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    淺談提升數(shù)學(xué)課堂教學(xué)有效性的具體方法

    2017-05-12 07:52:34李圖南
    未來(lái)英才 2017年6期
    關(guān)鍵詞:一題多變一題多解

    李圖南

    摘要:提升課堂教學(xué)的有效性已經(jīng)成為當(dāng)前深化課程改革的關(guān)鍵和根本要求。追求課堂教學(xué)的有效性,就是要求我們?cè)谛抡n程理念的指導(dǎo)下,在發(fā)揮學(xué)生主體作用的前提下,改革課堂教學(xué)模式,提高課堂教學(xué)實(shí)效,形成包括探究、合作、對(duì)話為內(nèi)容的課堂教學(xué)文化,構(gòu)建符合學(xué)生身心發(fā)展的有效課堂。而數(shù)學(xué)教學(xué)課堂,早已經(jīng)由原來(lái)的“題海戰(zhàn)術(shù)”轉(zhuǎn)而向“精講精練”過(guò)度,如何充分發(fā)揮學(xué)生的主觀能動(dòng)性,讓不同人的不同思維在同一個(gè)課堂上得到交流深化,從而彼此促進(jìn),共同成長(zhǎng),成了初中數(shù)學(xué)教師必須探索的一課。

    關(guān)鍵詞:探索有效教學(xué);一題多解;一題多變;多題一解

    有效教學(xué)是指教師遵循教學(xué)活動(dòng)的客觀規(guī)律,以盡量少的時(shí)間、精力和物力投入,取得盡可能好的教學(xué)效果,從而實(shí)現(xiàn)特定的教學(xué)目標(biāo),滿足社會(huì)和個(gè)人的教育價(jià)值需求。在初中數(shù)學(xué)課堂中,如何高效的提升學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)的系統(tǒng)性的理解,使其形成知識(shí)體系,從而發(fā)展思維的深度和廣度,這一點(diǎn)尤為重要。在學(xué)生已經(jīng)掌握了某一單元的基礎(chǔ)知識(shí)的前提下,如何將這些知識(shí)靈活運(yùn)用、精準(zhǔn)遷移到題目,從而提高課堂教學(xué)的有效性呢?下面介紹三個(gè)具體方法為:“一題多解”“一題多變”和“多題一解”[1]

    一、一題多解?

    一題多解,就是同一個(gè)問(wèn)題有多種解法。一題多解,有利于培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維和創(chuàng)造性思維,串聯(lián)知識(shí)的內(nèi)涵和外延,融會(huì)貫通,也有利于培養(yǎng)聚合思維,提煉結(jié)論,殊途同歸、從中擇優(yōu)。

    首先舉一個(gè)特別簡(jiǎn)單的例子

    例1:下列幾組數(shù)中不能作為直角三角形三邊長(zhǎng)度的是( )

    A、a=6,b=24,c=25 B、a=1.5,b=2,c=2.5

    C、a=,b=2,c= D、a=15,b=8,c=17

    解法一:直接計(jì)算。以勾股定理為依據(jù),看是否有較小的兩個(gè)數(shù)的平方和等于第三個(gè)數(shù)的平方。

    解法二:尋找特殊比。對(duì)每組中的數(shù)據(jù)作比,看是否等于我們所熟悉的勾股數(shù)。比如:B中a:b:c=3:4:5,所以B中的數(shù)據(jù)可以作為角三角形三邊長(zhǎng)度。

    解法三:估算。只計(jì)算每個(gè)數(shù)的末位數(shù)的平方。比如:A中a、b是較小兩數(shù)。a、b、c的末位數(shù)字分別是6、4、5,則他們的平方的末尾數(shù)是6、6、5。所以的末尾數(shù)字為2,這與的末尾數(shù)字不相等。故A中數(shù)據(jù)不能作為直角三角形三邊長(zhǎng)度。

    如此簡(jiǎn)單的一道題目,經(jīng)過(guò)三種方法的思考和梳理,學(xué)生不但對(duì)勾股定理有了更深刻的理解,同時(shí)對(duì)于有關(guān)勾股定理的計(jì)算、常用勾股數(shù)在計(jì)算中的應(yīng)用、也有了更清晰認(rèn)識(shí),比起做很多類(lèi)似的題目卻還是一個(gè)個(gè)驗(yàn)算這種常規(guī)方法,不能不說(shuō)是極大的提高了課堂的效率。[2]

    再比如:初三復(fù)習(xí)時(shí)遇到的一個(gè)題目:

    例2、如圖,直角梯形ABCD中,點(diǎn)F為AB上一點(diǎn),且,點(diǎn)M為FC的中點(diǎn),連接FD、BD、ME,設(shè)FC與DE相交于點(diǎn)N,下列結(jié)論:

    (1) ; (2)⊿DFN∽⊿CBD ;

    (3) ; (4) ME垂直平分BD,

    其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是( )

    A. 1個(gè);B. 2個(gè);C. 3個(gè);D. 4個(gè)

    分析:本題答案為D,在證明第三個(gè)結(jié)論時(shí),學(xué)生分別指出了不同的解法:

    連結(jié)DM,往證⊿DFB∽⊿DME(一角相等且?jiàn)A邊對(duì)應(yīng)成比例),由此得出結(jié)論。

    連結(jié)DM,BM,過(guò)點(diǎn)M做MH⊥BC于點(diǎn)H,由DM=BM=,DE=BE,得EM為BD中垂線,進(jìn)而得出等腰直角⊿MEH,由FB和ME與MH的關(guān)系,得出結(jié)論。

    過(guò)點(diǎn)F做FP//AD交DE于點(diǎn)P,連結(jié)PM、DM,往證⊿DMP∽⊿CME,從而說(shuō)明⊿PME為等腰直角三角形,由此得證結(jié)論。

    此題的三種解法都非常的巧妙,各有各的出發(fā)點(diǎn)和思考方向,綜合運(yùn)用了相似三角形的性質(zhì)和判定,直角三角形的性質(zhì),三角形中位線性質(zhì)等,不同的學(xué)生運(yùn)用不同的思路解題,深入淺出,同學(xué)之間互相啟發(fā),既拓展了思路的深度又開(kāi)闊了思維的廣度,課堂容量得到了提升,同學(xué)的積極性也極大提高。讓人看到了有效的課堂。

    二、一題多變

    在教學(xué)中一題多變,能使學(xué)生克服思維定勢(shì)的影響,不局限于某一方面的思考,多角度多方位分析問(wèn)題、解決問(wèn)題。它有利于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維,更有利于培養(yǎng)他們的發(fā)散直

    性思維,達(dá)到提高綜合能力的目的。

    例如在講到完全平方式時(shí)遇到的一個(gè)題目:

    例3:在后加上一項(xiàng)、使其成為完全平方式

    解:(1)配中間項(xiàng):

    (2)以

    學(xué)生很容易答出第一種情況的兩個(gè)答案、第二種情況少數(shù)人可以想到、我在明確了完全平方式的定以后、將題目稍作修改:

    變式1:在后加上一項(xiàng)、使其成為某個(gè)整式的完全平方

    解:除和外、還可以有和

    讓人驚喜的是、在此基礎(chǔ)上、有學(xué)生又提出了變式:

    變式2:在后加上一項(xiàng)、使其成為某個(gè)代數(shù)式的完全平方

    解:除、、和外還可以加上

    通過(guò)這樣的變式練習(xí),讓學(xué)生由淺入深、主動(dòng)思考此類(lèi)問(wèn)題的解決方向,自主出題積極思考,最后歸納總結(jié):首先要注意審題,明確題目要求;其次在整理成完全平方的形式時(shí)、要分清平方項(xiàng)和乘積項(xiàng)究竟是誰(shuí),從而解決問(wèn)題。學(xué)生通過(guò)自主探索,不但對(duì)完全平方式有了更深刻的認(rèn)識(shí),而且感受到數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)美,比起死板的告訴學(xué)生配方要注意些什么,更加有效、高效。

    再比如我們?cè)趯W(xué)習(xí)中點(diǎn)四邊形時(shí)常常遇到的:

    例4:依次連接任意四邊形各邊中點(diǎn)所得的四邊形稱為中點(diǎn)四邊形。求證:平行四邊形的中點(diǎn)四邊形是平行四邊形。

    變式1 求證:任意四邊形的中點(diǎn)四邊形是平行四邊形。

    變式2 求證:矩形的中點(diǎn)四邊形是菱形。

    變式3 求證:菱形的中點(diǎn)四邊形是矩形。

    變式4 求證:正方形的中點(diǎn)四邊形是正方形。

    變式5 什么四邊形的中點(diǎn)四邊形是菱形?

    變式6 什么四邊形的中點(diǎn)四邊形是矩形?

    變式7 什么四邊形的中點(diǎn)四邊形是正方形?

    通過(guò)這樣一系列變式訓(xùn)練,使學(xué)生充分掌握了四邊形的所有基礎(chǔ)知識(shí)和基本概念,強(qiáng)化溝通了常見(jiàn)特殊四邊形的性質(zhì)、判定、三角形中位線定理等,極大地拓展了學(xué)生的解題思路,活躍了思維,激發(fā)了興趣、總結(jié)了規(guī)律、從而提升了課堂效率

    三、多題一解

    多題一解,就是舉一反三,《論語(yǔ)·述而》:“舉一隅,不以三隅反,則不復(fù)也?!焙笠浴芭e一反三”謂觸類(lèi)旁通。 “舉一反三”思想的應(yīng)用可以縮短學(xué)生的解題時(shí)間,提高解題的效率。此外,“舉一反三”思想的大量使用,可以提高學(xué)生的探究能力和自主性,進(jìn)一步推動(dòng)數(shù)學(xué)教育教學(xué)的方式轉(zhuǎn)變,從而讓數(shù)學(xué)課堂更加有效。比如以下幾個(gè)例題: [3]

    例1、在直線l:x+y- 4=0上求一點(diǎn)M,使它到A(1,2)、B(- 1,3)的距離之和最小。

    分析:(1)首先判斷是在直線的同側(cè)還是異側(cè)。

    (2)若在同側(cè),先求出A(或B)關(guān)于L的對(duì)稱點(diǎn)A(B),再求直線AB(AB)所在的直線方程,與已知直線方程聯(lián)立,求出M點(diǎn)坐標(biāo)。

    (3)若在異側(cè),只需求出AB所在直線的方程,與已知直線方程聯(lián)立,求出M點(diǎn)坐標(biāo)。

    例2、光線從A(0,1)發(fā)出,射到x軸上M點(diǎn),經(jīng)反射后射到圓C(5,6):上,求光線經(jīng)過(guò)的最短距離。

    分析:求出點(diǎn)A關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)A,這個(gè)最短距離可轉(zhuǎn)化為A到圓C的最短距離。即AC減去圓的半徑。由AC的方程,可得M點(diǎn)坐標(biāo)。具體解題過(guò)程同學(xué)們自己完成。

    例3. 求 的最小值。

    分析:這道題目用代數(shù)的方法來(lái)解決也比較困難??紤]到根號(hào)內(nèi)的部分非常接近兩點(diǎn)間的距離公式可如下整理、變形:

    看作點(diǎn)(x,0)到點(diǎn)(1,2) (4,6)的距離之和最小問(wèn)題。由于點(diǎn)(1,2)、 (4,6)在x軸同側(cè),可求(1,2)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)(1,- 2),那么(1,- 2)與(4, 6)之間的距離即為最小值。具體解題過(guò)程請(qǐng)同學(xué)們自己完成。

    以上三道題目,所使用的方法是一樣的,雖然形式不同,但是內(nèi)涵不變。通過(guò)多題一解的訓(xùn)練,領(lǐng)會(huì)同一數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法在不同題目背景下的不同體現(xiàn),能夠加深對(duì)數(shù)學(xué)思想和方法的理解,促進(jìn)數(shù)學(xué)能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提高。

    拉普拉斯說(shuō):"在數(shù)學(xué)里,發(fā)現(xiàn)真理的主要工具也是歸納與類(lèi)比?!耙活}多解”、“一題多變”和“多題一解”就是用類(lèi)比和歸納的數(shù)學(xué)思想方法,訓(xùn)練學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力,對(duì)學(xué)生解題能力加強(qiáng)和鞏固。通過(guò)一題多解、一題多變、多題一解可以充分的調(diào)動(dòng)學(xué)生的各種感官,積極參與問(wèn)題的解答與討論,注意總結(jié)解題特征,解題方法,一題多解、一題多變,多題一解,同中求異,異中求同,真正作到觸類(lèi)旁通,融會(huì)貫通,對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行升華。

    布魯納曾說(shuō):“探索是數(shù)學(xué)的生命線,沒(méi)有探索就沒(méi)有數(shù)學(xué)的發(fā)展?!?通過(guò)“一題多解”、“一題多變”和“多題一解”這種具體的探索方式,可以使我們的數(shù)學(xué)課堂更加有效。

    參考文獻(xiàn)??

    [1] 張雄.數(shù)學(xué)方法論與解題研究[M].高等教育出版社.

    [2] 王千.如何認(rèn)識(shí)一題多解的教育功能[M].數(shù)學(xué)通報(bào),2004.9.

    [3] 趙卿敏.創(chuàng)新能力的形成和培養(yǎng)[M].華中科技大學(xué)出版社,2002.326-330.

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