適度抽象，數(shù)學教學的應有理性

譚倩

摘 要：數(shù)學抽象是學生數(shù)學學習的應有之義。數(shù)學抽象簡言之就是舍棄數(shù)學知識的非本質屬性、提煉本質屬性的過程。由于數(shù)學抽象的對象、過程等差異，使得數(shù)學抽象的類型很多。在數(shù)學教學中，教師要依托直觀操作、直觀幾何、直觀表象等，引導學生逐步抽象，將學生從數(shù)學的感性認識上升到理性認識。

關鍵詞：數(shù)學抽象；數(shù)學教學；應有理性

數(shù)學是研究數(shù)量關系和空間形式的科學，抽象性是數(shù)學的基本特性。課標實驗組組長、東北師范大學史寧中教授認為，數(shù)學的基本思想方法有三個，即抽象、推理和模型。任何一個數(shù)學知識，無論它是概念、法則還是規(guī)律、定理等，都需要經歷抽象的過程。任何數(shù)學問題，無論它是數(shù)與計算、圖形與幾何還是統(tǒng)計與概率等，也都離不開數(shù)學抽象?？梢赃@樣說，沒有抽象就沒有數(shù)學。因此，荷蘭著名數(shù)學教育家弗賴登塔爾這樣說，“與其說是學習數(shù)學，毋寧說是學習數(shù)學化；與其說是學習形式，毋寧說是學習形式化；與其說是學習公理，毋寧說是學習公理化”。

一、怎樣理解“數(shù)學抽象”

“抽象”一詞，源于拉丁文“adstracio”，其基本含義有抽取、排除、提純等意思。所謂“數(shù)學抽象”，是指抽取事物在數(shù)量關系和空間形式方面的本質屬性，舍棄非本質屬性，進而提煉數(shù)學本質的過程。顯然，這樣的過程是一個去粗取精、去偽存真、由此及彼、由表及里的過程。在學生的數(shù)學學習中，前一階段數(shù)學抽象所形成的概念、結構等往往是后一階段數(shù)學抽象的對象。從這個意義上說，數(shù)學抽象是具有層次性、遞進性的。

數(shù)學抽象有許多類型，根據(jù)抽象的方式不同，我們可以將數(shù)學抽象分成“表征性抽象”（如長方形、正方形、平行四邊形等的概念、定義等）、“建構性抽象”（如方程的概念、奇偶數(shù)概念、素數(shù)合數(shù)概念等）和“原理性抽象”（如三角形的內角和，加法交換律、結合律等）；按照抽象過程進行分類，可以將數(shù)學抽象分為“理想化抽象”（即人類依靠思維構造而形成的理想化存在，如直線、射線燈）、“弱抽象”（即舍棄一些特征而進行的抽象，如平行四邊形舍棄角的特征，從邊的角度定義，如“一組對邊平行且相等的四邊形就是平行四邊形”的概念的抽象就是弱抽象）、“強抽象”（即通過增加某些特征而形成的概念，如“兩條邊相等的三角形是等腰三角形”等）和“等置抽象”（即依據(jù)等價關系進行抽象，如自然數(shù)的抽象等）。根據(jù)抽象的對象不同，可以分為“概念抽象”（如分數(shù)概念、小數(shù)概念的抽象等）、規(guī)律抽象（如數(shù)的規(guī)律、形的規(guī)律、式的規(guī)律抽象等）、“關系抽象”（如長方形、正方形、平行四邊形、菱形等關系的抽象）和“思想方法的抽象”（如數(shù)的分與合的抽象等）。立足于學生的認知視角，數(shù)學抽象可以分為三層：一是抓住事物的特征；二是抓住事物的本質；三是抓住事物的關聯(lián)。

數(shù)學抽象可以幫助學生更好地體會知識的數(shù)學本質，也可以更好地幫助學生形成良好的數(shù)學認知結構，還可以更好地發(fā)展學生邏輯分析、判斷、推理和概括的能力。一般的，如果一個人的數(shù)學抽象水平高，這個人的某些數(shù)學關鍵能力、必備品格、思維水平就強。相應的，這個人也應該具備良好的數(shù)學核心素養(yǎng)。

二、如何進行數(shù)學抽象

小學生的數(shù)學思維以直觀動作思維和具體形象思維為主。如何引導學生的直觀動作、具體形象思維向抽象思維發(fā)展并不是一蹴而就的。教學中，教師要遵循學生的心理發(fā)展規(guī)律，認識規(guī)律，逐步引導學生從感性認識出發(fā)，讓學生充分經歷具象操作、直觀感知、表象積累，逐步發(fā)展抽象思維，提升學生的數(shù)學核心素養(yǎng)。

1. 依托直觀操作，建構抽象算法

小學低年級學生的思維在某種意義上是直觀動作思維。直觀動作、直觀操作是學生感受和體驗數(shù)學概念形成過程的重要方式。教學中，教師要引導學生對實物、學具、圖形等進行操作實踐，豐富學生的感性經驗。瑞士著名結構主義哲學家、心理學家皮亞杰認為，“動作是智慧的根源，切斷動作，兒童的思維就無從談起”。當然，數(shù)學的操作不是一種機械的操作，而應該是融通兒童思維的操作，亦即兒童的“具身認知”。所謂“具身認知”，即借助兒童多樣化感官的認知。

【案例1】 《十幾減9》（蘇教版小學數(shù)學一年級下冊）教學片段

在引導學生讀懂題意，提出了有價值的數(shù)學問題，學生自主列出算式后，教師引導學生借助小棒等材料探索“13-9”的算法。

師：請同學們拿出13根小棒。

（于是，學生拿出了一捆小棒和3根小棒）

師：怎樣從這么多小棒中拿出9根小棒呢？

（學生小組合作拿小棒）

生1：我們組認為，用3根小棒減去9根小棒不好減，于是我們組將一捆小棒拆開，從10根小棒中拿出9根小棒，還剩1根小棒，再將這1根小棒和原來的3根小棒合起來，一共還有4根小棒。

師：你能將你們組分小棒的過程用算式表示出來嗎？

生1：10-9=1，1+3=4。

生2：我們組是這樣操作的，由于用3根小棒減去9根小棒不夠，所以我們組先減去9根小棒中的3根，再從一捆小棒中減去6根，還有4根小棒。用算式表示是：13-3=10根，10-6=4根。

生3：我們組是這樣操作的，從13根小棒中拿走9根小棒，相當于從14根小棒中拿走1捆小棒，還有4根小棒。用算式表示是：14-10=4根。

……

教學中，教師將學生的操作與學生的算理理解、算式表達緊密聯(lián)系在一起。學生借助直觀操作，獲得了“破十法”“平十法”“湊十法”等算法的深刻動作感受、體驗。學生的抽象思維逐漸萌芽，實現(xiàn)了對抽象算法的意義建構。

2. 借助幾何直觀，建構抽象概念

數(shù)學的抽象性與學生的形象思維本身就是一對客觀存在的現(xiàn)實矛盾。如何有效地化解這一對矛盾？筆者認為，最為有效的方法就是教學中教師要依托直觀形象，加強學生的直觀理解。通過直觀理解，引導學生理解概念的本質內涵。要根據(jù)學生的思維發(fā)展水平，分析概念的數(shù)學本質，在概念的本質處借助幾何直觀，建構抽象概念。endprint

【案例2】 《倒數(shù)的認識》（蘇教版小學數(shù)學六年級上冊）教學片段

認識倒數(shù)是學生學習分數(shù)除法的基礎。倒數(shù)的本質是什么？筆者在聽課中發(fā)現(xiàn)有教師用漢字的顛倒如“吞”與“吳”，有教師用句子的顛倒如“上海自來水來自海上”等導入新課。顯而易見，這些看似新穎的導入方式其實都是對“倒數(shù)”本質意義的錯誤理解。倒數(shù)并不是“倒過來的數(shù)”，倒數(shù)的本質是“乘積為1”。筆者在教學中借助幾何直觀，讓學生較好地建構了“倒數(shù)”概念。

教師出示長為1、寬為1，長為2、寬為，長為3、寬為等的長方形。

師：這兒有一些長方形，請你觀察這些長方形的長和寬，說出它們之間的關系。

生1：我發(fā)現(xiàn)長越長，寬越短。

生2：我發(fā)現(xiàn)所有的長方形面積都相等，而且都等于1。

生3：我發(fā)現(xiàn)長都是整數(shù)，寬都是分數(shù)單位。

……

師：像上圖這樣，乘積是1的兩個數(shù)互為倒數(shù)。你能夠求出任何一個數(shù)的倒數(shù)嗎？

生4：根據(jù)“乘積是1的兩個數(shù)互為倒數(shù)”，我想，求一個數(shù)的倒數(shù)我們可以用1除以這個數(shù)。

……

上述教學，筆者從倒數(shù)本質出發(fā)，借助圖形讓學生理解“乘積為1”的含義。學生直觀地看到，一個數(shù)越大，它的倒數(shù)就越小；一個數(shù)越小，它的倒數(shù)就越大。他們深刻感受并體會到互為倒數(shù)的兩個數(shù)之間的相互依存關系。此外，從長與寬的動態(tài)變化中，學生還能夠在心中種下反比例關系的量的種子。

3. 豐富表象積累，建構抽象規(guī)律

所謂表象，是指學生頭腦中的形象。表象是從直觀形象到抽象的過渡，是從具體感知到邏輯思維的橋梁。事實上，表象應該是一個“半抽象”的東西，是學生多次、反復地對形象進行加工、概括和提升的產物。教學中，教師要豐富學生的表象積累，引導學生逐步建構抽象規(guī)律。

【案例3】《有余數(shù)的除法》（蘇教版小學數(shù)學二年級下冊）教學片段

師（點擊課件）：把7個桃子平均分給3個小朋友，每個小朋友分得多少個，還剩多少個？

生1：7÷3=2（個）……2（個）。

師（點擊課件）：把17朵花平均放在5個花瓶中，每個花瓶插幾朵，還剩幾朵？

生2：17÷5=3（朵）……2（朵）。

師（點擊課件）：從圖書室借來20本書，平均分給一個小組中的6個學生，每個學生分得多少本書，還剩多少本書？

生3：20÷6=3（本）……2（本）。

……

經過多次的平均分，學生逐步感悟出這樣的規(guī)律，即每次平均分后，余下的數(shù)都比除數(shù)要小。如果余下的數(shù)比除數(shù)大，就要繼續(xù)平均分。學生經歷了算理和算法抽象的過程，從實物分配到列除法算式，再從具體的算式到概括抽象出余數(shù)與除數(shù)間的關系，學生從個別到一般、從感性到理性，將余數(shù)知識抽象到普適化規(guī)律層面，即除數(shù)一般要大于余數(shù)，被除數(shù)等于商乘除數(shù)加余數(shù)。

對數(shù)學知識進行抽象，教師要把握好尺度，不能操之過急，而應螺旋上升，讓學生獲得充分的感性活動經驗，完整經歷從直觀操作、直觀形象、直觀表象到抽象概括的過程。在這個過程中，教師要引導學生邁過抽象概括過程中的一道道“坎”，讓學生慢慢感悟數(shù)學的思想方法，逐步將學生從初級的經驗水平提升為高級的抽象水平，這是數(shù)學教育的應有之義和責任擔當。endprint