親而不近 讓梯度更明顯
——2014年全國數(shù)學(xué)高考大綱卷理科第21題的解析與拓展

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(蒼溪中學(xué)校 四川蒼溪 628400)

2014年高考已經(jīng)落下帷幕，全國數(shù)學(xué)高考大綱卷理科總體上保持了近幾年來的命題風(fēng)格和試題特色.筆者特別關(guān)注了第21題，該題較全面地考查了學(xué)生掌握解析幾何基礎(chǔ)知識與基本方法的程度，將直線、圓、拋物線等知識點(diǎn)融匯在一起，給人以“親而不近”之感，好似面熟但并不容易解答，入手容易，但是要想完整解答，需要考生具備扎實(shí)的基礎(chǔ)知識和較強(qiáng)的分析解決問題的能力，梯度性較強(qiáng)，具有較好的選拔功能.“在知識網(wǎng)絡(luò)的交匯點(diǎn)命題”的命題思路得到進(jìn)一步彰顯.筆者對此題作了進(jìn)一步的推廣，若有不足之處，望各位同行批評指正.

1 真題再現(xiàn)

(1)求C的方程；

(2)過點(diǎn)F的直線l與C相交于點(diǎn)A，B，若AB的垂直平分線l′與C相交于點(diǎn)M，N，且點(diǎn)A，B，M，N共圓,求l的方程.

由題意知

解得p=2，故曲線C的方程為y2=4x.

(2)當(dāng)直線l與x軸垂直時，顯然不滿足題意.當(dāng)直線l不與x軸垂直時，設(shè)直線AB的方程為l:

x=ky+1(其中k≠0).

y2-4ky-4=0,

則

y1+y2=4k,y1y2=-4,

4(1+k2),

x1+x2=ky1+ky2+2=4k2+2.

由拋物線的第二定義知

故|AB|=x1+x2+p=4(1+k2)，線段AB的中點(diǎn)為D(2k2+1,2k).因?yàn)橹本€l′垂直平分線線段AB，所以

設(shè)直線l′的方程為

從而

于是

由線段MN垂直平分線段AB，且點(diǎn)A，B，M，N共圓知，線段MN為該圓的直徑，點(diǎn)E為該圓圓心，即

|DE|2+|AD|2=|AE|2.

即

整理得k2=1，即k=±1.故直線l的方程為x+y-1=0或x-y-1=0.

點(diǎn)評證明多點(diǎn)共圓的常用方法是：證明圓心到各點(diǎn)的距離相等.本題的難點(diǎn)在于如何利用已知條件找圓心、如何求得圓心到各點(diǎn)的距離.本題立意鮮明，富含思考與探究價值,也再次表明韋達(dá)定理的無敵.

不難發(fā)現(xiàn)，當(dāng)過焦點(diǎn)F的直線l斜率為1時，點(diǎn)A，B，M，N共圓，對于一般的拋物線，是否還有類似的結(jié)論呢？經(jīng)過進(jìn)一步的探究，得出如下結(jié)論.

2 拓展推廣

證明設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),M(x3,y3),N(x4,y4),線段AB的中點(diǎn)為D，線段MN的中點(diǎn)為E.

則

因?yàn)橹本€MN垂直平分線線段AB，所以kMN=-1，從而可設(shè)直線MN的方程為l′:

y2+2py-5p2=0，

則

Δ=20p2+4p2>0，y3+y4=-2p,y3y4=-5p2，

易知線段

因?yàn)镋為線段MN的中點(diǎn)，所以

由線段MN垂直平分線線段AB可知，

|AE|=|BE|，

從而

|AE|=|BE|=|ME|=|NE|，

即點(diǎn)A，B，M，N共圓.

證明設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),M(x3,y3),N(x4,y4),線段AB的中點(diǎn)為D，線段MN的中點(diǎn)為E.

x2-2(p+m)x+m2=0,

則Δ=4p2+8pm>0，x1+x2=2(p+m),x1x2=m2,

故線段AB的中點(diǎn)D(p+m,p)，且

由直線MN垂直平分線線段AB知，kMN=-1，從而可設(shè)直線MN的方程為l′:

y=-x+2p+m.

y2+2py-4p2-2pm=0，

則

Δ=20p2+8pm>0，

y3+y4=-2p,y3y4=-4p2-2pm，

故線段MN的中點(diǎn)E(3p+m，-p)，且

由兩點(diǎn)之間距離公式可知

因?yàn)镋為線段MN的中點(diǎn)，所以

由線段MN垂直平分線線段AB可知

|AE|=|BE|.

從而

|AE|=|BE|=|ME|=|NE|,

即點(diǎn)A，B，M，N共圓.

②利用拋物線的對稱性，同理可得，當(dāng)直線AB的方程為l:y=-(x-m)時，點(diǎn)A，B，M，N共圓.

類比拋物線，在橢圓和雙曲線中也有類似的結(jié)論.

拓展3、拓展4的證明同拓展2，在此不再贅述，有興趣的讀者可自行證明.

說明拓展4中的條件a>b>0，是為了滿足直線l與C相交于不同的點(diǎn)A，B.否則，當(dāng)0

通過常規(guī)題考查考生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識、數(shù)學(xué)思想方法的掌握與數(shù)學(xué)能力，注重對數(shù)學(xué)本源的考查，體現(xiàn)了高考改革的新要求和新趨向，而“在知識網(wǎng)絡(luò)的交匯點(diǎn)命題”的命題思路也得到進(jìn)一步彰顯.