芻議初中數(shù)學(xué)分類討論思想

摘要：分類討論思想是初中數(shù)學(xué)的重要思想方法，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與解題中都有重要的運(yùn)用。如何結(jié)合初中數(shù)學(xué)教學(xué)培養(yǎng)學(xué)生的分類討論意識(shí)，使分類討論思想深入學(xué)生的思維過程中呢？本文結(jié)合初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)實(shí)際，探討了分類討論應(yīng)用的原因，應(yīng)用分類討論的注意點(diǎn)，最后還通過舉例探討了分類討論在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的具體應(yīng)用。本文對(duì)于做好初中數(shù)學(xué)教學(xué)中分類討論思想的教學(xué)有一定的啟發(fā)和參考價(jià)值。

關(guān)鍵詞：分類討論思想；原因；注意點(diǎn)；具體應(yīng)用

分類討論是數(shù)學(xué)解題中重要的思想方法，對(duì)學(xué)生解決實(shí)際問題有著促進(jìn)意義。但初中生常常在解題過程中，不知如何分類討論，這就需要教師能夠結(jié)合教材以及學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，通過創(chuàng)設(shè)情境對(duì)分類討論應(yīng)用方法進(jìn)行強(qiáng)化，啟發(fā)并誘導(dǎo)學(xué)生對(duì)分類討論的解題思想加以靈活性的應(yīng)用，將分類討論的思想本質(zhì)加以充分的揭示，這樣就能逐漸培養(yǎng)學(xué)生的分類討論意識(shí)。本文主要探討初中數(shù)學(xué)分類討論思想。

一、應(yīng)用分類討論的原因

初中的數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，要能按照因材施教的方法，通過多樣化的教學(xué)方法應(yīng)用，促進(jìn)不同層次的學(xué)生學(xué)習(xí)需求的滿足。在實(shí)際的解題過程中，進(jìn)行引入分類討論的原因是多方面的，這要根據(jù)實(shí)際的問題類型決定。初中數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，問題的多樣性也使得解題的方法多樣性，比較常見的有運(yùn)算分類討論以及定義分類討論，位置分類討論以及實(shí)數(shù)性質(zhì)分類討論等等。運(yùn)算分類討論主要是在實(shí)際數(shù)學(xué)題目的運(yùn)算過程中引出的討論，有的運(yùn)算中要有相應(yīng)的條件支持，例如在開偶次方的時(shí)候，被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)。運(yùn)算中的各種問題情況都要能夠考慮到，這樣才能將實(shí)際問題得到有效解決。

二、應(yīng)用分類討論的注意點(diǎn)

（一）分類要不重復(fù)、不遺漏

對(duì)初中數(shù)學(xué)教學(xué)過程中采用分類討論思想，要按照相應(yīng)的步驟加以實(shí)施。教學(xué)中，對(duì)于每次的分類都要能夠按照同一衡量標(biāo)準(zhǔn)加以推進(jìn)分析，要能做到不重復(fù)以及不遺漏。進(jìn)行分類討論過程中還要保證討論的系統(tǒng)化以及全面性。在步驟上主要是先按照對(duì)研究目標(biāo)的確定，以及分類討論分析和綜合性的結(jié)論。

（二）分類討論要嚴(yán)謹(jǐn)

數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，實(shí)施分類討論要能按照題目的要求，對(duì)討論的目標(biāo)要能得到有效確定，然后再進(jìn)行實(shí)施討論，在目標(biāo)研究之后分類討論。針對(duì)數(shù)學(xué)中一些相對(duì)比較復(fù)雜的問題討論過程中，就要對(duì)問題實(shí)施細(xì)化分析，對(duì)每種討論的情況都要能夠考慮到。然后就是對(duì)討論的結(jié)果進(jìn)行歸納總結(jié)，從而得出討論的結(jié)論。對(duì)于每個(gè)步驟都要能充分的重視，做到討論的嚴(yán)謹(jǐn)性。

（三）明確討論的對(duì)象及其范圍

初中數(shù)學(xué)分類討論在實(shí)施過程中，是對(duì)于一些問題對(duì)象不能統(tǒng)一化研究的時(shí)候就要進(jìn)行分類討論，依照著某一要求來對(duì)研究的對(duì)象實(shí)施分類，然后再對(duì)每一類進(jìn)行詳細(xì)的研究。在進(jìn)行分類過程中要對(duì)討論的對(duì)象和范圍明確化，在分類的標(biāo)準(zhǔn)上也要確定。分類討論的思想應(yīng)用并非是針對(duì)任何數(shù)學(xué)問題都是適用的，所以要能夠明確討論的基礎(chǔ)。

三、分類討論思想方法的具體運(yùn)用

（一）對(duì)字母的分類討論

在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，有的方程和不等式，系數(shù)是通過字母形式進(jìn)行表達(dá)的，這其中就會(huì)對(duì)字母的取值變化進(jìn)行討論分析。最為常見的就是在一元二次方程的學(xué)習(xí)過程中，對(duì)于二次項(xiàng)的系數(shù)常常通過字母進(jìn)行表達(dá)，這就要對(duì)字母的取值進(jìn)行討論，因?yàn)槿≈祵?duì)方程的解是有著直接的影響。還有就是對(duì)概念分類定義過程中，有的也是需要進(jìn)行討論。如，絕對(duì)值的分類討論，在絕對(duì)值號(hào)去掉之后對(duì)其要分類探討大于0，等于0，小于0。

（二）定義、公式中的分類討論

在初中數(shù)學(xué)教材當(dāng)中，有一些公式和定理以及習(xí)題等都是需要進(jìn)行分類討論的。實(shí)際解題過程中可通過對(duì)分類討論思想的應(yīng)用，幫助學(xué)生對(duì)一些規(guī)律性的內(nèi)容進(jìn)行概括，可以培養(yǎng)學(xué)生的縝密思維能力。例如：在有理數(shù)以及負(fù)數(shù)的概念學(xué)完之后，要能及時(shí)引導(dǎo)學(xué)生對(duì)有理數(shù)進(jìn)行分類討論。從而使學(xué)生明確，標(biāo)準(zhǔn)的不同會(huì)有不同的分類方法，有理數(shù)可以分為整數(shù)和分?jǐn)?shù)，也可分為正有理數(shù)以及負(fù)有理數(shù)和零。再如，對(duì)兩個(gè)有理數(shù)進(jìn)行大小比較，老師也要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行分類，分成正數(shù)和零，正數(shù)和正數(shù)，正數(shù)和負(fù)數(shù)等等多種情況。這樣就加強(qiáng)了學(xué)生的分類討論的意識(shí)，為其進(jìn)一步解決問題打下了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。另外，還有是對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的一些法則以及性質(zhì)，以及幾何圖形的位置關(guān)系的確定過程中進(jìn)行的分類討論。這些都要和實(shí)際的解題方法得到緊密結(jié)合。

（三）圖形中的分類討論

通過圖形的位置引起的分類討論的情況也比較常見。題目中如果沒有提供圖形，常常就需要進(jìn)行分類討論。主要是因?yàn)槠鋱D形的不確定性，所以需要結(jié)合題目的條件進(jìn)行自畫圖形。例如，關(guān)于三角形的題，就要分類討論三角形的銳角以及鈍角的情況。對(duì)于關(guān)于圖形的位置進(jìn)行討論的情況，可以根據(jù)實(shí)際的問題來進(jìn)行分析。

例如：在四邊形ABCD中，三角形ABC是邊長為2的等邊三角形，三角形ACD是含有30度的直角三角形。根據(jù)以上的條件將四邊形ABCD畫出，然后再求出四邊形的對(duì)角線BD的長度。

本題中，三角形ACD中哪個(gè)角是直角并不確定，因此需要分三種情況討論，而每種情況中哪個(gè)角為30度也是不確定的，這樣又要分兩種情況討論。這樣總共要分六種情況討論才完整。

（四）圓中的分類討論（防漏解）

另外，對(duì)于圓的相關(guān)問題進(jìn)行討論時(shí)，常常容易發(fā)生漏解的情況，其主要原因就是沒有進(jìn)行分類討論。要對(duì)圓形的多種可能位置進(jìn)行分類討論，從而畫出圖形。畫圖的能力對(duì)題目的解答比較關(guān)鍵，所以學(xué)生在這一方面一定要充分重視。

例如：半徑分別為10和17的兩圓⊙O1、⊙O2相交于A、B兩點(diǎn)，公共弦AB長16，求圓心距O1O2和∠O1AO2。

對(duì)于沒有圖形的題目進(jìn)行解答，就一定要重視分類討論的情況，將圖形的多種位置關(guān)系要能掌握，防止題目漏解的問題出現(xiàn)。本題就要能夠充分考慮兩個(gè)圓心位于AB的同側(cè)，以及位于AB的兩側(cè)兩種情況進(jìn)行考慮。

分類討論的解題思想方法的應(yīng)用是長期形成的能力，是在老師不斷的啟發(fā)練習(xí)過程中培養(yǎng)出的能力。在教學(xué)之后要讓學(xué)生對(duì)解題的結(jié)果進(jìn)行反思，從實(shí)際解題過程中，將分類討論的思想深入的體會(huì)，這對(duì)學(xué)生更深層次的認(rèn)識(shí)分類討論思想的重要性有著積極意義。只有通過不斷的實(shí)踐練習(xí)基礎(chǔ)上，才能對(duì)這一教學(xué)方法靈活的運(yùn)用。

（作者單位：福建省寧化城東中學(xué)）