數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學(xué)與物理教學(xué)中的應(yīng)用研究

王海林

摘 要：隨著新課改的不斷推進(jìn)，數(shù)形結(jié)合越來越受命題人的青睞，數(shù)形結(jié)合主要是考查高中生在數(shù)與形之間的相互轉(zhuǎn)換。善于發(fā)現(xiàn)數(shù)與形的結(jié)合并不斷提高解題的能力，進(jìn)一步培養(yǎng)我們在學(xué)習(xí)過程中的分析問題，邏輯關(guān)系以及思維的能力。本文結(jié)合筆者對數(shù)形結(jié)合在高中數(shù)學(xué)與物理題目中的應(yīng)用作了簡要探討。

關(guān)鍵詞：數(shù)形結(jié)合 高考 高中數(shù)學(xué) 高中物理

中圖分類號：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：C 文章編號：1672-1578（2018）03-0070-02

1 數(shù)形結(jié)合的概念

數(shù)與形是數(shù)學(xué)中最原始理論，也是開展研究的基礎(chǔ)，數(shù)與形在一定條件下可以相互轉(zhuǎn)化。在數(shù)學(xué)和物理學(xué)中很多關(guān)系可以轉(zhuǎn)換為圖形，反之亦然，繼而將抽象的文字轉(zhuǎn)換為直觀的圖形，起到化難為易的作用，在考試或者平時練習(xí)的時候大大提高解題的速度，并可以用此來驗證結(jié)果的正確性。在高中數(shù)學(xué)與物理解題過程中，數(shù)形結(jié)合在選擇題、填空題，以及計算題中都會有所涉及。在數(shù)學(xué)結(jié)合的運用過程中，主要有三種解題思路：數(shù)的形化、形的數(shù)解和數(shù)形互變。

1.1 數(shù)的形化

數(shù)的形化即將抽象的數(shù)量問題，利用某種對應(yīng)關(guān)系轉(zhuǎn)化為直觀的形的問題，將數(shù)量問題轉(zhuǎn)化為圖形之間的關(guān)系主要可以通過三個途徑：充分利用所學(xué)的平面幾何知識、立體幾何知識及解析幾何的知識，對數(shù)量關(guān)系進(jìn)行分析和求解。

1.2 以形變數(shù)

當(dāng)圖形問題需要定量的結(jié)果時，或者圖形關(guān)系較復(fù)雜時，可以將錯綜復(fù)雜的圖形關(guān)系轉(zhuǎn)化為代數(shù)關(guān)系，但是需注意觀察圖形的特征，找準(zhǔn)關(guān)鍵點，已經(jīng)圖形的線與線，面與面之間等存在的幾何關(guān)系，分析題干中的隱含條件和已知條件，確保由形向數(shù)轉(zhuǎn)化的準(zhǔn)確性。

1.3 數(shù)形互變

數(shù)形互變的實質(zhì)就是數(shù)變形和形變數(shù)的有機(jī)結(jié)合，在解決一個問題中往往需要這兩種方法同時使用，以確保結(jié)果的準(zhǔn)確性，在運用過程中做到見形思數(shù)，見數(shù)變形。

2 數(shù)形結(jié)合的原則

數(shù)形結(jié)合思想的主要包括雙向性、等價性和簡單原則。所謂雙向性原則的內(nèi)涵是指在對幾何圖形進(jìn)行分析的同時還要進(jìn)行代數(shù)的分析，代數(shù)語言因具有較高的邏輯性和準(zhǔn)確性，能為數(shù)形結(jié)合帶來便利。所謂等價是指代數(shù)與圖形之間的相互轉(zhuǎn)換要遵循等價的原則。由于圖形具有一定的局限性，加上在考試過程中時間的局限性和畫圖工具限制等原因，最終導(dǎo)致解題思路不準(zhǔn)確，圖形與代數(shù)之間存在差異，等價原則是數(shù)形結(jié)合的充分必要條件。在找到求解思路后是運用數(shù)的形化還是形的數(shù)化，或者是兩種方法兼用，主要在于哪種方法能夠簡單有效的求解出結(jié)果。

3 數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用

3.1 數(shù)形結(jié)合在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

數(shù)形結(jié)合在數(shù)學(xué)中的運用大致可分為：集合問題、方程不等式問題、三角函數(shù)問題、線性規(guī)劃問題、數(shù)列問題、絕對值問題、解析幾何問題以及立體幾何問題等。在高中學(xué)習(xí)階段和以后的學(xué)習(xí)中尤其的重要。在運用數(shù)與形之間的對應(yīng)關(guān)系中起主要將數(shù)量問題化為直觀的圖形問題。

設(shè)直線l1、l2分布是函數(shù)f（x）=-lnx，01圖像點P1，P2處的切線，l1與l2互相垂直并相交于點P，且l1、l2分別與y軸相交于點A，B，且△PAB的面積的取值范圍是（ ）

A（0，1） B（0，2） C（0，+∞） D（1，+∞）

解題思路：將數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為平面圖像如下圖所示

設(shè)P1（x1，lnx1），P2（x2，lnx2）（0

又因l1、l2相互垂直，所以x1x2=1， x2=。

則l1∶y=-（x-x1）-lnx1所以A，B的坐標(biāo)分別為（0，1-lnx1），（0， -1-lnx1）

l2∶y=x1（x-）+ln

故AB=2，聯(lián)立l1、l2得xp=

得S△PAB=·AB·xp=

又因x+>2所以0

本題將抽象的數(shù)學(xué)語言，轉(zhuǎn)換為具有強(qiáng)烈的形象性和直觀性的圖形，將題干中的代數(shù)信息逐一在圖形坐標(biāo)軸中表達(dá)出來，繪制出符合題意的圖形，找出關(guān)鍵點，并用字母標(biāo)識。本題中切線l1、l2，交點P等特點，在解題過程中，要善于提取題干中的有利信息，畫出正確的圖形，逐步求出正確的選項。本題的解題思路可歸納為以下幾個方面：

（1）通過閱讀題干，提取出題目所要求的結(jié)果；

（2）根據(jù)已給的條件，快速的搜索自己已經(jīng)學(xué)到的基本公式或者某種圖形，準(zhǔn)確的畫出圖像；

（3）結(jié)合圖形與數(shù)量的關(guān)系快速并準(zhǔn)確的求出最終答案。

3.2 數(shù)形結(jié)合在高中物理中的應(yīng)用

數(shù)形結(jié)合在高中物理中具有及其廣泛的運用，將物理知識與數(shù)學(xué)知識結(jié)合考查，是最近幾年高考中常見題型，多數(shù)出在物理的壓軸題。包括：平拋運動，天體運動等都涉及到數(shù)形結(jié)合的思想。

如圖所示，平面內(nèi)有豎直線DD'，過DD'且垂直于圖面的平面將空間分成I、II兩區(qū)域。區(qū)域I有方向豎直向上的勻強(qiáng)電場V和方向垂直圖面的勻強(qiáng)磁場B（圖中未畫出）；區(qū)域II有固定在水平面上h=2l、傾角α=的光滑絕緣斜面，斜面頂端與直線DD′距離S=4l，區(qū)域II可加豎直方向的大小不同的勻強(qiáng)電場（圖中未畫出）；C點在DD′上，距地面高H=3l。零時刻，質(zhì)量為m、帶電荷量為q的小球P在K點具有大小v0=、方向與水平面夾角的速度θ=，在區(qū)域I內(nèi)做半徑r=的勻速圓周運動，經(jīng)C點水平進(jìn)入?yún)^(qū)域II。某時刻，不帶電的絕緣小球A由斜面頂端靜止釋放，在某處與剛運動到斜面的小球P相遇。小球視為質(zhì)點，不計空氣阻力及小球P所帶電量對空間電磁場的影響。已知，重力加速度為g。

本題中由于帶電粒子在復(fù)合場中做勻速圓周運動，電場力與重力大小相等、方向相反，互相平衡，此題考查的知識點較多，將研究的對象和特征進(jìn)行具體化，可通過數(shù)形結(jié)合的思想來處理，把帶電粒子看成是一個質(zhì)點。

由題可知：小球P在Ⅰ區(qū)內(nèi)做勻速圓周運動，則小球P必定帶正電，且所受電場力與重力大小相等。

設(shè)Ⅰ區(qū)磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，由洛倫茲力提供向心力得：

qv0B=m B=

代入數(shù)據(jù)得： B=

小球p在區(qū)域Ⅰ做勻速圓周運動轉(zhuǎn)過的圓心角為θ，運動到C點的時刻為tc，到達(dá)斜面底端時刻為t1，有tc=、

s-hcotα=v0（t1-tc），小球A釋放后沿斜面運動的加速度為αA，與小球p在時刻t1相遇于斜面底端，有mgsinα=mαA。

聯(lián)立方程組得 =αA（t1-tA）2

tA=（3-2）

設(shè)所求電場方向向下，在tA′時刻釋放小球A，小球P在區(qū)域II運動加速度為ap，有

s=v0（t-tc）+αA（t-tA′）2cosα

mg+qE=map

H-h+αA（t-tA′）2sinα=ap（t-tc）2

聯(lián)立方程求解得 E=

對小球P的所有運動情形討論可得3≤β≤5

由此可得場強(qiáng)極小值為Emin=0；場強(qiáng)極大值為Emax=，方向豎直向上。

本題首先將題干的代數(shù)信息和自己學(xué)到的物理學(xué)公式作出恰當(dāng)?shù)膱D形，根據(jù)力的平衡，其實求得力與速度的關(guān)系，根據(jù)小球在區(qū)域內(nèi)的動能守恒定義求出場強(qiáng)的大小。在求解過程充分利用質(zhì)點的運動變化規(guī)律對物理模型進(jìn)行分析求解，利用圖形的直觀性來觀察小球的運動規(guī)律，利用數(shù)形結(jié)讓解題的思路十分清晰與巧妙，完美的展示了數(shù)與形，形與數(shù)的完美結(jié)合。

4 結(jié)語

從上面的例子可以看出，數(shù)形結(jié)合無論是在高中還是即將步入的大學(xué)生涯都有穿插，數(shù)形結(jié)合使抽象的問題具體化，在解決數(shù)形問題時，抓住數(shù)與形兩者之間的關(guān)聯(lián)性，使我們養(yǎng)成良好的數(shù)形思維、將動態(tài)思維與靜態(tài)思維相結(jié)合的習(xí)慣，將繁瑣的代數(shù)關(guān)系轉(zhuǎn)化為直觀的圖形關(guān)系，將復(fù)雜的函數(shù)關(guān)系直觀化。進(jìn)而提高解題速度和考試成績。

數(shù)學(xué)與物理學(xué)都源于生活，我們學(xué)習(xí)的知識和技能的最終目的都是為了解決生活生產(chǎn)中存在的問題。我們在高中的學(xué)習(xí)不僅要完成老師布置的作文，更重要的是培養(yǎng)解決實際問題的技能，將抽象的物理或數(shù)學(xué)模型化為直觀的圖形問題，然后分析問題、提出方案，最終運用數(shù)學(xué)方法解決問題，讓我們在學(xué)習(xí)和解題的過程中直接經(jīng)驗和間接經(jīng)驗結(jié)合，提高了在復(fù)雜場景中發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的能力。

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