試析三角函數(shù)最值問(wèn)題的解題策略

戴昊軒

【摘 要】三角函數(shù)的最值問(wèn)題在高中屬于重要考點(diǎn)，主要指的是將三角函數(shù)通過(guò)某種方法進(jìn)行變形處理使其變成基本形式的函數(shù)，最后再利用相應(yīng)的求解方法進(jìn)行值域求解。這類問(wèn)題通常情況下可以考察很多知識(shí)點(diǎn)，其中包括了三角函數(shù)性質(zhì)、三角函數(shù)概念、三角函數(shù)圖像、三角函數(shù)公式等多方面內(nèi)容。題型多種多樣，具有很強(qiáng)的抽象性和技巧性，解題方法也有很多種不同的形式，綜合性明顯。作為學(xué)生對(duì)此必須要進(jìn)行深入研究，不斷分析總結(jié)不同的解題策略，在鍛煉知識(shí)的靈活應(yīng)用同時(shí)開(kāi)發(fā)自身的數(shù)學(xué)思維，提高解題能力。

【關(guān)鍵詞】三角函數(shù)；最值問(wèn)題；解題策略

引言

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中有很多種運(yùn)算工具，三角函數(shù)是其中之一，占據(jù)重要位置。最值問(wèn)題是三角函數(shù)中的最基本內(nèi)容，也是重難點(diǎn)內(nèi)容，在平時(shí)做題的過(guò)程中經(jīng)常能遇到，對(duì)于我們的解題能力和綜合應(yīng)用能力有著很高的要求。在求解三角函數(shù)最值的時(shí)候和求其他函數(shù)無(wú)差，不僅需要用到三角函數(shù)的自身特性，同時(shí)也要學(xué)會(huì)對(duì)其進(jìn)行不同形式的轉(zhuǎn)化，將其變?yōu)樽罨镜暮瘮?shù)形式下再進(jìn)行求解。

一、幾種常見(jiàn)的三角函數(shù)最值問(wèn)題解題策略

三角函數(shù)最值問(wèn)題的變化多樣，其解題方法也呈現(xiàn)很多種形式。具體如下：

（一）配方法

配方法通常用在只有正弦和余弦函數(shù)且次數(shù)為2和1并存的三角函數(shù)表達(dá)式中。對(duì)于這類問(wèn)題的解決需要對(duì)其進(jìn)行配方或者換元將原有的三角函數(shù)變成二次函數(shù)，然后再進(jìn)行求解。

（二）化一法

化一法主要由三部分組成，其中包括化一角、化一次、化一名，在解題的過(guò)程中需要用到降冪公式、推導(dǎo)公式、倍角公式以及和差公式，對(duì)此我們需要熟練掌握多種不同的公式，并能夠靈活運(yùn)用。

（三）利用三角函數(shù)的有界性求解

三角函數(shù)中的正弦函數(shù)與余弦函數(shù)都具有一定的有界性，因此在解題過(guò)程中也可以利用這種有界性求解三角函數(shù)的最值。

（四）利用三角函數(shù)的單調(diào)性求解

在求解三角函數(shù)最值問(wèn)題的過(guò)程中根據(jù)不同區(qū)間相應(yīng)的單調(diào)性進(jìn)行求解也是一種有效的解題方式，可以讓題目變得更加簡(jiǎn)單，幫助我們?cè)谧疃虝r(shí)間內(nèi)解出問(wèn)題，同時(shí)也能在一定程度上鍛煉我們的解題能力。

二、三角函數(shù)不同解題方法在實(shí)際當(dāng)中的運(yùn)用

（一）利用配方轉(zhuǎn)化

如果一個(gè)三角函數(shù)問(wèn)題經(jīng)轉(zhuǎn)化可以將其變成y=asin2x+bsinx+c或y=acos2x+bcosx+c的三角函數(shù)最值問(wèn)題，這就可以將其看做是sinx或cosx的二次函數(shù)最值問(wèn)題，因此利用配方轉(zhuǎn)化求解最方便。

解析：在遇到這類問(wèn)題的時(shí)候，主要需要注意到三點(diǎn)：

1.首先是三角函數(shù)的變形，必須要注意三角函數(shù)轉(zhuǎn)變?yōu)槎魏瘮?shù)的準(zhǔn)確性，可以適當(dāng)采用換元方式。2.熟練掌握二次函數(shù)的配方技巧，尤其要注意二次項(xiàng)系數(shù)以及對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)開(kāi)口，避免出錯(cuò)。3.準(zhǔn)確把握三角函數(shù)的取值范圍，尤其是換元之后的變量，避免出現(xiàn)錯(cuò)誤。

（二）利用三角函數(shù)的有界性轉(zhuǎn)化

三角函數(shù)中的正弦、余弦函數(shù)具有一定的有界性，因此屬于一種有界函數(shù)，利用這種有界性可以靈活解決三角函數(shù)的最值問(wèn)題。如果既定的三角函數(shù)可以通過(guò)三角恒等變化結(jié)合相應(yīng)的公式將其轉(zhuǎn)變?yōu)樾稳鐈=Asin（ωx+φ）+k的形式，就可以利用這種有界性進(jìn)行求解。在考試過(guò)程中，通常習(xí)慣采用的步驟就是首先求出函數(shù)的已知值域?yàn)閇-A，A]，變量x無(wú)特定范圍，最后求其最值。

（三）利用三角函數(shù)的單調(diào)性轉(zhuǎn)化

對(duì)于三角函數(shù)來(lái)說(shuō)，不同區(qū)間的單調(diào)性也是不同的，在解題的過(guò)程中也可以利用其相應(yīng)的單調(diào)性進(jìn)行最值的求解，這是一種十分常見(jiàn)的最值解題側(cè)略。這類題在考試中經(jīng)常會(huì)遇到，主要考察的是我們對(duì)三角函數(shù)性質(zhì)以及圖像變化技巧的掌握。

解析：在利用單調(diào)性求最值的時(shí)候要先確定函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，然后再進(jìn)行計(jì)算，最終就會(huì)得出相應(yīng)的結(jié)果。但是過(guò)程中應(yīng)該注意以下幾點(diǎn)問(wèn)題：

（1）相對(duì)于單調(diào)性來(lái)說(shuō)其是針對(duì)某一個(gè)定義域內(nèi)的一個(gè)區(qū)間來(lái)說(shuō)的，如果一旦離開(kāi)了該區(qū)間或者離開(kāi)了相關(guān)定義域就不能構(gòu)成相應(yīng)的單調(diào)性。而對(duì)某些函數(shù)來(lái)說(shuō)，其整個(gè)定義域內(nèi)的函數(shù)只能在定義域內(nèi)的某個(gè)區(qū)間形成單調(diào)，例如常函數(shù)這類函數(shù)根本就沒(méi)有單調(diào)區(qū)間。

（2）一個(gè)函數(shù)在相關(guān)定義域內(nèi)的相應(yīng)區(qū)間具有兩點(diǎn)，均為增函數(shù)或者是減函數(shù)，通常情況下是不能認(rèn)為其在相應(yīng)的點(diǎn)區(qū)間內(nèi)是增函數(shù)還是減函數(shù)。

三、結(jié)語(yǔ)

總而言之，求解三角函數(shù)最值問(wèn)題是當(dāng)前高中數(shù)學(xué)中的重要考點(diǎn)，我們對(duì)此必須要予以高度重視。由于其題型多種多樣，具有很強(qiáng)的抽象性與綜合性，因此在解題方法上也不盡相同，不同題型的解題方法也是存在差異的，對(duì)此，身為一名高中學(xué)生還是要平時(shí)多做題、多練習(xí)，扎實(shí)掌握三角函數(shù)的基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)在練習(xí)過(guò)程中總結(jié)多種解題技巧，并做好靈活運(yùn)用，提高解題效率，確?？梢杂龅饺魏螁?wèn)題都能游刃有余。endprint