例談函數(shù)與方程思想在解三角形中的滲透

于光香

摘要：函數(shù)與方程思想是中學(xué)數(shù)學(xué)重要思想方法之一，三角形是數(shù)學(xué)中最基本的圖形。在研究三角形的邊長(zhǎng)和角度之間的數(shù)量關(guān)系中，需要運(yùn)用函數(shù)與方程思想。本文從三個(gè)角度闡述函數(shù)與方程思想在解三角形這章中的滲透。

關(guān)鍵詞：解三角形；函數(shù)思想；方程思想

中圖分類號(hào)：G633.6文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1992-7711（2017）20-027-2

三角形是數(shù)學(xué)中最基本的圖形，解三角形這章的教學(xué)目標(biāo)是指通過對(duì)任意三角形邊角關(guān)系的研究，發(fā)現(xiàn)并掌握三角形中的邊長(zhǎng)與角度之間的數(shù)量關(guān)系，運(yùn)用它們解決一些與測(cè)量和幾何計(jì)算有關(guān)的實(shí)際問題。

函數(shù)思想，是指用函數(shù)的概念和性質(zhì)去分析問題、轉(zhuǎn)化問題、和解決問題；方程思想，是從問題的數(shù)量關(guān)系入手，運(yùn)用數(shù)學(xué)語言將問題中的條件轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型（方程、不等式、或方程組與不等式組），然后通過解方程（組）或不等式（組）來使問題獲解。

本章的知識(shí)內(nèi)容體現(xiàn)了多種多樣的數(shù)學(xué)思想方法，本文著重談函數(shù)與方程的思想在解三角形中的應(yīng)用。

一、整體把握，一覽眾山小

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師通過教學(xué)滲透，讓學(xué)生能夠站在數(shù)學(xué)思想的高度去看待數(shù)學(xué)知識(shí)和找到解決問題的入口。在解三角形中，主干知識(shí)就是兩個(gè)定理，分別是正弦定理：asinA=bsinB=csinC和余弦定理a2=b2+c2-2bccosA。我們?cè)诘贸龆ɡ砗螅攸c(diǎn)要從方程的角度幫助學(xué)生理解定理的應(yīng)用。這兩個(gè)定理中涉及到三個(gè)邊和三個(gè)角共六個(gè)量，只要知道其中三個(gè)獨(dú)立的量就能求出其余三個(gè)量，再推廣到一般情況：如果一個(gè)三角形已知三個(gè)條件，這個(gè)三角形就是確定三角形，其他量就能通過正弦定理、余弦定理和其他公式求出。如果題目中方程的個(gè)數(shù)少于變量的個(gè)數(shù)，解題的方向就是“消元”即減少變量的個(gè)數(shù)。如果變量最終減少到一個(gè)，這時(shí)我們就動(dòng)用函數(shù)的思想，設(shè)未知量，尋求目標(biāo)量與未知量之間的關(guān)系，即建立未知量和目標(biāo)量之間的方程關(guān)系，然后用未知量表示目標(biāo)量，問題就轉(zhuǎn)化為研究函數(shù)關(guān)系，運(yùn)用函數(shù)思想來解決問題。

二、扎實(shí)訓(xùn)練，處處有風(fēng)景

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，通過指導(dǎo)學(xué)生，讓學(xué)生切實(shí)能學(xué)到扎實(shí)的知識(shí)和基本技能，不能讓學(xué)生做數(shù)學(xué)題時(shí)沒有方向，也不能眼高手低。

例1：在△ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，acosB=5，bsinA=12，求a。

分析：此題中顯現(xiàn)條件有兩個(gè)，未知量是四個(gè)，求a的確定值。解題的方向應(yīng)該是“消元”，由4個(gè)變量減少到2個(gè)，用方程組繼續(xù)消元得到a。

解：由正弦定理asinA=bsinB=csinC，得asinB=bsinA，又因?yàn)閎sinA=12，所以asinB=12①，

由已知acosB=5②，

①2+②2得，a=13。

例2：在△ABC中，若a+2c=2b，sinB=2sinC，求cosA。

分析：此題中，未知量的個(gè)數(shù)達(dá)到了5個(gè)，因?yàn)槟繕?biāo)量是cosA，是個(gè)比值，所以我們只需要知道a、b、c之間的關(guān)系即可求得。由正弦定理把角轉(zhuǎn)化為邊，變量減少到3個(gè)，方程有兩個(gè)，于是就能用其中一個(gè)量表示另外兩個(gè)量，從而余弦值水到渠成。

解：由正弦定理得sinBsinC=bc，于是b=2c①，

把①式代入到a+2c=2b，得a=2c②，

把①、②代入到cosA=b2+c2-a22bc，得出cosA=24。

在數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐中，學(xué)生遇到的困難比我們想的還要多。在例1中，學(xué)生會(huì)把sinB和cosB看成兩個(gè)變量，沒有理解sinB和cosB是角B的兩種表示方式。在例2中，學(xué)生遇到兩個(gè)方程三個(gè)變量時(shí)，找不到化簡(jiǎn)的方向，“消元”的思想和方法都欠缺。例3中，學(xué)生化簡(jiǎn)到c=a，得出三角形是等腰三角形，對(duì)解三角形了解不徹底。例4和例5是兩道綜合題，學(xué)生對(duì)如何選擇變量，如何找變量與目標(biāo)量之間的路徑都有待于教師指導(dǎo)并實(shí)踐。在教學(xué)中，我們不僅要手把手教學(xué)生如何去想，如何去做，更要在課堂上留時(shí)間讓學(xué)生去想，去做，去表達(dá)。對(duì)學(xué)生解決問題過程中出現(xiàn)的任何細(xì)節(jié)問題，教師都不能一帶而過。我們要通過扎實(shí)的訓(xùn)練，讓學(xué)生在做題時(shí)題題有收獲，處處有風(fēng)景。

三、一題多解，條條大路通羅馬

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，往寬處行，就是通過一題多解，拓寬學(xué)生的解題思路，給自己解題留有足夠的空間。

例3：在△ABC中，若b=2，c=1，B=45°，求a。

分析：這道題學(xué)生最容易想到的是用正弦定理，得出sinC，再得出角A，用余弦定理得出邊a。其實(shí)這道題最佳方法是用方程思想，用余弦定理直接就能求出a。

解法1：由正弦定理，得出sinC=12，C=30°或150°，

因?yàn)锳+B<180°，所以C=30°，從而A=105°，

再由正弦定理，得出a=6+22。

解法2：由余弦定理b2=a2+c2-2accosB，

得a2-2a-1=0，

解得a=6+22或a=2-62（舍）。

例4：在△ABC中，若cosA=45，cosC=513，a=1，求b。

分析：題目中已知角A、C和邊a，解決問題的途徑1為：由正弦定理求出邊c，再由正弦定理求出b；途徑2為：由A+B+C=π，求出角B，再由正弦定理求出邊b。

解法1：因?yàn)閏osA=45，cosC=513，角A、C是三角形內(nèi)角，

所以sinA=35，sinC=1213，

由正弦定理，得出c=2013，

再由正弦定理，得出b=2113。

解法2：因?yàn)閏osA=45，cosC=513，A+B+C=π，

得到sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=6365，

由正弦定理，得出b=2113。

在教學(xué)中，一題多解不僅能鞏固所學(xué)的知識(shí)，拓寬學(xué)生的思路，更能在解題過程中讓學(xué)生能夠增強(qiáng)自信。路寬，提供可選的余地大，學(xué)生才能放心大膽得去想。路寬，意味著有退路，有余地，學(xué)生才能有信心去攻克難題。endprint