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    巧裂項,妙放縮

    2023-07-23 17:27:57趙玉輝
    數(shù)學之友 2023年2期
    關鍵詞:裂項數(shù)列

    趙玉輝

    摘要:解決一些涉及函數(shù)類型的數(shù)列遞推關系式的求和問題,關鍵是抓住數(shù)列遞推關系式的實質,進行合理變形與轉化,巧妙結合不等式的性質加以放縮處理,綜合數(shù)列求和的裂項相消法來解決,結合模擬題實例,從不同視角加以裂項處理,總結裂項放縮變形的基本策略與方法,引領并指導數(shù)學教學與解題研究.

    關鍵詞:數(shù)列;遞推;求和;裂項;放縮

    涉及數(shù)列遞推關系式an+1=f(an)背景的數(shù)列求和的取值范圍問題,一直是高考數(shù)學試卷中的一類比較熟悉的題型.此類問題合理綜合數(shù)列的求和以及通項的放縮,將數(shù)列中的兩個重點與難點加以合理交匯與整合,難度較大,具有較高的選拔性與區(qū)分度,倍受命題者青睞.

    1問題呈現(xiàn)

    問題:(2021—2022學年浙江省寧波市慈溪市高三(上)期末數(shù)學試卷·10)已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,a1=1,且an+1=?an?6an+5?an?+1?(n∈WTHZN*),則().

    A.1

    B.?7?5?

    C.?12?5?

    D.?17?5?

    此題是具有浙江省高考數(shù)學特色的數(shù)列選擇壓軸題,從an和an+1的遞推關系不好直接放縮為等比數(shù)列,所以可以考慮裂項處理,而要自然地想到如何使用裂項破解此題,必須讓學生掌握常見的裂項類型,這樣才能在考場上快速想到解決本題的策略,比如?1??n??如何放縮裂項等.另外,也有其他背景,比如蛛網(wǎng)圖法、數(shù)列與函數(shù)的綜合考慮等,也能很好得以解決問題.

    2問題破解

    方法1:(裂項放縮——分式裂項法)

    解析:由a1=1,且an+1=?an?6an+5?an?+1?>0,

    兩邊取倒數(shù)有?1?an+1?=?6an+5?an?+1?an?=6+?5??an??+?1?an?=( 1??an??+?5?2?)2-?1?4?<( 1??an??+?5?2?)KG-*32,

    可得?1??an+1??

    所以?1??an??

    可得an≥( 2?5n-3?)KG-*32,當且僅當n=1時等號成立,

    又由于an+1=?an?6an+5?an?+1?

    所以an=?an?an-1?·?an-1?an-2?·?an-2?an-3?·…·?a3?a2?·?a2?a1?·a1

    則有an≤?14?(5n+2)(5n-3)?=?14?5?( 1?5n-3?-?1?5n+2?),當且僅當n=1時等號成立,

    所以Sn≤?14?5?JB<2[( 1?2?-?1?7?)+( 1?7?-?1?12?)+…+( 1?5n-3?-?1?5n+2?)JB>2]=?14?5?( 1?2?-?1?5n+2?)

    又a1=1,故Sn≥1,當且僅當n=1時等號成立;

    綜上分析,可得1≤Sn

    所以1

    解后反思:根據(jù)數(shù)列的遞推關系式對數(shù)列通項an的取值范圍進行估計,綜合一些相關的方法(如累加法、累乘法等,這里利用的是累乘法)得以確定數(shù)列通項an的上界或下界的估計,利用數(shù)列求和的裂項相消法(這里是通過分式裂項)加以合理放縮與處理,是解決此類問題最為常見的思維方式之一.

    方法2:(裂項放縮——根式裂項法)

    解析:由a1=1,且an+1=?an?6an+5?an?+1?>0,

    可得an+1=?an?6an+5?an?+1?

    由an+1=?an?6an+5?an?+1?去分母,可得an+1(6an+5?an?+1)=an,

    移項并整理可得an+1=?an-an+1?6an+5?an??

    所以Sn=an+an-1+…+a2+a1

    又a1=1,故Sn≥1,當且僅當n=1時等號成立;

    綜上分析,可得1≤Sn

    所以1

    解后反思:根據(jù)數(shù)列的遞推關系式特征確定數(shù)列前后項的大小關系以及取值范圍的估計,并會巧妙進行恒等變形處理,轉化為根式關系,進而利用根式裂項變形,通過數(shù)列求和的裂項相消法(這里是通過根式裂項)加以合理放縮與處理,對數(shù)學運算能力與關系式的變形能力要求更高,具備較好的函數(shù)化思維以及放縮嗅覺.

    方法3:(裂項放縮——待定系數(shù)法)

    解析:以上部分中方法1,可得?1??an+1??

    而an+1=?an?6an+5?an?+1?

    由an+1=?an?6an+5?an?+1?,兩邊取倒數(shù)有?1?an+1?=?6an+5?an?+1?an?=6+?5??an??+?1?an?≥( 1??an??+kJB))2,其中k>0,而上式6+?5??an??+?1?an?≥( 1??an??+kJB))2展開,整理可得?5-2k??an??+6-k2≥0對任意的0

    由?1??an+1??≥-?1??an??+k,可得?1??an??≥?1??an-1??+k≥?1??an-2??+2k≥?1??an-3??+3k≥…≥?1??a1??+(n-1)k=k(n-1)+1,

    則有?an?≤?1?kn+1-k?,即an≤?1?(kn+1-k)2?=?1?[(2?3?-1)n+2-2?3?]2?

    所以S2021=a1+a2+a3+a4+a5+…+a2021<1+?1?12?+?1?18+10?3??+?1?4?( 1?42?+?1?52?+…+?1?20212?)<1+?1?12?+?1?35?+?1?4?JB([( 1?3?-?1?4?)+( 1?4?-?1?5?)+…+( 1?2020?-?1?2021?)JB)]=1+?1?12?+?1?35?+?1?4?( 1?3?-?1?2021?)<1+?1?12?+?1?35?+?1?12?=?251?210?

    又0

    所以1

    解后反思:根據(jù)數(shù)列的遞推關系式的變形,合理引入?yún)?shù)進行待定系數(shù)法處理,進而結合不等式的性質加以放縮變形,再通過數(shù)列求和的裂項相消法(這里是通過平方分式裂項)加以合理放縮與處理.這里主要是通過猜想上界的形式,結合待定系數(shù)法作為中介來過渡與轉化,對數(shù)學思維能力要求非常高.

    方法4:(裂項放縮——數(shù)學歸納法)

    解析:由a1=1,且an+1=?an?6an+5?an?+1?>0,

    可得an+1=?an?6an+5?an?+1?

    構建函數(shù)f(x)=?x?6x+5?x?+1?,易知函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,1)上單調遞增,

    下面利用數(shù)學歸納法來證明:an≤?1?(2n-1)2?,

    (1)當n=1時,可得a1≤?1?(2-1)2?=1,而a1=1,不等式成立;

    (2)假設當n=k(k∈WTHZN*)時不等式成立,即ak≤?1?(2k-1)2?,

    那么ak+1=?ak?6ak+5?ak?+1?≤??1?(2k-1)2???6?(2k-1)2?+?5?2k-1?+1?=?1?(2k-1)2+5(2k-1)+6?=?1?4k2+6k+2?

    根據(jù)(1)和(2)可知不等式an≤?1?(2n-1)2?對于任何n∈WTHZN*都成立,

    所以an≤?1?(2n-1)2?

    所以S2021=a1+a2+a3+a4+…+a2021<1+?1?12?+?1?4?JB<2[( 1?2?-?1?3?)+( 1?3?-?1?4?)+( 1?4?-?1?5?)+…+JB<2(?1?2020?-?1?2021?JB>2)JB>2]=1+?1?12?+?1?4?( 1?2?-?1?2021?)<1+?1?12?+?1?8?=?29?24?

    又0

    所以1

    解后反思:根據(jù)數(shù)列的遞推關系式特征確定數(shù)列前后項的大小關系以及取值范圍的估計,通過先猜后證,對數(shù)列通項an的變化速度有一個初步的判斷,結合猜想并利用數(shù)學歸納法加以證明,得以確定數(shù)列通項an的上界估計,最后通過數(shù)列求和的裂項相消法(這里是通過分式裂項)加以合理放縮與處理.其實,該方法中的不等式也可以是an≤?1?n2?,結合該方法也可以得以解決.

    3鏈接高考

    以上模擬題類似于2021年高考數(shù)學浙江卷第10題,而且數(shù)列的遞推關系式更加復雜,難度也比高考真題有所提升與深入,解決問題的技巧與方法基本相當.

    高考真題:(2021年高考數(shù)學浙江卷第10題)已知數(shù)列{an}滿足a1=1,an+1=?an?1+?an??(n∈WTHZN*).記數(shù)列{an}的前n項和為Sn,則().

    A.?1?2?

    B.3

    C.4

    D.?9?2?

    答案:A.

    該高考真題的解決方式也是多樣,可參照以上模擬題的裂項放縮技巧與方法加以分析與解決,這里不多加以敘述與展開.

    4教學啟示

    4.1掌握裂項的基本類型,熟知裂項模式

    裂項相消法是數(shù)列求和常用的解題方法,常見的數(shù)列通項的裂項類型有:①利用分式的基本性質進行裂項;②利用根式的分母有理化進行裂項;③利用其他相關等式的運算進行裂項等.

    4.2善于裂項的基本步驟,把握裂項“三關”

    裂項相消法進行數(shù)列求和需過的“三關”:第一關是定通項關,即會利用求通項的常用方法,求出數(shù)列的通項公式;第二關是巧裂項關,即能將數(shù)列的通項公式準確裂項;第三關是消項求和關,即把握消項的規(guī)律,求和時正負項相消,準確判斷剩余的項是哪幾項,從而準確求和.

    參考文獻:

    [1]俞文銳.基于數(shù)學抽象的“裂項法”教學設計探析[J].中學數(shù)學月刊,2022(7):37-39+61.

    [2]王翠娜.基于建構主義的數(shù)列裂項求和探析[J].教學考試,2022(2):55-59.

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