在教學(xué)順序下求線性目標(biāo)函數(shù)最值方法的嘗試

彭海梅

摘要：線性規(guī)劃是運(yùn)籌學(xué)的一個(gè)重要分支，也是近幾年高考命題的熱點(diǎn)，它在實(shí)際生活中有廣泛的應(yīng)用。但在實(shí)際教學(xué)中，受教材教學(xué)先后順序的限制，要求我們?cè)诮虒W(xué)過程中，必須有一些創(chuàng)新，在創(chuàng)新的過程中還不能丟失數(shù)學(xué)的思想。本人在教學(xué)中利用數(shù)形結(jié)合思想，借助數(shù)軸上數(shù)的大小特點(diǎn)，通過平移方法尋找可行域內(nèi)最左（右）的點(diǎn)，從而得到線性目標(biāo)函數(shù)的最值。

關(guān)鍵詞：線性規(guī)劃 最值 數(shù)形結(jié)合 平移

線性規(guī)劃是運(yùn)籌學(xué)的一個(gè)重要分支，而簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃已編入高中新教材，作為一個(gè)新增知識(shí)點(diǎn)，它不僅只是對(duì)直線內(nèi)容的深化，更多的是與其它知識(shí)的交匯，同時(shí)也是增加學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)在生活中應(yīng)用的理解。它能解決一些線性約束條件下求線性約束條件的最值問題，其基本思想即在一定線性約束條件下，通過數(shù)形結(jié)合的思想求線性目標(biāo)函數(shù)的最值，整個(gè)過程主要借助于平面圖形，運(yùn)用這一思想能夠比較有效的解決線性規(guī)劃問題。近些年來線性規(guī)劃問題是解析幾何的重點(diǎn)，每年高考必有一道小題，分值在5分左右。

在實(shí)際的教學(xué)中，本校對(duì)數(shù)學(xué)教材的教學(xué)順序是：必修1—必修4—必修5—必修2—必修3。而我們要完成的教學(xué)任務(wù)《簡(jiǎn)單線性規(guī)劃》在必修5第三章第3小節(jié)，在教學(xué)過程中會(huì)利用到必修3第三章《直線與方程》的相關(guān)概念（斜率、交點(diǎn)坐標(biāo)、截距）。這又受教材教學(xué)先后順序的影響，要求我們?cè)趯W(xué)習(xí)線性規(guī)劃問題時(shí)，必須要考慮回避直線與方程對(duì)教學(xué)和學(xué)生認(rèn)知的影響。本人在實(shí)際教學(xué)中，對(duì)求線性目標(biāo)函數(shù)最值的方法進(jìn)行一些嘗試。

現(xiàn)舉例加以說明。

一、前期鋪墊，總結(jié)經(jīng)驗(yàn)

為了更好的回避必修2《直線與方程》相關(guān)知識(shí)對(duì)線性規(guī)劃的影響，在二元一次不等式（組）表示平面區(qū)域?qū)W習(xí)的時(shí)候進(jìn)行升華與總結(jié)。

例1、畫出下列不等式表示的平面區(qū)域

指導(dǎo)學(xué)生自主完成：①建立直角坐標(biāo)系；②畫出等式圖像；③確定區(qū)域。

解析如下：

總結(jié)方法：確定二元一次不等式表示平面區(qū)域方法是“線定界，點(diǎn)定域”，定邊界時(shí)需分清虛實(shí)，定區(qū)域時(shí)常選原點(diǎn)（C≠0）。

拋出問題：能否在畫出等式圖像時(shí)，快速確定不等式表示的區(qū)域呢？指導(dǎo)學(xué)生繼續(xù)觀察圖像。

從上面例子，我們知道一條直線就能瓜分平面了，而不等式組就是不斷確定你想要的那個(gè)平面，由此可以發(fā)現(xiàn)對(duì)于不等式 （A>0）表示直線 （A>0）的右上（下）方區(qū)域，越往右偏離直線的點(diǎn)坐標(biāo)（x，y）代入式子

所得值越大；不等式 （A>0）表示直線

（A>0）的左下（上）方區(qū)域，越往左偏離直線的點(diǎn)坐標(biāo)（x，y）代入 所得值越小。這對(duì)于解決線性規(guī)劃問題，做了很大的埋伏，為后續(xù)教學(xué)做了很好的鋪墊。

二、單點(diǎn)解析，檢驗(yàn)成果

例2、（2012年山東高考）設(shè)變量x，y滿足約束條件

則目標(biāo)函數(shù) 的取值范圍是（ ）

分析：求取值范圍，實(shí)質(zhì)就是求 的最大值與最小值。

解：先畫出滿足不等式的可行域. 如圖陰影部分不妨令z=0，作參考直線 ： 。

通過平移，由圖可知，當(dāng)直線 過點(diǎn)A時(shí)z取得最大值，當(dāng)直線 過點(diǎn)B時(shí)z取得最小值。

由 得A（2，0），

因此zmax=6，

由 得 ，

因此 。故選A。

我們可以知道用圖解法解決線性規(guī)劃問題的一般步驟：

①畫出可行域；

②作參考直線 ；

③通過平移以及數(shù)形結(jié)合，確定目標(biāo)函數(shù)最值位置 ；

④解二元一次方程組，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；

⑤計(jì)算線性目標(biāo)函數(shù)的最值。

從上面的例子，我們知道，在線性約束條件下，求線性目標(biāo)函數(shù)z=Ax+By（A>0）這種形式的最值問題，是高中線性規(guī)劃中常見的問題，這類問題的解決，關(guān)鍵在于能夠正確理解二元一次不等式組所表示的區(qū)域，利用參考直線，尋找可行域內(nèi)最左（右）的點(diǎn)，即利用圖形及平移求最優(yōu)解及線性目標(biāo)函數(shù)的最值。

三、跨越障礙，思想升華

為了加深學(xué)生對(duì)數(shù)形結(jié)合思想及平移方法的理解，特舉更具有代表性的一類問題：已知目標(biāo)函數(shù)的最值求參數(shù)的問題。

例3、若實(shí)數(shù)x，y滿足不等式組 目標(biāo)函數(shù) 的最大值為2，則實(shí)數(shù) 的值是_____________。

分析：解答此類問題必須明確線性目標(biāo)函數(shù)的最值一般在可行域的定點(diǎn)或邊界取得，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想、平移方法求解，同時(shí)需要注意目標(biāo)函數(shù)的幾何意義。

解：先畫出滿足不等式的可行域。 如圖陰影部分。

作參考直線 ： ，由圖可知，

當(dāng)直線 過點(diǎn)A時(shí)，t取得最大值。

由 得 代入 中，解得 =2。

從上面例子可以看出今后我們?cè)谟龅酱祟悊栴}時(shí)，首先想到用數(shù)形結(jié)合思想，以及平移方法去解決，因?yàn)樗庇^、形象。 在高考時(shí)，能夠讓學(xué)生做得更快、更準(zhǔn)。

線性規(guī)劃思想不僅與函數(shù)或不等式有交匯，而且在實(shí)際生活中求最值問題時(shí)，也有交匯。如在教科書中利用線性規(guī)劃解決物資問題、產(chǎn)品安排問題與下料問題，引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題，使學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)在解決實(shí)際問題中的作用，在整個(gè)的學(xué)習(xí)過程中，著重培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想。雖然解決此類問題的方法不是唯一的，但我們?cè)诮虒W(xué)中，需要考慮培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會(huì)思考的習(xí)慣，以及數(shù)學(xué)思想的建立。

綜上所述，線性規(guī)劃是直線方程的繼續(xù)，是直線方程知識(shí)的應(yīng)用，但受教材教學(xué)順序的影響，我們?cè)诮虒W(xué)過程中，必須要面對(duì)這樣的事實(shí)，這就要求我們?cè)诮虒W(xué)中必須有一些創(chuàng)新，在創(chuàng)新的過程中還不能丟失數(shù)學(xué)的思想。本人在教學(xué)中，從宏觀的角度來把握，先期借鑒數(shù)軸上數(shù)的大小特點(diǎn)，升華了二元一次不等式（組）表示的區(qū)域的意義，借助參考直線，學(xué)會(huì)尋找可行域內(nèi)最左（右）的點(diǎn)，利用數(shù)形結(jié)合思想及平移的方法很容易在可行域內(nèi)找到最值。通過課堂及課后的反饋來看，學(xué)生不僅解決了簡(jiǎn)單線性規(guī)劃問題，還對(duì)數(shù)形結(jié)合思想有更進(jìn)一步的思考。在教學(xué)中教師不為方法而講方法，而在此方法的啟發(fā)下，學(xué)生發(fā)現(xiàn)了新方法。因此，本人在教學(xué)中的嘗試，可以算是成功的，并且在解決交匯知識(shí)模塊時(shí)，思想也具有通用性。

利用線性規(guī)劃思想去理解高中一些求最值問題，實(shí)際上是對(duì)數(shù)形結(jié)合思想的提升。借助參考直線，通過平移的方法去求線性目標(biāo)函數(shù)的最值，也是對(duì)教學(xué)方法的一種嘗試。 通過作圖解決最值問題，是從一個(gè)新的角度對(duì)求最值問題的理解，對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生最優(yōu)思想的形成是非常有益的。

（作者單位：貴州省天柱縣第二中學(xué)）