這樣的直角三角形存在嗎？

岳昌慶

對于任意的△ABC，如圖1，設(shè)BC=a，AC=b，AB=c，△ABC內(nèi)切圓的圓心為I，半徑為r，⊙I與AB，BC，AC分別切于D，E，F(xiàn)，則ID⊥AB，IE⊥BC，IF⊥AC，ID=IE=IF=r，聯(lián)結(jié)IA，IB，IC，則S△ABC=S△AIB+S△BIC+S△AIC=12rc+12ra+12rb=12r（c+a+b），

不妨設(shè)△ABC的周長為C，面積為S，則S=12rC.

對于Rt△ABC，∠C=90°，我們有S=12ab.

由于a>0，b>0，a2+b2≥2ab，

a+b =（a）2+（b）2-2ab+2ab=（a-b）2+2ab≥2ab（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時，取等號），

所以

一方面，C= a+b+a2+b2≥2ab+2ab=（2+2）ab=（2+2）2S

=2（2+1）S（當(dāng)且僅當(dāng)a=b，即△ABC為等腰直角三角形時，取等號）.

另一方面，由于S=12rC，C≥2（2+1）S，則

r=2SC≤2S2（2+1）S=（2-1）S.

稱C≥2（2+1）S為①式，稱r≤（2-1）S為②式.

由①得S≤C2（2+1），由②得S≥r2-1，

所以r2-1≤S≤C2（2+1），

即C≥2（3+22）r. ③

例1 Rt△ABC的面積S=3，周長C=2，則該直角三角形的內(nèi)切圓半徑r= .

錯解 由已知及三角形的面積公式得S=12rC，即r=2SC=3.

上述解法似無破綻，實則非也：這樣的直角三角形不存在！

錯解的原因 此題S=3，C=2，

一方面，C =2≤2（2+1）S=2（2+1）3≈8.4，不滿足C≥2（2+1）S，

所以，這樣的直角三角形不存在.

另一方面，若r=3≥（2-1）S=（2-1）3≈0.7，則不滿足r≤（2-1）S，

所以，這樣的直角三角形不存在.

評注 對于Rt△ABC，在已有公式r=2SC的情況下，命制題目時也一定要考慮其存在性問題.建議在上述結(jié)論（即C≥2（2+1）S①，r≤（2-1）S②及C≥2（3+22）r③）的前提下命制題目；也可就著一個已經(jīng)存在的直角三角形來命制，如：邊長分別為8，15，17（C=40，S=60，r=3）的直角三角形，以規(guī)避圖形的存在性問題.