基于差分方程和元胞自動機的交通阻塞模型

許珊珊　譚兵

摘要：在城市化進程發(fā)展快速的當(dāng)下，車道被占用會帶來一系列的消極影響。通過計算修正的道路通行能力值，得到事故所處橫斷面實際通行能力會下降并持續(xù)一段時間。通過t檢驗可以得到所占車道不同對橫斷面實際通行能力具有顯著性差異。然后建立了分段差分方程模型，得到了交通事故所影響的路段車輛排隊長度與其他變量間的關(guān)系。當(dāng)交通事故發(fā)生是紅燈或綠燈時，估算了車輛排隊到達上游路口所需的時間，最后通過元胞自動機的模擬仿真得到了很好的驗證。

關(guān)鍵詞：通行能力；ARMA模型；分段差分方程；元胞自動機

中圖分類號：TB文獻標(biāo)識碼：Adoi：10.19311/j.cnki.16723198.2018.04.088

1引言

車道被占用是指由于交通事故等各種原因，導(dǎo)致車道或道路橫斷面通行能力在單位時間內(nèi)降低的現(xiàn)象。在城市化進程發(fā)展快速的當(dāng)下，車道被占問題情況復(fù)雜，車道被占用極大程度上影響人民的正常工作生活。為此，根據(jù)2013年全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽A題，采用數(shù)學(xué)方法分析建立相關(guān)模型，估算了其影響程度，將為交通部門處理類似問題提供參考。

2模型假設(shè)

（1） 假設(shè)視頻 1，視頻2 中的車禍發(fā)生于同一橫斷面面，并且都完全占用兩條車道。

（2） 假設(shè)兩個小區(qū)路口出入的車輛對上游車流量的影響可忽略不計。

（3） 假設(shè)所有車輛嚴(yán)格遵守交通規(guī)則。

3模型的建立與求解

3.1數(shù)據(jù)的預(yù)處理

實際通行能力是指單位時間內(nèi)通過的標(biāo)準(zhǔn)小汽車當(dāng)量數(shù)，考慮到視頻中的實際情況，在本文中只考慮四輪及四輪以上的機動車、摩托車及電瓶車。并且對公交車，摩托車等進行當(dāng)量化的計算。通過公路工程技術(shù)標(biāo)準(zhǔn)，采用標(biāo)準(zhǔn)小汽車當(dāng)量數(shù)計算車型折算系數(shù)如表1所示。

由于紅綠燈以30秒為一個相位進行變化，于是本文以30秒的時間為一個單位間隔對視頻1中通過車禍橫截面處對車輛進行計數(shù)，由于16：42：32為車禍發(fā)生時間，所以本文從此時開始計數(shù)。觀看視頻1我們可以得知，部分時刻的畫面存在缺失。對缺失的數(shù)據(jù)我們采用MATLAB進行擬合得到。

可以建立t時刻的標(biāo)準(zhǔn)小汽車當(dāng)量數(shù)Ct的計算公式如下：

Ct=St1+0.5St2+1.5St3

其中Sti表示t時刻第i種車型的數(shù)量。

t時刻實際通行能力Yt的計算公式為：

Yt=120Ct

3.2模型的建立

ARMA模型（auto regressive moving average model）自回歸滑動平均模型，這種方法是研究平穩(wěn)隨機過程有理譜的典型方法，適用于很大一類實際問題。首先對數(shù)據(jù)進行AIC檢驗，通過MATLAB編程得出當(dāng)p=3，q=3時，AIC達到最小值即AICmin=9923776，最后進行chi2檢驗，h=0說明檢驗通過，擬合的曲線為：

Yt=2.48Xt-1-2.21Xt-2+0.73Xt-3+εt-2598εt-1+2.41εt-2-0.7968εt-3

實際通行能力是基本通行能力與各修正系數(shù)的連乘積，其計算公式如下：

Y=Y0*FEQ*FLT*FRT*FLA*FFR

其中基本通行能力Y0是理想情況下每條車道單位時間內(nèi)能夠通過的最大交通量，其計算公式如下：

Y0=3600t0=3600l0v3.6=1000vl0pcuh

其中l(wèi)0=ld+lb+ls+lc

t0表示駕駛員反應(yīng)時間，取0.5s， l0表示車頭最小間距，ld表示駕駛員在反應(yīng)時間內(nèi)車輛行駛的距離，lb表示車輛的制動距離，ls表示車輛間安全距離，lc表示車輛平均長度。

由條件知車道寬度為3.25m，車輛平均長度為各車車長及其所占車流量比例乘積和，結(jié)合視頻有v=33km/h，ld=5.56，lb=10，ls=5，lc=3.42。求得Y0=1388.66。

各修正系數(shù)為：主支路流量不平衡影響修正系數(shù)FEQ=1-0.32lnx，左轉(zhuǎn)修正系數(shù)FLT=1-0.40x，右轉(zhuǎn)修正系數(shù)FRT=1+0.1x，交叉平面口大型車匯入修正系數(shù)FLA=1+0.20x，結(jié)合實際觀測出的各時段橫向干擾修正系數(shù)的值FFR=0.8，綜上可得到：

Y=Y0×[1-0.32×ln（qaq23）]×（1+0.1×q23qa）×（1+0.2×qlqa）×0.8

通過MATLAB編程求解得到模型值與通過視頻統(tǒng)計的實際值做出對比如圖1所示，從圖1可以看出，該模型計算的實際通行能力值是真實可靠的。交通事故發(fā)生至撤離期間， 事故所處橫斷面實際通行能力會下降且會持續(xù)一段時間。

3.3差異性檢驗

為了說明Yt1，Yt2的數(shù)據(jù)之間是否存在顯著性差異，我們通過SPSS軟件對其進行T檢驗，首先假設(shè)Yt1，Yt2之間不存在顯著性差異，檢驗結(jié)果如表2所示：

從表2可以看出，總體方差F=6.767， 對應(yīng)的概率p=0.011 小于顯著性水平=0.05，因此兩總體方差具有顯著性差異。對應(yīng)的t統(tǒng)計量p=0.000小于=0.05，故假設(shè)不成立，兩個總體的均值有顯著差異。即同一橫斷面交通事故所占車道不同對該橫斷面實際通行能力的影響具有顯著性差異。

3.4分段差分方程模型

由于交通流模型，考慮的是上游路段所有的車流量，不能清楚的計算出存在周期性的車輛數(shù)變化。我們在此基礎(chǔ)上對其改進，將上游路口的紅綠燈的變化來建立差分方程，這個過程分為兩種情況：當(dāng)發(fā)生交通事故時，上游路口為紅燈或綠燈。

考慮紅綠燈對流入車輛的影響，紅燈和綠燈的持續(xù)時間Δt=30s，紅綠燈時刻不同會導(dǎo)致隊長的變化量不同，由于視頻1中事故發(fā)生時正好是紅燈亮的時候，于是有：endprint

S（t+Δt）-s（t）=λ1-μ+a1-a2（t∈（60k，60k+30））λ2-μ+a1-a2（t∈（60k+30，60k+60））

其中λ1表示紅燈的時候上游路口流入量，λ2表示綠燈的時候上游路口流入量，表示小區(qū)路口流入量，a2表示小區(qū)路口流出量，μ表示道路通行能力。事故持續(xù)時間t的單位是秒，k=0，1，2，…。

令w1=λ1-μ+a1-a2，w2=λ2-μ+a1-a2 ，w1表示紅燈下車輛的排隊數(shù)，w2表示綠燈下車輛排隊數(shù)。

解差分方程（8）得到：

S（t）=S（0）+k（w1+w2）+w1（t-60k）（t∈（60k，60k+30））S（0）+k（w1+w2）+w1+w2（t-60k-30）（t∈（60k+30，60k+60））

用MATLAB做出視頻1中隊長時間變化如圖2所示。

根據(jù)圖2可以發(fā)現(xiàn)，排毒長度呈現(xiàn)周期性變化。從式（9）可以看出實際通行能力越大路段車輛排隊長度越小，路段上游車流量越大路段車輛排隊長度越大。

3.5排隊時間的計算

中間道路往往最長，直走的車輛所占比例最重為44%，S（T）=0.44Ml=140，其中l(wèi)=6（m）為平均車距和平均車長之和，求出堵到路口需要的車輛M=53，考慮到系統(tǒng)的最大容量 Mmax=140×3l0=70， 隨著時間的變化，當(dāng)概率P53（t1）=maxP53（t）的時候也就是排隊最有可能排到路口的時候。

當(dāng)事故發(fā)生是紅燈的時候，視頻1的路段上游車流量為1500pcu/h（25puc/min），紅綠燈到達車流量比例分配為：

紅燈到達率：λ1=25×1.731.73+18.65=212（pcu/min）。

綠燈到達率：λ2=25×18.651.73+18.65=2280（pcu/min）。

在上面（8）式子中，a1=0，a2=1.5（pcu/min）。

對于上述分析，我們用MATLAB畫出持續(xù)時間和排隊長度的變化如圖3所示。

有圖3可知，對于考慮交通燈的分段差分方程模型，當(dāng)交通事故發(fā)生時是紅燈，第一次到達53輛車需要543.02秒，即車輛排隊長度到達上游路口需要9.05分鐘。當(dāng)事故發(fā)生時是綠燈，第一次到達53輛車需要450秒，即車輛排隊長度到達上游路口需要7.5分鐘。

3.6元胞自動機模型的仿真

元胞自動機是利用簡單編碼與仿真細(xì)胞繁殖機制的一種非數(shù)值算法空間分析模型。為了形象地描述這個道路，我們將汽車流量問題離散化，在元胞自動機模型中，我們令每個元胞對應(yīng)的實際長度為4m。為了在 MATLAB 中實現(xiàn)這個想法，我們建立了一個很大的矩陣來對這個道路系統(tǒng)（忽略了支路的影響）進行模擬。

我們對問題四所描述的情況輸入到元胞自動機模型中，由于單次的數(shù)據(jù)具有較大的隨機性，我們統(tǒng)計了100次排隊到達上游路口所需要的時間，得到排隊長度到達上游路口所需時間的平均值為468s（7.8min），做出了時間-頻數(shù)直方圖如圖4所示。

參考文獻

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