把握知識聯(lián)系，還原問題本質(zhì)

吳亞軍

[摘 要] 以考查學(xué)生基礎(chǔ)知識和數(shù)學(xué)推理能力的知識融合的數(shù)列題成為近年來的高考重點題型，解決該類題的思路是準確定位知識結(jié)合點，充分利用基礎(chǔ)知識還原問題本質(zhì). 文章將結(jié)合歷年高考題具體講解該類題型的解題思路，并開展相應(yīng)的教學(xué)反思.

[關(guān)鍵詞] 融合；數(shù)列；聯(lián)系；解析幾何；對數(shù)

數(shù)列是高中數(shù)學(xué)的重要知識點，同時也是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)內(nèi)容. 數(shù)列是反映自然規(guī)律的一種基本的數(shù)學(xué)模型，與其他知識點結(jié)合緊密，知識融合的數(shù)列問題也成為近年來高考的重點題型，用以考查學(xué)生的基礎(chǔ)知識和綜合解題能力.

真題解析，試題分析

1. 真題呈現(xiàn)

（2017山東高考數(shù)學(xué)卷第19題）已知{xn}是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，且x1+x2=3，x3-x2=2.

（1）求數(shù)列{xn}的通項公式；

（2）如圖1所示，在平面直角坐標系xOy中，依次連接點P1（x1，1），P2（x2，2），…，Pn+1（xn+1，n+1）得到折線P1P2…Pn+1，求由該折線與直線y=0，x=x1，x=xn+1所圍成區(qū)域的面積Tn.

2. 真題解析

分析：（1）略；（2）折線與若干直線圍成的圖形是由若干梯形組成的，則面積Tn可通過疊加計算梯形面積獲得，設(shè)梯形PnPn+1Qn+1Qn的面積為an，根據(jù)梯形面積公式可表示an，利用錯位相減可求得Tn的值.

解：（2）過P1，P2，…，Pn+1作x軸的垂線，垂足為Q1，Q2，…，Qn+1. 設(shè)梯形PnPn+1Qn+1Qn的面積為an，則an=（2n+1）×2n-2，圍成面積Tn=a1+a2+…+an=3×2-1+5×20+…+（2n-1）×2n-3+（2n+1）×2n-2？搖①，2Tn=3×20+5×21+…+（2n-1）×2n-2+（2n+1）×2n-1②，①-②可得Tn=.

3. 試題解析

本題是較為特殊的數(shù)列綜合問題，第二問巧妙地將數(shù)列與解析幾何進行結(jié)合，主要考查學(xué)生幾何面積轉(zhuǎn)化以及數(shù)列求和等知識，對學(xué)生的邏輯思維能力和基礎(chǔ)運算能力要求較強. 確定數(shù)列的通項公式是解題的基礎(chǔ)，建立解析幾何與數(shù)列知識的聯(lián)系是解題的關(guān)鍵，準確運算求和是解題的保障. 上述解題過程充分利用圖形分析簡化幾何面積，然后通過面積計算實現(xiàn)了幾何問題的數(shù)列轉(zhuǎn)化，整個過程思路清晰，求解簡潔，知識的結(jié)合分析是打開問題突破口的關(guān)鍵，也為解決知識融合的數(shù)列問題提供了參考.

試題銜接，思路剖析

知識融合的數(shù)列問題在歷年考題中都有出現(xiàn)，例如結(jié)合雙曲線性質(zhì)、對數(shù)運算、函數(shù)極限等知識，其本質(zhì)上都是對知識關(guān)聯(lián)性的考查，解題的思路都是基于數(shù)列知識，充分把握知識結(jié)合點，發(fā)現(xiàn)數(shù)列與曲線性質(zhì)、對數(shù)函數(shù)性質(zhì)、極限等知識的聯(lián)系，通過合理的方式將問題轉(zhuǎn)化為基本的數(shù)列問題，從而實現(xiàn)綜合問題的簡單求解.

試題1：（2016四川高考數(shù)學(xué)卷第19題）已知數(shù)列{an}的首項為1，Sn為數(shù)列{an}的前n項和，Sn+1=qSn+1，其中q>0，n∈N*.

（1）若2a2，a3，a2+2成等差數(shù)列，求an的通項公式；

（2）設(shè)雙曲線x2-=1的離心率為en，且e2=，證明：e1+e2+…+en>.

分析：（1）略；（2）考查數(shù)列與解析幾何的交匯，根據(jù)離心率的定義可知en與q的關(guān)系，利用e2=可求得q的值，進而可得en，最后結(jié)合縮放法可證不等式.

解：an=qn-1，雙曲線離心率en==，根據(jù)e2==，解得q=. 因為1+q2（k-1）>q2（k-1），則>qk-1，k∈N*，進一步可得e1+e2+…+en>1+q+…+qn-1=，因此e1+e2+…+en>.

試題2：（2016天津高考數(shù)學(xué)卷第18題）已知{an}是等比數(shù)列，前n項之和為S（n∈N*），且-=，S6=63.

（1）求{an}的通項公式；

（2）若對任意的n∈N*，bn是log2an和log2an+1的等差中項，求數(shù)列{（-1）nb}的前2n項和.

分析：由bn是log2an和log2an+1的等差中項，根據(jù)對數(shù)運算可求得bn的通項，分析可知其為等差數(shù)列，假設(shè){（-1）nb}的前n項之和為Tn，分析-b+b=（b2n-1+b2n）（b2n-b2n-1） =b2n-1+b2n，從而可對其進行簡化，可得T2n=b1+b2+b3+…+b2n-1+b2n，利用等差數(shù)列前n項之和公式可求解.

解：由題意可知b=（log2an+log2an+1），an=2n-1，則bn=n-，{bn}是首項為，公差為1的等差數(shù)列. 假設(shè){（-1）nb}的前n項之和為Tn，則T2n=（-b+b）+（-b+b）+…+（-b+b）=b1+b2+b3+…+b2n-1+b2n==2n2.

上述問題都是涉及知識綜合的數(shù)列問題，試題1將數(shù)列與解析幾何知識相結(jié)合，考查雙曲線的性質(zhì)，求解過程利用離心率的定義，建立與數(shù)列的關(guān)系，利用不等式的縮放法來求解；試題2則是巧妙地將對數(shù)運算與數(shù)列知識相結(jié)合，利用對數(shù)運算實現(xiàn)對數(shù)知識到數(shù)列通項的過渡，整個過程融合自然，內(nèi)涵豐富.

解后反思，深入思考

1. 扎實基礎(chǔ)，變式學(xué)習(xí)

數(shù)列問題離不開求通項公式以及數(shù)列求和，熟練掌握和運用基礎(chǔ)知識始終是獲得解題思路的關(guān)鍵，在基礎(chǔ)知識教學(xué)中可以適當?shù)剡M行習(xí)題變式，例如對通項公式合理變換，改變題干信息的表述形式等，都可以有效拓展學(xué)生的思維，防止陷入解題的困境. 對于結(jié)合了解析幾何的數(shù)列問題則可以考慮采用數(shù)形結(jié)合的分析方式，使用綜合分析法來求解綜合問題，日常的變式練習(xí)對于數(shù)列知識的掌握有著重要的作用.

2. 注重綜合，提煉方法

分析高考數(shù)列問題發(fā)現(xiàn)近年對于數(shù)列的考查已不再局限于單一知識點，更加注重知識點的融合考查，例如近年來出現(xiàn)了結(jié)合不等式、集合、三角函數(shù)以及圖形面積等知識點的數(shù)列綜合題，充分體現(xiàn)出知識間的融合性. 在教學(xué)中可以適當?shù)亻_展綜合知識教學(xué)，創(chuàng)設(shè)條件溝通知識點之間的聯(lián)系，例如試題多解教學(xué)、專題知識講座、繪制知識體系圖等，通過針對性的習(xí)題練習(xí)提升學(xué)生知識綜合運用能力，讓學(xué)生在解題過程中提煉解題思路，獲得解題方法.

3. 歸納總結(jié)，思想提升

數(shù)列問題的基本模型是等差、等比數(shù)列，問題的變式綜合大致都離不開上述數(shù)列模型，即使是數(shù)列綜合問題也存在通性通法，例如分析數(shù)列性質(zhì)、分解知識交匯點、掌握數(shù)列求和方法等. 因此探究數(shù)列問題的解題技巧，提升歸納意識和推理能力成為解決數(shù)列問題的關(guān)鍵，歸納是對數(shù)列問題形式的一種合理總結(jié)，也是對解題思路的有效提煉，通過對考題的歸納總結(jié)可以不斷提升學(xué)生的化歸能力，從而獲得分析數(shù)學(xué)問題的思想方法.

結(jié)束語

高考知識融合的數(shù)列問題是對學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)和綜合能力的考查，解決該類問題要準確把握知識的結(jié)合點，利用相關(guān)性質(zhì)定理實現(xiàn)問題的數(shù)列還原，然后利用數(shù)列知識進行求解. 在實際教學(xué)中要幫助學(xué)生掌握數(shù)列的基礎(chǔ)知識，開展變式學(xué)習(xí)、知識融合訓(xùn)練、解題方法講解，提升學(xué)生的解題能力.另外要注重對問題的總結(jié)歸納，將技巧方法上升到思想高度，以提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思想為最終目的.endprint