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    從一道高考試題探究圓錐曲線四點(diǎn)共圓問題

    2022-08-01 10:39:28王海燕
    數(shù)理化解題研究 2022年19期
    關(guān)鍵詞:共圓雙曲線交點(diǎn)

    王海燕

    (甘肅省靈臺(tái)縣第一中學(xué) 744400)

    若圓的兩條弦AB,CD相交于圓內(nèi)一點(diǎn)P,則有|PA|·|PB|=|PC|·|PD|.這就是相交弦定理.其逆定理告訴我們:若直線AB,CD相交于點(diǎn)P,且|PA|·|PB|=|PC|·|PD|,則四點(diǎn)A,B,C,D共圓.這是證明四點(diǎn)共圓的一個(gè)重要結(jié)論,類比于此,那么圓錐曲線上四點(diǎn)共圓時(shí),應(yīng)滿足怎樣的關(guān)系呢?

    1 試題再現(xiàn)

    (1)求C的方程;

    2 解法探析

    2.1 第(1)問解析

    2.2 第(2)問解析

    消去y并整理,得

    由韋達(dá)定理,得

    所以|TA|·|TB|

    設(shè)直線PQ的斜率為k2,同理可得

    由|TA|·|TB|=|TP|·|TQ|,即有

    顯然k1-k2≠0,故k1+k2=0.

    即直線AB與直線PQ的斜率之和為0.

    則過A,B,P,Q四點(diǎn)的曲線系方程為

    因?yàn)閨TA|·|TB|=|TP|·|TQ|,

    所以A,B,P,Q四點(diǎn)共圓.即此曲線系方程表示圓.

    因此,直線AB與直線PQ的斜率之和為0.

    又因|TA|·|TB|=|TP|·|TQ|,

    因此,直線AB與直線PQ的斜率之和為0.

    (16cos2α-sin2α)t2+(16cosα-2nsinα)t-n2-12=0.

    由于16cos2α-sin2α≠0,又直線AB與雙曲線有兩個(gè)交點(diǎn),故方程②有兩個(gè)根.

    由|TA|·|TB|=|TP|·|TQ|,

    可得|t1t2|=|t3t4|.

    即16cos2α-sin2α=16cos2β-sin2β.

    整理,得sin2α=sin2β.

    又α,β∈[0,π),所以α=π-β.

    即tanα=-tanβ.所以kAB+kPQ=0.

    因此直線AB與直線PQ的斜率之和為0.

    3 課本溯源

    這道題目可以看成是人教版課本選修4-4第38頁例4的改編.

    AB,CD是中心為點(diǎn)O的橢圓的兩條相交弦,交點(diǎn)為P,兩弦AB,CD與橢圓長軸的夾角分別為∠1,∠2,且∠1=∠2.求證:|PA|·|PB|=|PC|·|PD|.

    由此推測圓錐曲線上四點(diǎn)A,B,C,D共圓時(shí),直線AB與CD的傾斜角互補(bǔ),即直線AB與CD斜率之和為0.

    4 問題拓展

    已知A,B,C,D是圓錐曲線上不同四點(diǎn),若直線AB與CD有公共點(diǎn),則A,B,C,D四點(diǎn)共圓的充要條件是直線AB與CD的斜率之和kAB+kCD=0.

    將直線AB的參數(shù)方程代入橢圓方程并整理,得到(b2cos2α+a2sin2α)t2+2(b2x0cosα+a2y0sinα)t+b2x0+a2y0-a2b2=0.

    由四點(diǎn)A,B,C,D共圓的充要條件|PA|·|PB|=|PC|·|PD|,即得|t1t2|=|t3t4|,

    整理,得(a2-b2)(sin2α-sin2β)=0.

    即sin2α=sin2β.

    又α,β∈[0,π),故α=π-β.所以kAB+kCD=0.

    反過來,若kAB+kCD=0,

    當(dāng)圓錐曲線是雙曲線、拋物線時(shí),同理可證結(jié)論成立.

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