一道美國數(shù)學(xué)奧林匹克題的八種證法

廣東省深圳中學(xué) (518001) 邱際春

題目如圖1，BE、CF分別是銳角△ABC的兩條高，以AB為直徑的圓與直線CF相交于點(diǎn)M、N，以AC為直徑的圓與直線BE相交于點(diǎn)P、Q.證明：M、N、P、Q四點(diǎn)共圓.(第19屆美國數(shù)學(xué)奧林匹克第5題)

圖1

從圖形結(jié)構(gòu)來看，此題條件精煉，結(jié)構(gòu)優(yōu)美，解法豐富.文[1]利用線段間的數(shù)量關(guān)系結(jié)合相交弦定理對(duì)此賽題進(jìn)行了證明，文[2]分別運(yùn)用三角法和解析法給出兩種證法，筆者在文[3]中利用反演變換給出這一賽題的新證法，并在文[4]中通過類比和改造圖形結(jié)構(gòu)演繹出一些新結(jié)論.

本文從圖形特征出發(fā)，利用相似三角形的性質(zhì)、圓的有關(guān)性質(zhì)和定理及三角代換等技巧，從而給出下面八種新的證明方法，以饗讀者.

1 利用相似三角形的判定與性質(zhì)證明

圖2

圖3

評(píng)注：事實(shí)上，利用相似證明M、N、P、Q四點(diǎn)共圓的方法有很多，中學(xué)階段最為常用的方法是通過證得共底邊的△PHN的頂角∠PNH和△MHQ的頂角∠MQH相等，且在底邊同側(cè)，從而推出四個(gè)頂點(diǎn)共圓.

2 利用圓冪定理及其逆定理進(jìn)行證明

證法三：如圖4，設(shè)BE、CF交于點(diǎn)H，由題設(shè)條件知H為垂心.連接AH，且延長后交BC于點(diǎn)D，則AH⊥BC，即∠ADB=∠ADC=90°.又因?yàn)锳B和AC分別是兩圓的直徑，所以點(diǎn)D是兩圓的交點(diǎn)，故由相交弦定理可得MH·HN=AH·HD=PH·HQ.因此，M、N、P、Q四點(diǎn)共圓.

圖4

證法四：如圖5，因?yàn)锽E、CF分別是銳角△ABC的兩條高，所以∠CFB=∠CEB=90°，所以B、C、E、F四點(diǎn)共圓.又因?yàn)锳B和AC為兩圓的直徑，所以點(diǎn)E和點(diǎn)F均為圓上的點(diǎn).注意到B、M、E、N，P、Q、C、F均為四點(diǎn)共圓，故利用相交弦定理可得MH·HN=BH·HE=CH·HF=PH·HQ，故M、N、P、Q四點(diǎn)共圓.

圖5

評(píng)注：相交弦定理和切割線定理統(tǒng)稱為圓冪定理，注意到MH·HN、PH·HQ分別是兩圓的冪，要證M、N、P、Q四點(diǎn)共圓，則需要證明點(diǎn)H是兩圓的等冪點(diǎn).這就需要反復(fù)用到圓冪定理，它在數(shù)學(xué)競賽中是證明四點(diǎn)共圓的有效工具.

證法五：因?yàn)锽E、CF分別是銳角△ABC的兩條高，所以∠CFB=∠CEB=90°，所以B、C、E、F四點(diǎn)共圓.如圖6，連接AM,AN,AP,AQ，則由垂徑定理知AM=AN,AP=AQ，下面只需證AM=AP.利用圓冪定理可得AF·AB=AE·AC，又因?yàn)锳B和AC為兩圓的直徑，所以∠AMB=90°,∠APC=90°.由射影定理可得AM2=AF·AB,AP2=AE·AC，故AM=AP.因此，M、N、P、Q四點(diǎn)共圓.

圖6

評(píng)注：注意到MN⊥AB,PQ⊥AC，根據(jù)垂徑定理知AM=AN,AP=AQ.于是容易想到點(diǎn)A為所證圓的圓心，并證明這四個(gè)點(diǎn)到它的距離相等.

3 利用定差冪線定理進(jìn)行證明

圖7

評(píng)注：上述證明過程中用到了一個(gè)重要的結(jié)論：AH⊥BC等價(jià)于AB2-HB2=AC2-HC2.這個(gè)結(jié)論稱為定差冪線定理，它是證明垂直這一類問題的常用方法.

4 利用根軸的性質(zhì)進(jìn)行證明

證法七：設(shè)BE、CF交于點(diǎn)H，由題設(shè)條件知H為垂心.如圖8，連接AH，且延長后交BC于點(diǎn)D，則AH⊥BC，即∠ADB=∠ADC=90°.又因?yàn)锳B和AC分別是兩圓的直徑，所以點(diǎn)D是兩圓的交點(diǎn)，AD為兩圓的根軸，故點(diǎn)H到兩圓的冪相等，即MH·HN=PH·HQ.因此，M、N、P、Q四點(diǎn)共圓.

圖8

評(píng)注：由于AD、CF、BE分別是⊙ANBM、⊙APCQ和⊙BFEC兩兩的根軸，故點(diǎn)H是三圓的根心.

5 利用三角函數(shù)法進(jìn)行證明

證法八：如圖9，分別連接AH,AM,AP,BM,CP，設(shè)△ABC的外接圓半徑為R，則由題意知CN⊥AB,BQ⊥AC.因?yàn)锳B和AC分別是兩圓的直徑，所以FM=FN,EP=EQ，∠AMB=∠APC=90°.由射影定理得PE2=AE·EC,MF2=FA·FB.由于∠AHE+∠HAE=90°,∠HAE+∠ACB=90°，可得∠AHE=∠ACB，故EH=AHcos∠ACB=2Rcos∠BACcos∠ACB.同理可得FH=2Rcos∠BACcos∠ABC，所以要證M、N、P、Q四點(diǎn)共圓，等價(jià)于要證MH·HN=PH·HQ.由正弦定理可得MH·HN=(MF-FH)(MF+FH)=FA·FB-FH2=BC·AC·cos∠BACcos∠ABC-4R2cos2∠BACcos2∠ABC=4R2cos∠BACcos∠ABC(sin∠BACsin∠ABC-cos∠BACcos∠ABC)=-4R2cos∠BACcos∠ABCcos(∠BAC+∠ABC)=4R2cos∠BACcos∠ABCcos∠ACB，同理有PH·HQ=(EP-EH)(EP+EH)=EA·EC-EH2=BC·AB·cos∠BACcos∠ACB-4R2cos2∠BACcos2∠ACB=4R2cos∠BACcos∠ACB(sin∠BACsin∠ACB-cos∠BACcos∠ACB)=-4R2cos∠BACcos∠ACBcos(∠BAC+∠ACB)=4R2cos∠BACcos∠ACBcos∠ABC，故MH·HN=PH·HQ.因此，M、N、P、Q四點(diǎn)共圓.

圖9

結(jié)語：事實(shí)上，文[4]以源問題為起點(diǎn)，基于縱向分析和改造幾何結(jié)構(gòu)，進(jìn)而演繹發(fā)展出一系列的新結(jié)論.本文則從橫向視角，通過對(duì)這一優(yōu)美的兩圓模型進(jìn)行較為深入的解題探索，讓我們從不同的角度重新審視該問題，也讓我們感受到幾何純粹的內(nèi)在美與它富于神奇的變化.在浩如煙海的數(shù)學(xué)競賽題中，幾何試題千變?nèi)f化.若能跳出問題本身來看待問題，從而探究延伸出新問題，或提煉出這類問題的經(jīng)驗(yàn)方法和解題策略，這無論是對(duì)于解題能力的提升，還是對(duì)于命制新穎的試題，都是大有裨益的.