“等弧度三圓共點圖”中一個神奇的四點共圓*

●黃新民 (溫州市教育教學研究院 浙江溫州 325000)

“等弧度三圓共點圖”中一個神奇的四點共圓*

●黃新民 (溫州市教育教學研究院 浙江溫州 325000)

美麗的幾何圖形往往蘊含著諸多美妙的數(shù)學性質(zhì).通過構造一個“等弧度三圓共點圖”，已經(jīng)證明其中存在一個美麗的四點共圓，文章將對這個四點共圓作進一步的研究，探索更多奇妙的性質(zhì).

等弧度；三圓共點圖；四點共圓

美麗的幾何圖形，往往蘊含著諸多美妙的數(shù)學性質(zhì)，文獻[1]給出了“等弧度三圓共點圖”的諸多性質(zhì)，下面是其中一個漂亮的性質(zhì)：

(注：性質(zhì)1的證明參見文獻[1].)

筆者深入研究性質(zhì)1中的四點共圓，發(fā)現(xiàn)它很神奇，蘊含著諸多奇妙的性質(zhì).

圖1 圖2

為敘述方便，我們先來證明2個結(jié)論：

從而

∠1+∠2=∠1+∠3，

即

∠2=∠3.

因為∠4=∠5，所以

∠2+∠5=∠3+∠4，

于是

AB=GH.

又因為∠G=∠3=∠2,所以

△ABD≌△GHD,

故

AD=DG.

圖3 圖4

1)O2E⊥AC；

2)點E,O2，O1，D，O3共圓.

∠BAC+∠O2AB=

故

O2E⊥AC.

2)聯(lián)結(jié)ED，EC，O1D，聯(lián)結(jié)O1O3交AC于點G，聯(lián)結(jié)AD并延長交⊙O1于點F(如圖5).

根據(jù)結(jié)論1可知D是AF的中點，O1D⊥AF，又O1O3⊥AC，從而點A，O1，D，G共圓，于是

∠DO1G=∠DAC.

由第1)小題可知，EC為直徑，O3在EC上，而∠DAC=∠DEC，于是∠DO1G=∠DEC，故點O1，D，O3，E共圓.結(jié)合性質(zhì)1可知，點E，O2，O1，D，O3共圓.

圖5 圖6

圖7 圖8

O1P⊥EF，

圖9 圖10

證明 聯(lián)結(jié)AB，AC，O2E，O3F(如圖10).由結(jié)論2可知O2E和O3F都經(jīng)過點A，O2E⊥AC，O3F⊥AB，從而

∠BAC+∠EAF=180°.

關于這個神奇的四點共圓，肯定還有許多性質(zhì)，有待數(shù)學愛好者繼續(xù)研究(可參考文獻[2]和文獻[3]).下面筆者再給出2個結(jié)論，限于篇幅，其證明不再贅述，留給讀者完成.

圖11 圖12

1)O1是GH的中點；

2)點E,F,G,H共圓.

[1] 黃新民.“等弧度三圓共點圖”的幾個有趣性質(zhì)[J].中學教研(數(shù)學),2016(8):27-29.

[2] 黃新民，劉臻.一道數(shù)學中考題的變式與探究[J].中學教研(數(shù)學),2015(10):46-47.

[3] 黃新民.簡談整點多邊形的存在性問題[J].中學教研(數(shù)學),2012(3):4-5.

??2016-09-26；

2016-10-30

黃新民(1957-)男，浙江溫州人，浙江省特級教師.研究方向：數(shù)學教育.

O123.1

A

1003-6407(2017)03-21-03