

劉暉四點(diǎn)共圓問題的常見命題形式是：（1）根據(jù)已知條件，判斷四點(diǎn)是否共圓;（2）根據(jù)已知條件，證明四點(diǎn)共圓.這類問題的運(yùn)算量較大，求解過程較為繁瑣，通常需靈活運(yùn)用直線的方程、直線的斜率，圓的定義、圓的方程、圓的性質(zhì)、弦長(zhǎng)公式，一元二次方程的韋達(dá)定理、判別式等來求解.本文結(jié)合2021年湖南師大附中5 月聯(lián)考的第22題，談一談四點(diǎn)共圓問題的解法.題目：第一個(gè)小問題較為簡(jiǎn)單，只需設(shè)出直線的方程，將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，構(gòu)造一元二次方程，根據(jù)韋達(dá)定理和判別式進(jìn)

,B,Q,P四點(diǎn)共圓.由題意知，直線AB和PQ的斜率均存在且不等于0，則直線AB的方程為同理直線PQ的方程為則過A,B,Q,P四點(diǎn)的二次曲線系方程為(*)因?yàn)锳,B,Q,P四點(diǎn)共圓，所以該圓也是曲線(*)中的一條曲線.方程(*)為圓的充要條件是因?yàn)棣恕?，所以k1+k2=0.因此直線AB的斜率與直線PQ的斜率之和等于0.點(diǎn)評(píng)根據(jù)雙曲線方程及直線AB和PQ的方程，可寫出過A,B,Q,P四點(diǎn)的二次曲線系方程. 再由條件“|TA|·|TB|=|TP|·|TQ|”

,B,C，D四點(diǎn)共圓。點(diǎn)評(píng)與分析：這種解法實(shí)際上是待定系數(shù)法，它的本質(zhì)上是代數(shù)思維。這是因?yàn)閳A的一般方程突出了圓的方程的一般特征，即含有D,E,F三個(gè)參數(shù)的二元二次方程，只需要代入不共線的三個(gè)點(diǎn)，則圓的一般方程便轉(zhuǎn)化為D,E,F的三元一次方程組，只需解出這個(gè)三元一次方程組，就得到過三個(gè)點(diǎn)的圓的方程，最后把第四個(gè)點(diǎn)代入驗(yàn)證即可。這類似于初中求二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的求解過程。類似地本題也可以設(shè)圓的方程為(x-a)2+(y-b)2=r2(r≠0

點(diǎn)A,B,C,D共圓.這是證明四點(diǎn)共圓的一個(gè)重要結(jié)論,類比于此,那么圓錐曲線上四點(diǎn)共圓時(shí),有怎樣的關(guān)系呢?我們先看下面一道雙曲線上四點(diǎn)共圓的高考試題.試題再現(xiàn)(2021·新高考全國1)設(shè)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知點(diǎn)=2,點(diǎn)M的軌跡為C.(1)求C的方程;(2)設(shè)點(diǎn)T在直線x=上,過T的兩條直線分別交C于A,B兩點(diǎn)和P,Q兩點(diǎn),且|TA|·|TB|=|TP|·|TQ|,求直線AB的斜率與直線PQ的斜率之和.這是一道直線與圓錐曲線綜合題,考查了數(shù)學(xué)抽象、數(shù)

，B，M，N四點(diǎn)共圓.圖12 學(xué)生解法匯總評(píng)析：以上4種解法本質(zhì)是相同的：一是將四點(diǎn)共圓這個(gè)幾何問題，轉(zhuǎn)化為向量數(shù)量積為0這個(gè)代數(shù)問題；二是都是通過設(shè)坐標(biāo)，利用斜率關(guān)系和中點(diǎn)關(guān)系，將題目條件進(jìn)行坐標(biāo)轉(zhuǎn)化和坐標(biāo)消元.所以說：在解析幾何中，幾何指揮代數(shù)，代數(shù)為幾何服務(wù)，化歸坐標(biāo)永遠(yuǎn)是王道.評(píng)析：利用與圓心和半徑解決四點(diǎn)共圓問題，也是一種好思路，用m表示半徑，用n表示半徑，還需要尋找兩者的關(guān)系n+m=-4進(jìn)行消元.解法6：(曲線系方程法)因?yàn)辄c(diǎn)M,N在拋物線C上

、N、P、Q四點(diǎn)共圓.(第19屆美國數(shù)學(xué)奧林匹克第5題)圖1從圖形結(jié)構(gòu)來看，此題條件精煉，結(jié)構(gòu)優(yōu)美，解法豐富.文[1]利用線段間的數(shù)量關(guān)系結(jié)合相交弦定理對(duì)此賽題進(jìn)行了證明，文[2]分別運(yùn)用三角法和解析法給出兩種證法，筆者在文[3]中利用反演變換給出這一賽題的新證法，并在文[4]中通過類比和改造圖形結(jié)構(gòu)演繹出一些新結(jié)論.本文從圖形特征出發(fā)，利用相似三角形的性質(zhì)、圓的有關(guān)性質(zhì)和定理及三角代換等技巧，從而給出下面八種新的證明方法，以饗讀者.1 利用相似三角形的判

市文園中學(xué) 四點(diǎn)共圓在中考的直接考察意圖不明顯,但通過四點(diǎn)共圓將各類問題轉(zhuǎn)化為圓的常見問題,再用圓的基本性質(zhì)將問題解決,達(dá)到事半功倍的效果,有助于學(xué)生形成新的數(shù)學(xué)模型.本文通過反證法證明四點(diǎn)共圓的兩個(gè)判定定理,并將它們應(yīng)用在近五年廣東中考題中,再將常規(guī)方法和四點(diǎn)共圓的方法進(jìn)行對(duì)比,總結(jié)出四點(diǎn)共圓的優(yōu)點(diǎn),培養(yǎng)學(xué)生的綜合解題能力和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)習(xí)態(tài)度.1 四點(diǎn)共圓的兩個(gè)判定方法定理1四邊形的一組對(duì)角互補(bǔ),那么這個(gè)四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓.將定理1 轉(zhuǎn)化為符號(hào)語言和圖形語

相等，則此4頂點(diǎn)共圓.帖子發(fā)出，迅速得到余澤偉老師、朱斌老師、李榮峰老師、駱來根老師及本人的解答.本題簡(jiǎn)潔優(yōu)美，證法多樣，余味不絕，遂探究推廣，幸得點(diǎn)滴，下以示之，望得指點(diǎn).引理1若△ABC和△ABD外接圓是等圓且不重合，則C、D在AB同側(cè)時(shí)，∠ACB+∠ADB=180°；C、D在AB異側(cè)時(shí)，∠ACB=∠ADB.(如圖1)由同圓或等圓中，等弧所對(duì)應(yīng)的圓周角相等，及圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)容易得之.引理2△ABC三個(gè)頂點(diǎn)與點(diǎn)D構(gòu)成平面凸四邊形，若△ABD、△AC

圖2 圖33 共圓的證明問題根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)與判定定理、相應(yīng)平面幾何中的定理與性質(zhì),通過邊、角的對(duì)應(yīng)關(guān)系結(jié)合等量代換等數(shù)學(xué)思維來證明相應(yīng)的線段或角度關(guān)系,從而證明四點(diǎn)共圓等問題. 圖4(1)證明:B,D,H,E四點(diǎn)共圓;(2)證明:CE平分∠DEF.證明(1)在△ABC中,因?yàn)椤螧=60°,所以∠BAC+∠BCA=120°,因?yàn)锳D,CE是角平分線,所以∠HAC+∠HCA=60°,故∠AHC=120°,于是∠EHD=∠AHC=120°,因?yàn)椤螮BD

點(diǎn).求證：這五點(diǎn)共圓.”這就是著名的“五點(diǎn)共圓”問題.“五點(diǎn)共圓“問題用書面語言可表述為：任意一個(gè)五角星，在其五個(gè)小三角形上作出五個(gè)小三角形的外接圓，兩個(gè)相鄰圓各自交兩點(diǎn)，共有十個(gè)交點(diǎn)，除去星形本身的五個(gè)點(diǎn)，其余五個(gè)點(diǎn)必定是共圓的.目前最常見的證明方法如下：圖1證明：畫任意五角星，如圖1所示，△FQK、△KEL、△LDH、△HCM和△MBQ各自的外接圓順次相交的交點(diǎn)分別為J、I、A、N、G.連接CA、HA、JA、LA、NA、JH、NG、GQ、GJ、JF.根

為圓錐曲線與四點(diǎn)共圓相結(jié)合的高考題.由于試題難度大，知識(shí)面廣，因而同學(xué)們解答較困難.為攻克這一難點(diǎn)，幫助同學(xué)們掌握解析法證明四點(diǎn)共圓的方法，本文現(xiàn)以一道調(diào)研試題為例說明如下，供同學(xué)們復(fù)習(xí)時(shí)參考.題目：求證：兩橢圓b2x2+a2y2-a2b2=0和a2x2+b2y2-a2b2=0的交點(diǎn)在以原點(diǎn)為中心的圓周上，并求這個(gè)圓的方程.（2018年威海市高三教學(xué)調(diào)研試題）證法一：本題根據(jù)“相加法”得到一個(gè)圓方程，再說明四點(diǎn)共圓.b2x2+a2y2-a2b2=0?（1）

近jìn日rì，南nán寧nínɡ市shì解jiě放fànɡ路lù小xiǎo學(xué)xué的de同tónɡ學(xué)xué們men與yǔ來lái自zì臺(tái)tái灣wān省shěnɡ花huā蓮lián縣xiàn康kānɡ樂lè小xiǎo學(xué)xué、嘉jiā里lǐ小xiǎo學(xué)xué的de小xiǎo朋pénɡ友you們men在zài新xīn會(huì)huì書shū院yuàn舉jǔ行xínɡ了le文wén化huà藝yì術(shù)shù交jiāo流liú活huó動(dòng)dònɡ。解jiě放fànɡ路lù小

步接受并理解四點(diǎn)共圓問題。簡(jiǎn)化學(xué)生的理解，降低學(xué)習(xí)難度是提高學(xué)生學(xué)習(xí)熱情和理解能力的關(guān)鍵。一、借助三角形的外接圓引入新課由于三角形是學(xué)生在以前數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中重點(diǎn)學(xué)習(xí)的一個(gè)圖形，相對(duì)比較簡(jiǎn)單，而三角形的外接圓也是學(xué)生以前所接觸過的。教師可以繪制不同形狀的三角形，然后畫出其外接圓，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行初步思考。不論是銳角三角形、直角三角形，還是鈍角三角形，在繪制其外接圓的過程中都需要將三個(gè)頂點(diǎn)置于圓上，學(xué)生很容易發(fā)現(xiàn)這是三點(diǎn)共圓問題。為了更好地引出四點(diǎn)共圓，教師可以在

、B、C、E四點(diǎn)共圓.證明因?yàn)锳D是△ABC的陪位中線，?AB·AF=AC·AE，從而得到F、B、C、E四點(diǎn)共圓.圖3圖4性質(zhì)3如圖4，AD為△ABC的陪位中線，M、N兩點(diǎn)分別在AC、AB上，若B、C、M、N四點(diǎn)共圓，則AD平分MN.[1]證明作DE∥BA，DF∥CA交AC、AB于E、F點(diǎn)，連結(jié)EF.由性質(zhì)2知B、C、E、F四點(diǎn)共圓?∠AEF=∠ABC.作MS∥DE交AD于S，連結(jié)NS，由B、C、M、N四點(diǎn)共圓，有∠AMN=∠ABC；因?yàn)椤螦MN=∠AEF

的定義，判定四點(diǎn)共圓到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)都在同一個(gè)圓上。例 1.如圖(1)，在等腰 Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC 于點(diǎn) D，∠ABC 的平分線分別交AC、AD于E、F兩點(diǎn)，M為EF的中點(diǎn)，延長(zhǎng)AM交BC于點(diǎn)N，連接DM，求∠BMD的度數(shù)。圖(1)如圖(2)，取AB的中點(diǎn)O，圖(2)連接 DO、MO，∴AO=BO=DO=MO，∴A、B、D、M 四點(diǎn)共圓，∴∠BMD=∠BAD=45°。我們發(fā)現(xiàn)，∠BMD所在的多邊形中，很難尋找出與它有關(guān)的角

中一個(gè)神奇的四點(diǎn)共圓”兩篇文章，給出了等弧度三圓共點(diǎn)圖的許多有趣性質(zhì).本文將繼續(xù)探究等弧度三圓共點(diǎn)圖并進(jìn)一步揭示其內(nèi)在的數(shù)學(xué)性質(zhì)，給出一系列有趣的四點(diǎn)共圓.圖1 圖2文獻(xiàn)[1]揭示了“黃圓圖”中隱含的一個(gè)漂亮的四點(diǎn)共圓：性質(zhì)1在“黃圓圖”中，點(diǎn)O1，O2，O3，D共圓.文獻(xiàn)[2]又給出性質(zhì)1中的四點(diǎn)共圓存在一個(gè)美妙的性質(zhì)：本文將繼續(xù)探究“等弧度三圓共點(diǎn)圖”中內(nèi)在的性質(zhì)，給出一系列有趣的四點(diǎn)共圓.圖3 圖4證明聯(lián)結(jié)MO1，NO1，O2D，O3D，MD，ND(

圓錐曲線上的四點(diǎn)共圓問題提出兩種解決策略，一是利用共圓定理，二是利用曲線系【關(guān)鍵詞】圓錐曲線；共圓；曲線系一、圓錐曲線上四點(diǎn)共圓定理若A，B，C，D為有心圓錐曲線mx2+ny2=1（m≠n）上四個(gè)不同的點(diǎn)，且直線AB與CD交于E，AB與CD傾斜角分別為α，β，則A，B，C，D共圓的充要條件是α+β=π.證明設(shè)E（x0，y0），則直線AB參數(shù)方程為x=x0+tcosα，y=y0+tsinα （t為參數(shù)），代入mx2+ny2=1，并整理得（mcos2α+nsi

、B、C、D四點(diǎn)共圓．[1]拜讀本刊數(shù)學(xué)問題解答2305問題之后，引發(fā)了筆者深深思考，雖然題目條件中的有心圓錐曲線具有很強(qiáng)的一般性，但是對(duì)弦AB和直線CD的條件要求十分特殊，該問題背后是否存在一般規(guī)律呢？該結(jié)論對(duì)拋物線是否成立？帶著這些思考開啟了下面的探究之旅．一、問題的證明該問題所給的解答中，充分利用了“CD垂直平分AB”這一幾何特征，取CD的中點(diǎn)F(如圖1)，從而確定這四點(diǎn)共圓的充要條件是BF為圓的半徑，進(jìn)而得出等價(jià)條件|CD|2-|AB|2=4|EF

、Q、X、Y四點(diǎn)共圓．反之，設(shè)PQ是⊙O的任意一條直徑，且PQ所在直線與直線BC交于點(diǎn)T′，當(dāng)P、Q、X、Y四點(diǎn)共圓(此圓設(shè)為⊙O″)時(shí)，由根心定理可知，⊙O與⊙O′的外公切線AT、⊙O′與⊙O″的公共弦XY所在直線以及⊙O與⊙O″的公共弦PQ所在直線交于點(diǎn)T(根心)，即點(diǎn)T′與點(diǎn)T重合．圖3如圖3(在圖2的基礎(chǔ)上)，過點(diǎn)T作⊙O的另一條切線TS(S為切點(diǎn))，連結(jié)AS，交PQ于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)D，即知TO⊥AS于點(diǎn)E，從而知TE·TO=TA2=TB·TC，

中一個(gè)神奇的四點(diǎn)共圓*●黃新民 (溫州市教育教學(xué)研究院 浙江溫州 325000)美麗的幾何圖形往往蘊(yùn)含著諸多美妙的數(shù)學(xué)性質(zhì).通過構(gòu)造一個(gè)“等弧度三圓共點(diǎn)圖”，已經(jīng)證明其中存在一個(gè)美麗的四點(diǎn)共圓，文章將對(duì)這個(gè)四點(diǎn)共圓作進(jìn)一步的研究，探索更多奇妙的性質(zhì).等弧度；三圓共點(diǎn)圖；四點(diǎn)共圓美麗的幾何圖形，往往蘊(yùn)含著諸多美妙的數(shù)學(xué)性質(zhì)，文獻(xiàn)[1]給出了“等弧度三圓共點(diǎn)圖”的諸多性質(zhì)，下面是其中一個(gè)漂亮的性質(zhì)：(注：性質(zhì)1的證明參見文獻(xiàn)[1].)筆者深入研究性質(zhì)1中的四點(diǎn)

葛存燕“探究四點(diǎn)共圓”課例的課堂實(shí)施☉江蘇蘇州市高新區(qū)實(shí)驗(yàn)初級(jí)中學(xué)葛存燕近年來，《中學(xué)數(shù)學(xué)》（下）刊發(fā)了大量預(yù)設(shè)精妙的教學(xué)課例，引領(lǐng)一線教師聚焦課堂教學(xué)設(shè)計(jì)，追求高質(zhì)量的備課設(shè)計(jì).筆者受到文1的影響，通過自己的理解，制作出對(duì)應(yīng)的PPT，執(zhí)教了一節(jié)研討課，取得了較好的教學(xué)效果.本文梳理該課的教學(xué)流程，側(cè)重于截圖展示筆者的PPT流程，并跟進(jìn)變式檢測(cè)，供研討.一、教學(xué)流程教學(xué)環(huán)節(jié)（一）作三角形的外接圓，引入新課.PPT截圖，如圖1：圖1 解讀：先呈現(xiàn)三種不同形狀

書圓錐曲線上四點(diǎn)共圓充要條件的統(tǒng)一證明與應(yīng)用☉湖北省陽新縣高級(jí)中學(xué) 鄒生書圓錐曲線上四點(diǎn)共圓問題在高考中屢見不鮮，這類試題將圓錐曲線與四點(diǎn)共圓有機(jī)地結(jié)合在一起，重點(diǎn)考查運(yùn)算求解能力和推理論證能力，由于問題綜合性強(qiáng)、運(yùn)算量大，大多考生望而生畏，甚至談“圓”色變，不得不選擇放棄.筆者曾在文2中介紹了構(gòu)建曲線系方程來處理圓錐曲線上四點(diǎn)共圓的有效方法，在文3中給出了圓錐曲線上四點(diǎn)共圓的一個(gè)充要條件，并用直線的參數(shù)方程分別對(duì)橢圓、雙曲線和拋物線三種情形一一進(jìn)行了證明

XD中的所有點(diǎn)都共圓，于是XD=R11，和XD是一個(gè)7距離集不符。下面分3種情形來證明。情形1XD的邊長(zhǎng)均不為d5。如果XD有10條邊長(zhǎng)度相等，那么它的所有點(diǎn)都在一個(gè)圓上，矛盾。于是XD最多有9條邊相等。情形1.1XD中有2條邊長(zhǎng)度為d6或2條邊長(zhǎng)度為d7(d6與d7討論類似，2條邊為d7的討論省略)。設(shè)XD中有2條邊長(zhǎng)度為d6。假設(shè)d(1,11)=d6，下面分5種類型討論。如果d(10,11)=d6，顯然點(diǎn)1，2，3，4，5，6，7，8，9，10共圓。因

，k+1，k+2共圓，得到d(1，k－2)=d(1，k)=d(1，k+1)=d(1，k+2)=D，和已知矛盾，故d(k+1，k+2)=dk。假設(shè)d(1，2)=dk－1，由引理4可得d(1，3)=dk－2=d(2，5)，d(1，2)=d(3，5)=dk－1，Δ123?Δ532。于是1，2，3，5 共圓，從而d(1，k+2)=d(2，k+2)=d(3，k+2)=d(5，k+2)=D，矛盾。故d(1，2)=dk。d(k，k+2)=d(k－1，k+1)=dk－1，

相交弦的4個(gè)端點(diǎn)共圓的充要條件是這2條相交弦的斜率互為相反數(shù).(充分性)若kAC=-kBD，設(shè)直線AC的方程為mx+ny+c1=0,則BD的方程為mx-ny+c2=0.因?yàn)锳,B,C,D是橢圓b2x2+a2y2-a2b2=0與2條相交直線AC,BD的交點(diǎn)，所以可設(shè)過點(diǎn)A,B,C,D的二次曲線系方程為:(mx+ny+c1)(mx-ny+c1)+λ(b2x2+a2y2-a2b2)=0(λ為參數(shù)),整理得(λb2+m2)x2+(λa2-n2)y2+m(c1+c2

200)關(guān)于“點(diǎn)共圓”問題的普及●劉清泉(鎮(zhèn)海蛟川書院 浙江寧波 315200)“點(diǎn)共圓”是數(shù)學(xué)競(jìng)賽中的一項(xiàng)重要內(nèi)容，三角形、四邊形中的很多內(nèi)容都與之關(guān)聯(lián).但隨著新課程改革對(duì)邏輯推理要求的降低，特別是初中教材中對(duì)“點(diǎn)共圓”涉及的不多，在數(shù)學(xué)競(jìng)賽中與“圓”相關(guān)內(nèi)容的比例也在降低.此時(shí),與“點(diǎn)共圓”的相關(guān)內(nèi)容和相關(guān)方法更顯得重要.本文力求用幾個(gè)平面幾何中相關(guān)的定理知識(shí)將這一內(nèi)容作一有機(jī)的整合.1 基礎(chǔ)知識(shí)如圖1～3，A，B，C，D四點(diǎn)共圓，得到如下3個(gè)結(jié)論:(

、C、D、F四點(diǎn)共圓，及AB∥CD，有∠BFC=∠BDC=∠ABD，∠CFD=∠CBD,所以，∠BFD∠ABC.又∠BDF=∠BCF=∠ACB，所以，△BDF∽△ACB.所以，BDAC=BFAB.同理△CDF∽△ECB，有CFBE=CDEC，由∠BAF=180°-∠BAC=180°-∠BEC=∠CED,及∠BFA=∠CDE,得：△ABF∽△ECD.∴BFCD=BACE，即BFBA=CDCE.∴BDAC=CFBE.∴BD?BE=AC?CF.證法二：如圖1，連